Տարբերակում և ինտեգրում. սահմանում, հասկացություն, ձևեր

2024 Հեղինակ: Angel Austin | [email protected]. Վերջին փոփոխված: 2024-01-08 04:57

Տարբերակումը և ինտեգրումը ածանցյալներ պարունակող հավասարում են: Վերջիններս, եթե հավատարիմ մնանք մաթեմատիկական հատկություններին, բաժանվում են սովորականի և մասնավորի։ Ածանցյալները ներկայացնում են փոփոխության արագությունը, իսկ դիֆերենցիալ հավասարումը նկարագրում է հարաբերությունը մի մեծության միջև, որն անընդհատ փոխվում է լուծման գործընթացում՝ ձևավորելով նոր փոփոխականներ:

Համալսարանի պրոֆեսորը կարող է հեշտությամբ նավարկել ինտեգրալների հետ բարդ գործողությունները, դրանք վերածել մեկ ամբողջության և ապա ապացուցել հաշվարկը հակադարձ մեթոդով: Այնուամենայնիվ, բարդ բանաձևերի մանրամասները արագ հիշելու հնարավորությունը հասանելի չէ բոլորին, ուստի խորհուրդ է տրվում թարմացնել հիշողությունը կամ հայտնաբերել նոր նյութ։

Իմաստը և հիմնական օգտագործումը

Գիտական գրականության մեջ ածանցյալը սահմանվում է որպես ֆունկցիայի փոխակերպման ենթակա արագություն՝ հիմնված նրա փոփոխականներից մեկի վրա: Տարբերակումը հաշվարկի էությունն է, որը կարելի է համեմատել կետին շոշափող որոնումների սկզբի հետ։ Ինչպես գիտեք, վերջինս ունի տարբեր տեսակներ ևորոնելու համար պահանջվում են հաշվողական բանաձևեր: Ենթադրենք, դուք պետք է գտնեք P կետում գրաֆիկին շոշափողի թեքությունը: Ինչպե՞ս դա անել: Բավական է նշանակված օբյեկտի միջով կամարավոր շերտ գծել և այն վեր բարձրացնել, մինչև ստանանք բաժանվող գիծ:

F ֆունկցիան x-ում կոչվում է տարբերակելի x=a կետում, եթե f '(a) ածանցյալը գոյություն ունի իր տիրույթի յուրաքանչյուր նշանակման վրա: Եկեք ցույց տանք մի օրինակ.

f '(ա)=lim (h=0) × f(a + h) – f(a)/h

Որպեսզի հավասարումը ենթարկվի ֆունկցիաների տարբերակման և ինտեգրման, որպեսզի դրա գտնվելու վայրը հնարավոր լինի ցանկացած x կետում, այն չպետք է ընդհատվի: Նախապես կառուցելով սխեմատիկ պատկեր, կարող եք ստուգել հայտարարության վավերականությունը: Այս պատճառով է, որ f'(x) տիրույթը սահմանվում է իր սահմանների առկայությամբ:

Ենթադրենք, որ y=f(x) x-ի ֆունկցիան է, ապա f(x)-ի ածանցյալը տրվում է որպես dy/dx: Այն նաև սահմանվում է որպես գծային հավասարում, որտեղ անհրաժեշտ է գտնել y-ի վերաբերյալ անհրաժեշտ տվյալները։

Սակայն, եթե առաջին դեպքում փնտրում ենք y-ի ածանցյալը, ապա հաջորդ դեպքում պետք է գտնենք x-ի f(x):

d/dx × (f(x)) l_a կամ df/dx l_a

Հետևաբար, f(x) ֆունկցիայի փոփոխության արագության նշանակումը x-ի նկատմամբ a կետում, որը գտնվում է նրա մակերեսի վրա:

Եթե մենք գիտենք f' ածանցյալը, որն իր տիրույթում տարբերվում է, ապա մենք կարող ենք գտնել նրա f արժեքը: Ինտեգրալ հաշվարկում մենք f' ֆունկցիայի հակաածանցյալ կամ պարզունակ ենք անվանում: Այն հաշվարկելու մեթոդը հայտնի է որպես հակատարբերակում։կամ ինտեգրում։

