Ֆուրիեի փոխակերպումը փոխակերպում է, որը համեմատում է որոշ իրական փոփոխականի ֆունկցիաները: Այս գործողությունը կատարվում է ամեն անգամ, երբ մենք տարբեր ձայներ ենք ընկալում։ Ականջը կատարում է ավտոմատ «հաշվարկ», որը մեր գիտակցությունն ունակ է կատարել միայն բարձրագույն մաթեմատիկայի համապատասխան բաժինն ուսումնասիրելուց հետո։ Մարդու լսողության օրգանը ձևավորում է փոխակերպում, որի արդյունքում ձայնը (առաձգական միջավայրում պայմանական մասնիկների տատանողական շարժումը, որը ալիքային ձևով տարածվում է պինդ, հեղուկ կամ գազային միջավայրում) ապահովվում է հաջորդական արժեքների սպեկտրի տեսքով։ տարբեր բարձրությունների տոնների ծավալի մակարդակը. Դրանից հետո ուղեղն այս տեղեկատվությունը վերածում է բոլորին ծանոթ ձայնի:
Մաթեմատիկական Ֆուրիեի փոխակերպում
Ձայնային ալիքների կամ այլ տատանողական գործընթացների փոխակերպումը (լույսի ճառագայթումից և օվկիանոսի մակընթացությունից մինչև աստղային կամ արևային գործունեության ցիկլեր) կարող է իրականացվել նաև մաթեմատիկական մեթոդների կիրառմամբ: Այսպիսով, օգտագործելով այս տեխնիկան, հնարավոր է քայքայել ֆունկցիաները՝ ներկայացնելով տատանողական գործընթացները որպես սինուսոիդային բաղադրիչների մի շարք, այսինքն՝ ալիքային կորեր, որոնքգնալ ցածրից դեպի բարձր, հետո վերադառնալ ցածր, ինչպես ծովի ալիքը: Ֆուրիեի փոխակերպում - փոխակերպում, որի գործառույթը նկարագրում է որոշակի հաճախականությանը համապատասխանող յուրաքանչյուր սինուսոիդի փուլը կամ ամպլիտուդը: Փուլը կորի մեկնարկային կետն է, իսկ ամպլիտուդը՝ բարձրությունը։
Ֆուրիեի փոխակերպումը (օրինակները ներկայացված են լուսանկարում) շատ հզոր գործիք է, որն օգտագործվում է գիտության տարբեր ոլորտներում։ Որոշ դեպքերում այն օգտագործվում է որպես բավականին բարդ հավասարումներ լուծելու միջոց, որոնք նկարագրում են դինամիկ գործընթացները, որոնք տեղի են ունենում լույսի, ջերմային կամ էլեկտրական էներգիայի ազդեցության տակ։ Այլ դեպքերում այն թույլ է տալիս որոշել տատանողական բարդ ազդանշանների կանոնավոր բաղադրիչները, որոնց շնորհիվ կարող եք ճիշտ մեկնաբանել տարբեր փորձարարական դիտարկումներ քիմիայի, բժշկության և աստղագիտության մեջ։
Պատմական նախապատմություն
Առաջին մարդը, ով կիրառեց այս մեթոդը, ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Ժան Բատիստ Ֆուրիեն էր: Փոխակերպումը, որը հետագայում կոչվեց նրա անունով, ի սկզբանե օգտագործվել է ջերմության փոխանցման մեխանիզմը նկարագրելու համար։ Ֆուրիեն իր ողջ հասուն կյանքն անցկացրել է ջերմության հատկությունների ուսումնասիրությամբ։ Նա հսկայական ներդրում է ունեցել հանրահաշվական հավասարումների արմատների որոշման մաթեմատիկական տեսության մեջ։ Ֆուրիեն եղել է պոլիտեխնիկական դպրոցի վերլուծության պրոֆեսոր, եգիպտոլոգիայի ինստիտուտի քարտուղար, եղել է կայսերական ծառայության մեջ, որտեղ աչքի է ընկել Թուրին տանող ճանապարհի կառուցման ժամանակ (նրա ղեկավարությամբ ավելի քան 80 հազար քառակուսի կիլոմետր մալարիաճահիճներ): Սակայն այս ամբողջ եռանդուն գործունեությունը գիտնականին չխանգարեց մաթեմատիկական վերլուծություն անել։ 1802 թվականին նա ստացավ հավասարում, որը նկարագրում է ջերմության տարածումը պինդ մարմիններում։ 1807 թվականին գիտնականը հայտնաբերեց այս հավասարման լուծման մեթոդ, որը կոչվում էր «Ֆուրիեի փոխակերպում»:
Ջերմային հաղորդունակության վերլուծություն
Գիտնականը մաթեմատիկական մեթոդ է կիրառել ջերմության փոխանցման մեխանիզմը նկարագրելու համար։ Հարմար օրինակ, որտեղ հաշվարկի մեջ դժվարություններ չկան, ջերմային էներգիայի տարածումն է կրակի մեջ մի մասում ընկղմված երկաթե օղակի միջոցով։ Փորձեր իրականացնելու համար Ֆուրիեն շիկացած տաքացրեց այս օղակի մի մասը և թաղեց մանր ավազի մեջ։ Դրանից հետո նա ջերմաստիճանի չափումներ է կատարել դրա հակառակ կողմում։ Սկզբում ջերմության բաշխումն անկանոն է՝ օղակի մի մասը սառը է, մյուսը՝ տաք, այս գոտիների միջև կարելի է նկատել ջերմաստիճանի կտրուկ գրադիենտ։ Այնուամենայնիվ, մետաղի ամբողջ մակերեսով ջերմության տարածման գործընթացում այն դառնում է ավելի միատեսակ: Այսպիսով, շուտով այս գործընթացը ստանում է սինուսոիդի ձև: Սկզբում գծապատկերը սահուն մեծանում է և սահուն նվազում է, հենց կոսինուսի կամ սինուսի ֆունկցիայի փոփոխության օրենքների համաձայն։ Ալիքն աստիճանաբար իջնում է, և արդյունքում ջերմաստիճանը դառնում է նույնը օղակի ամբողջ մակերեսի վրա։
Այս մեթոդի հեղինակն առաջարկել է, որ սկզբնական անկանոն բաշխումը կարող է քայքայվել մի շարք տարրական սինուսոիդների: Նրանցից յուրաքանչյուրը կունենա իր փուլը (սկզբնական դիրքը) և իր ջերմաստիճանըառավելագույնը. Ավելին, յուրաքանչյուր այդպիսի բաղադրիչ փոխվում է նվազագույնից մինչև առավելագույն և ամբողջ թվով պտույտ կատարելով օղակի շուրջ: Մեկ պարբերակ ունեցող բաղադրիչը կոչվում էր հիմնարար ներդաշնակ, իսկ երկու կամ ավելի պարբերակ ունեցող արժեքը՝ երկրորդ և այլն։ Այսպիսով, մաթեմատիկական ֆունկցիան, որը նկարագրում է ջերմաստիճանի առավելագույնը, փուլը կամ դիրքը, կոչվում է բաշխման ֆունկցիայի Ֆուրիեի փոխակերպում։ Գիտնականը կրճատել է մեկ բաղադրիչ, որը դժվար է նկարագրել մաթեմատիկորեն, դարձնելով հեշտ օգտագործվող գործիք՝ կոսինուս և սինուս շարք, որոնք ամփոփվում են և տալիս են սկզբնական բաշխումը:
Վերլուծության էությունը