Տեսակներ և ձևեր

Մեկ կամ մի քանի տերմիններով հավասարումը, որը ներառում է կախված փոփոխականի ածանցյալները անկախի նկատմամբ, հայտնի է որպես դիֆերենցիալ: Այլ կերպ ասած, այն բաղկացած է թվային արժեքների մի շարքից, սովորական կամ մասնավոր, որոնք ենթակա են փոփոխման լուծման գործընթացում:

Ներկայումս կան դիֆերենցիալ հավասարումների հետևյալ տեսակները.

Սովորական. Պարզ հավասարություն ուղղակիորեն կախված փոփոխականից՝

dy/dx + 5x=5y

Մասնակի ածանցյալներ:

dy/dx + dy/dt=x³-t³

d²y/dx² – c² × d² y/dt²

Ամենաբարձր գործակից. Այս տեսակը բնութագրվում է դիֆերենցիալ հավասարման կարգի մասնակցությամբ, ինչպես ցույց է տրված ստորև բերված օրինակում, որտեղ այն հավասար է 3-ի: Թիվը համարվում է ամենաբարձրը ներկաներից՝

d³y/dx^{2 + 5 × dy/dx + y=√x}

Ֆունկցիաները կարող են ունենալ մի քանի ձևեր, այնուամենայնիվ, նախընտրելի է օգտագործել մեկ մեջբերում՝ բնորոշ ինտեգրման և տարբերակման բանաձևերով:

y'=dy/dx

y''=d²y/dx²

y'''=d³y/dx³

Գծային. Հավասարման մեջ փոփոխականը բարձրացվում է մեկի հզորության: Այս տեսակի ֆունկցիայի գրաֆիկը սովորաբար ուղիղ գիծ է: Օրինակ, (3x + 5), բայց (x³ + 4x^{2) այս տեսակի չէ, քանի որ այն պահանջում է այլ լուծում:}

dy/dx + xy=5x

Ոչ գծային. Շարքերի ցանկացած ինտեգրում և տարբերակում հավասարության ստացման երկակի եղանակներով - տեսեք դիտարկված ձևը՝

d²y/dx^{2 - ln y=10}

մեթոդներ արագ արդյունք ստանալու համար

Բավական չէ նայել ձևաթուղթը` հասկանալու համար, թե ինչպես հաղթահարել և գործնականում կիրառել ձեռք բերված գիտելիքները: Ներկայումս դիֆերենցիալ հավասարումը լուծելու մի քանի եղանակ կա:

Սա է.

1. Փոփոխական տարանջատում. Կատարվում է, երբ օրինակը կարելի է նկարել որպես dy / dx=f(y) g(x): Առանձնահատկությունը կայանում է նրանում, որ f և g ֆունկցիաներ են, որոնք պատկանում են իրենց արժեքներին։ Դրա շնորհիվ խնդիրը պետք է փոխակերպվի՝ 1/ f(y) dy=g(x) dx: Եվ միայն դրանից հետո անցեք հաջորդ կետին:
2. Ինտեգրման գործոնի մեթոդ. Օգտագործվում է, երբ օրինակը dy / dx + p(x) y=q(x), որտեղ p-ն և q-ն միայն x-ի ֆունկցիաներն են:

Առաջին կարգի դիֆերենցիալ հաշվարկները նման են y'+ P(x) y=Q(x), քանի որ դրանք պարունակում են անհրաժեշտ ֆունկցիաները և y-ի ածանցյալը: Անվան հետագա աճը գործում է նույն սկզբունքով։ Օրինակ, անհայտ ֆունկցիայի ածանցյալները կարող են լինել և՛ մասնավոր, և՛ սովորական:

Անորոշ ինտեգրալներ

Եթե ձեզ տրվում է ձեր հեծանիվի արագությունը, երբ գնում եք զբոսանքի, կախված ժամանակից, կարո՞ղ եք հաշվարկել անցած հեռավորությունը՝ օգտագործելով ծախսած րոպեները: Այս առաջադրանքը կարծես ճնշող բեռ լինի, բայց ինտեգրալներըօգնել հնարավորինս արդյունավետ կերպով հաղթահարել այս հատկությունները՝ ստանալով արդյունք:

Գիտական գրականությունը շեշտում է, որ դրանք տարբերակման հակառակ կողմն են: Իրոք, ինտեգրումը իրերը միասին ավելացնելու մեթոդ է: Այն միավորում է մասնիկները՝ ստեղծելով մի նոր բան՝ ամբողջը: Ցանկացած նմանատիպ օրինակում գլխավորը անորոշ ինտեգրալներ գտնելն է և ինտեգրման արդյունքները տարբերակման միջոցով ստուգելը։ Սա կօգնի խուսափել ավելորդ սխալներից:

Եթե դուք պատրաստվում եք գտնել ցանկացած պատահական կորի մակերեսը, օրինակ՝ y=f(x), ապա օգտագործեք այս մեթոդը: Հիշեք, որ միայն ուշադրությունը կփրկի ձեզ սխալից։

լուծման բանաձևեր

Այնպես որ, ծանոթանալով տարբերակման և ինտեգրման հիմնական հայեցակարգին՝ հակադարձ հաշվարկը ֆունկցիաների միջոցով, անհրաժեշտ է համառոտ վերանայել որոշ հիմունքներ։ Դրանք թվարկված են ստորև։

Հաշվի հիմնական կանոններ

Ինտեգրված ֆունկցիաները, ինչպիսիք են f (x)-ը, հեշտությամբ կարող են թարգմանվել հավասարության, եթե հավասարումը արտահայտված է հետևյալ կերպ՝

∫ f(x) dx=F(x) + C:

Այստեղ F (x)-ը կոչվում է հակաածանցյալ կամ պարզունակ: f(x) - ինտեգրանդ: dx - հանդես է գալիս որպես լրացուցիչ թվային գործակալ: C-ն ինտեգրված կամ կամայական հաստատուն է: x - գործում է կախված հավասարության կողմերից:

Վերոնշյալ հայտարարությունից մենք կարող ենք եզրակացնել, որ շարքերի ինտեգրումն ու տարբերակումը երկու հակադիր գործընթացներ են: Նրանք միասին հանդես են գալիս որպես գործողությունների տեսակներից մեկը, որին ուղղված ենստանալով վերջնական արդյունքը, որը կատարվում է հենց հավասարման վրա:

Այժմ, երբ մենք ավելին գիտենք հաշվարկի առանձնահատկությունների մասին, խորհուրդ է տրվում ընդգծել հիմնական տարբերությունները, որոնք անհրաժեշտ են հետագա հասկանալու համար.

1. Տարբերակումը և ինտեգրումը կարող են միաժամանակ բավարարել գծայինության կանոնները:
2. Գործողությունները նպատակաուղղված են գտնելու առավել ճշգրիտ լուծումը, սակայն դրանք ենթադրում են դրանց որոշման սահմանափակումներ։
3. Բազմանդամի օրինակը տարբերելիս արդյունքը 1-ով փոքր է ֆունկցիայի աստիճանից, մինչդեռ ինտեգրման դեպքում ստացված արդյունքը փոխակերպվում է մյուսի` հակառակը գործելով։
4. Լուծումների երկու տեսակները, ինչպես նշվեց ավելի վաղ, հակադիր են միմյանց: Դրանք հաշվարկվում են ինտեգրման և տարբերակման բանաձևերի միջոցով:
5. Ցանկացած ֆունկցիայի ածանցյալը եզակի է, բայց, մյուս կողմից, երկու ինտեգրալները, մի օրինակում, կարող են տարբերվել հաստատունով։ Հենց այս կանոնն է ներկայացնում առաջադրանքների կատարման հիմնական դժվարությունը։
6. Երբ գործ ունենք ածանցյալների հետ, մենք կարող ենք դիտարկել ածանցյալները մի կետում: Ինտեգրալների նման, նրանք գործառույթներ են ապահովում մեկ ընդմիջումով:
7. Երկրաչափական առումով ածանցյալը նկարագրում է մեծության փոփոխության արագությունը մյուսի նկատմամբ, մինչդեռ անորոշ ինտեգրալը ներկայացնում է կոր: Այն դրված է զուգահեռ ուղղությամբ և ունի նաև շոշափողներ, երբ ատամնավոր գծերը հատվում են մյուսների հետ՝ փոփոխականը ներկայացնող առանցքի ուղղանկյուն:

Ավելացման մեթոդներ

Եթե դժվարանում եք, թե ինչպես է կիրառվում գումարումըինտեգրման տարբերակման մաթեմատիկական գործողությունները, դուք պետք է ուշադիր ծանոթանաք հիմնական բանաձևերին: Դրանք աքսիոմ են դասավանդման մեջ, հետևաբար կիրառվում են ամենուր։ Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ երբ կիրառվում են ձեր սեփական օրինակների վրա, բանաձևերը ճիշտ են միայն այն դեպքում, եթե դրանք սկսվում են i=1-ով:

Կտոր առ կտոր լուծում

Երբեմն ֆունկցիան պահանջում է ոչ ստանդարտ մոտեցում՝ վերջնական արդյունքին հասնելու և հավասարության պայմանները բավարարելու համար: Շարքերի տերմինալ ինտեգրումը և տարբերակումը հիմնված է նույնականության վրա, որն արտահայտվում է` ∫ f(x) g'(x) dx=f (x) g(x) - ∫ f'(x) g(x) dx

Դիտարկվող տեխնիկայի ալգորիթմն ունի հետևյալ տեսքը՝

1. Արտահայտեք ինտեգրված ֆունկցիան որպես երկու արտահայտությունների արտադրյալ: Նշանակենք դրանցից մեկը f (x), մյուսը g' (x):
2. Այժմ անցեք բացահայտել երկու այլ բանաձևեր, որոնք կարող են կիրառվել առաջին պարբերությունում: Գիծը կփոխվի։ Տարբերակման միջոցով մենք փոխակերպում ենք f '(x)՝ ստանալով f(x) արտահայտությունները։ Անցնենք մյուս մասին՝ g (x)-ն ինտեգրված է g'(x-ին): Այս դեպքում dx-ը մնում է իր սկզբնական տեսքով և չի օգտագործվում։
3. Տեղադրեք ստացված արտահայտությունները բանաձևի մեջ մասերով: Սա ավարտում է ընթացակարգը, և այժմ կարող եք փորձել գնահատել աջ կողմում գտնվող նոր ինտեգրալը, քանի որ այն դարձել է շատ ավելի հեշտ հասկանալի:

Ավելի վաղ այս մեթոդը ներառում էր մասերի ինտեգրում՝ օգտագործելով մատրիցա: Մեթոդը հաջողված էր, բայց շատ ժամանակ խլեց, քանի որ ներկայումս այն օգտագործվում է ավելի հազվադեպ՝ հատուկդեպքեր, երբ լուծում գրեթե անհնար է գտնել: Դա անելու համար պարզապես դրեք f և g' առաջին տողում և հաշվարկեք f' և g երկրորդում:

Ինչու՞ է մեզ անհրաժեշտ մասերի ինտեգրում:

Իրավիճակները տարբեր են լինում. Երբեմն լուծումները շատ ավելի բարդ են լինում, քան առաջին հայացքից։ Ուստի անհրաժեշտ է առանձնացնել այն հիմնական խնդիրները, որոնք հաճախ հանդիպում են հզորությունների շարքերի տերմինալ ինտեգրման և տարբերակման ժամանակ։ Դիտարկենք երկու հիմնական կանոն։