Կիրառելով այս վերլուծությունը պինդ առարկայի միջոցով ջերմության տարածման փոխակերպման վրա, որն ունի օղակաձև ձև, մաթեմատիկոսը պատճառաբանեց, որ սինուսոիդային բաղադրիչի ժամանակաշրջանների ավելացումը կհանգեցնի դրա արագ քայքայման: Սա հստակ երևում է հիմնարար և երկրորդ ներդաշնակության մեջ: Վերջինում ջերմաստիճանը առավելագույն և նվազագույն արժեքների է հասնում երկու անգամ մեկ անցումով, իսկ առաջինում՝ միայն մեկ անգամ։ Ստացվում է, որ երկրորդ ներդաշնակության մեջ ջերմությամբ ծածկված հեռավորությունը կկազմի հիմնարարի կեսը: Բացի այդ, երկրորդի գրադիենտը նույնպես երկու անգամ ավելի կտրուկ կլինի, քան առաջինում։ Հետևաբար, քանի որ ավելի ինտենսիվ ջերմային հոսքը անցնում է երկու անգամ ավելի կարճ տարածություն, այս ներդաշնակությունը կքայքայվի չորս անգամ ավելի արագ, քան հիմնարարը, որպես ժամանակի ֆունկցիա: Հետագայում այս գործընթացն էլ ավելի արագ կլինի։ Մաթեմատիկոսը կարծում էր, որ այս մեթոդը թույլ է տալիս ժամանակի ընթացքում հաշվարկել սկզբնական ջերմաստիճանի բաշխման գործընթացը։
Մարտահրավեր ժամանակակիցներին
Ֆուրիեի փոխակերպման ալգորիթմը վիճարկեց այն ժամանակվա մաթեմատիկայի տեսական հիմքերը: Տասնիններորդ դարի սկզբին ամենահայտնի գիտնականները, ներառյալ Լագրանժը, Լապլասը, Պուասոնը, Լեժանդրը և Բիոտը, չընդունեցին նրա հայտարարությունը, որ նախնական ջերմաստիճանի բաշխումը տարրալուծվում է բաղադրիչների հիմնարար ներդաշնակության և ավելի բարձր հաճախականությունների տեսքով: Այնուամենայնիվ, Գիտությունների ակադեմիան չկարողացավ անտեսել մաթեմատիկոսի ստացած արդյունքները և նրան մրցանակ շնորհեց ջերմության փոխանցման օրենքների տեսության, ինչպես նաև այն ֆիզիկական փորձերի հետ համեմատելու համար։ Ֆուրիեի մոտեցման մեջ հիմնական առարկությունն այն էր, որ ընդհատվող ֆունկցիան ներկայացված է մի քանի սինուսոիդային ֆունկցիաների գումարով, որոնք շարունակական են։ Ի վերջո, նրանք նկարագրում են պատռված ուղիղ և կոր գծեր: Գիտնականի ժամանակակիցները երբեք չեն հանդիպել նմանատիպ իրավիճակի, երբ ընդհատվող ֆունկցիաները նկարագրվում են շարունակականների համակցությամբ, ինչպիսիք են քառակուսի, գծային, սինուսոիդ կամ էքսպոնենցիալ: Այն դեպքում, երբ մաթեմատիկոսը ճիշտ էր իր պնդումներում, ապա եռանկյունաչափական ֆունկցիայի անվերջ շարքի գումարը պետք է կրճատվի մինչև ճշգրիտ աստիճանական: Այն ժամանակ նման հայտարարությունն անհեթեթ էր թվում։ Այնուամենայնիվ, չնայած կասկածներին, որոշ հետազոտողներ (օրինակ՝ Կլոդ Նավյեն, Սոֆի Ժերմենը) ընդլայնել են հետազոտության շրջանակը և դրանք դուրս են բերել ջերմային էներգիայի բաշխման վերլուծությունից: Միևնույն ժամանակ, մաթեմատիկոսները շարունակում էին պայքարել այն հարցի շուրջ, թե արդյոք մի քանի սինուսոիդային ֆունկցիաների գումարը կարող է կրճատվել մինչև ընդհատվող ֆունկցիայի ճշգրիտ ներկայացում:
200 տարեկանպատմություն