Նախ, այն մասը, որը մենք մտադիր ենք ինտեգրել, այսինքն՝ g '(x) համար ընտրված մասը, մենք պետք է կարողանանք փոխակերպել: Կարևոր է դա անել հնարավորինս արագ: Բանն այն է, որ բարդ ինտեգրումը g-ի համար հազվադեպ է հանգեցնում բարելավված ինտեգրալի՝ մեծացնելով բարդությունը: Այս ամենը բացասաբար է անդրադառնում որոշումների ժամանակ մեր գործողությունների ազատության վրա, ինչպես նաև կախված է ուժերից, սինուսներից և կոսինուսներից: Թող ժամանակ պահանջվի ճիշտ պատասխանը գտնելու համար, բայց տանի դեպի ճիշտը, այլ ոչ թե շփոթեցնողին:

Երկրորդ, մնացած ամեն ինչը, այսինքն՝ այն մասը, որը մենք մտադիր ենք տարբերակել և նշանակել F, պետք է նկատելիորեն աչքի ընկնի փոխակերպումից հետո։ Պարզ ընթացակարգից հետո մենք կնկատենք, որ նոր ինտեգրալն ավելի պարզեցված կլինի, քան իր նախորդը։

Այսպիսով, երբ մենք համատեղում ենք երկու կանոն և օգտագործում դրանք լուծելու համար, մենք հնարավորություն ենք ստանում օգտագործելու ուժային ֆունկցիաների տարբերակումը և ինտեգրումը, ինչը իմաստ ունի դիտարկել մասերով:

Կա նաև x-ը հեռացնելու միջոց, որը թույլ է տալիս արդյունավետ կերպով օգտագործել փոխակերպումները տարբերիրավիճակներ. Օրինակ, մենք կարող ենք հեշտությամբ ինտեգրվել՝ բազմապատկելով ֆունկցիան բազմանդամով, որը մենք չեղարկում ենք տարբերակման միջոցով:

∫ x^{2 մեղք(3x) dx}

∫ x^{7 cos(x) dx}

∫x⁴ e^{4x dx}

F-ի համար մենք վերցնում ենք x-ի հզորությունը (ավելի ընդհանուր դեպքում՝ բազմանդամ), ինչպես նաև օգտագործում ենք g’: Ակնհայտ է, որ յուրաքանչյուր տարբերակումը նվազեցնում է թվի աստիճանը մեկով, հետևաբար, եթե օրինակում այն բավական բարձր է, մի քանի անգամ կիրառեք տերմին առ տերմին ինտեգրում։ Սա կօգնի խնայել ժամանակը:

Որոշ հավասարումների բարդություն

Այս դեպքում խոսքը ուժային շարքերի տարբերակման և ինտեգրման մասին է։ Ֆունկցիան կարելի է համարել այնպես, կարծես x-ը կետերի կոնվերգենցիայի միջակայքի տարածքն է: Ճիշտ է, մեթոդը բոլորի համար հարմար չէ։ Փաստն այն է, որ ցանկացած ֆունկցիա կարող է արտահայտվել որպես ուժային շարք՝ վերածվելով գծային կառուցվածքի և հակառակը։

Օրինակ՝ տրված է_{x: Մենք կարող ենք այն արտահայտել որպես հավասարում, որն իրականում պարզապես անսահման բազմանդամ է։ Հզորության շարքը հեշտ է տեսնել հաշվելով, բայց միշտ չէ, որ արդյունավետ է:}

Հստակ ինտեգրալ որպես գումարի սահման

Նայեք հետևյալ գրաֆիկական ինտեգրմանը և տարբերակմանը:

Բարդ ֆունկցիան հեշտությամբ հասկանալու համար բավական է այն մանրակրկիտ հասկանալ։ Եկեք գնահատենք PRSQP տարածքը y=f (x), x առանցքի և «x=a» և «x=b» կոորդինատների միջև: Այժմ [a, b] միջակայքը բաժանեք «n» հավասար ենթինտերվալների, որոնք նշվում են հետևյալով.այսպես՝

[x₀, x₁], [x₁, x ₂], [x₂, x₃]…. [x_{n - 1}, x_].

Որտեղ x₀=a, x₁=a + h, x₂=a + 2h, x₃=a + 3h….. x_r=a + rh և x =b=a + nh կամ n=(b - a) / ժ. (մեկ):

Նշեք, որ որպես n → ∞ h → 0.

Դիտարկվող PRSQP տարածությունը բոլոր «n» ենթատիրույթների գումարն է, որտեղ յուրաքանչյուրը սահմանվում է որոշակի միջակության վրա [x_r-1, x_{r], r=1, 2, 3…n: Ճիշտ մոտեցման դեպքում այս գործառույթները կարող են տարբերակվել և ինտեգրվել արագ լուծման համար:}

Այժմ նայեք նկարի ABDM-ին: Դրա հիման վրա նպատակահարմար է կատարել հետևյալ դիտարկումը տարածքների վերաբերյալ՝ (ABLC) < (ABDCA) < (ABDM).

Նշեք նաև, որ երբ h → 0 կամ x_r - x_{r-1 → 0, բոլոր երեք տարածքները գրեթե հավասար են միմյանց: ընկեր. Հետևաբար, մենք ունենք՝}

s =h [f(x₀) + f(x₁) + f (x₂) + …. f(x_{n – 1})]=h _r=0∑^n–1 f(x r_{) (2)}

կամ S =h [f(x₁) + f(x₂) + f(x₃) + …. f(x)]=h _r=1∑ f(x_{r) (3)}

Այս դեպքում s և S նշանակում են բոլոր ստորին և վերին ուղղանկյունների մակերեսների գումարը, որոնք բարձրացված են միջակայքներից [х _r–1, x_{r] r=1, 2, 3, …, n համապատասխանաբար: Սա հեռանկարային դարձնելու համար (1) հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպեսձև:}

s < տարածքի տարածք (PRSQP) < S_{… (4)}

Բացի այդ, ենթադրվում է, որ սահմանային արժեքները (2) և (3) երկու դեպքում էլ նույնն են, և ընդհանուր է միայն կորի տակ գտնվող տարածքը: Արդյունքում մենք ունենք՝

lim_{n → ∞} S =lim_{n → ∞} s=PRSQP տարածքներ=∫_a^{b f(x) dx … (5)}

Տարածքը նաև կորի տակից և կորից վեր ուղղանկյունների միջև տարածության սահմանն է: Հարմարության համար պետք է ուշադրություն դարձնել գործչի բարձրությանը, որը հավասար է յուրաքանչյուր ենթինտերվալի ձախ եզրի կորին: Հետևաբար, հավասարումը վերաշարադրվում է վերջնական տարբերակում՝

∫_a^b f(x) dx=lim _{→ ∞h [f(a) + f(a + h) + …. + f(a + {n - 1}h)]}

կամ ∫_a^b f(x) dx=(b – a) lim_{n → ∞(1/n) [f(a) + f(a + h) + …. + f(a + {n - 1}h)]}

Եզրակացություն

Դիֆերենցումը և ինտեգրումը տարբերվում են միմյանցից մի շարք հատկություններով, բանաձևերով և հակադիր փոփոխություններով: Առանց օգնության մեկը չի կարող փոխակերպվել մյուսի: Եթե տարբերակումը օգնում է գտնել ածանցյալը, ապա ինտեգրումը կատարում է բոլորովին այլ գործողություն: Նա ավելացնում է որոշ մասեր, կարող է օգնել աստիճանների հարցում՝ նվազեցնելով դրանք կամ բարելավել օրինակը՝ պարզեցնելով:

Այն օգտագործվում է նաև տարբերակված հավասարումները ստուգելու համար: Այսինքն՝ նրանք հանդես են գալիս որպես մեկ ամբողջություն, որը չի կարող առանձին գոյակցել, քանի որ լրացնում են միմյանց։ Կիրառելով կանոնները, իմանալով բազմաթիվ տեխնիկա, այժմ դուք երաշխավորված եք լուծելդժվար առաջադրանքներ։