Այս տեսությունը զարգացել է երկու դարերի ընթացքում, այսօր այն վերջնականապես ձևավորվել է: Նրա օգնությամբ տարածական կամ ժամանակային ֆունկցիաները բաժանվում են սինուսոիդային բաղադրիչների, որոնք ունեն իրենց հաճախականությունը, փուլը և ամպլիտուդը։ Այս փոխակերպումը ստացվում է երկու տարբեր մաթեմատիկական մեթոդներով։ Դրանցից առաջինն օգտագործվում է, երբ սկզբնական ֆունկցիան շարունակական է, իսկ երկրորդը, երբ այն ներկայացված է առանձին առանձին փոփոխությունների մի շարքով: Եթե արտահայտությունը ստացվում է արժեքներից, որոնք սահմանվում են դիսկրետ ընդմիջումներով, ապա այն կարելի է բաժանել մի քանի սինուսոիդային արտահայտությունների՝ դիսկրետ հաճախականությամբ՝ ամենացածրից, այնուհետև երկու անգամ, երեք անգամ և այլն, քան հիմնականը: Նման գումարը կոչվում է Ֆուրիեի շարք: Եթե սկզբնական արտահայտությանը տրվում է արժեք յուրաքանչյուր իրական թվի համար, ապա այն կարող է քայքայվել բոլոր հնարավոր հաճախականությունների մի քանի սինուսոիդների: Այն սովորաբար կոչվում է Ֆուրիեի ինտեգրալ, իսկ լուծումը ենթադրում է ֆունկցիայի ամբողջական փոխակերպումներ։ Անկախ նրանից, թե ինչպես է ստացվում փոխարկումը, յուրաքանչյուր հաճախականության համար պետք է նշել երկու թիվ՝ ամպլիտուդ և հաճախականություն: Այս արժեքները արտահայտվում են որպես մեկ բարդ թիվ: Կոմպլեքս փոփոխականների արտահայտությունների տեսությունը Ֆուրիեի փոխակերպման հետ միասին հնարավորություն է տվել հաշվարկներ իրականացնել տարբեր էլեկտրական սխեմաների նախագծման, մեխանիկական թրթռումների վերլուծության, ալիքների տարածման մեխանիզմի ուսումնասիրության և այլնի մեջ։
Ֆուրիեի փոխակերպումն այսօր
Այսօր այս գործընթացի ուսումնասիրությունը հիմնականում կրճատվել է արդյունավետ գտնելովանցումային մեթոդներ ֆունկցիայից նրա փոխակերպված ձևին և հակառակը: Այս լուծումը կոչվում է ուղղակի և հակադարձ Ֆուրիեի փոխակերպում: Ինչ է դա նշանակում? Ինտեգրալը որոշելու և ուղղակի Ֆուրիեի փոխակերպում ստեղծելու համար կարելի է օգտագործել մաթեմատիկական կամ վերլուծական մեթոդներ։ Չնայած այն հանգամանքին, որ դրանք գործնականում օգտագործելիս առաջանում են որոշակի դժվարություններ, ինտեգրալների մեծ մասն արդեն գտնվել և ներառվել է մաթեմատիկական տեղեկատու գրքերում: Թվային մեթոդները կարող են օգտագործվել հաշվարկելու արտահայտությունները, որոնց ձևը հիմնված է փորձարարական տվյալների վրա, կամ ֆունկցիաներ, որոնց ինտեգրալները հասանելի չեն աղյուսակներում և դժվար է ներկայացնել վերլուծական ձևով:
Մինչ համակարգիչների հայտնվելը, նման փոխակերպումների հաշվարկները շատ հոգնեցուցիչ էին, դրանք պահանջում էին մեծ թվով թվաբանական գործողությունների ձեռքով կատարում, որը կախված էր ալիքի ֆունկցիան նկարագրող կետերի քանակից։ Հաշվարկները հեշտացնելու համար այսօր կան հատուկ ծրագրեր, որոնք հնարավորություն են տվել իրականացնել վերլուծական նոր մեթոդներ։ Այսպիսով, 1965 թվականին Ջեյմս Քուլին և Ջոն Թուքին ստեղծեցին ծրագրակազմ, որը հայտնի դարձավ որպես «Ֆուրիեի արագ փոխակերպում»: Այն թույլ է տալիս ժամանակ խնայել հաշվարկների համար՝ նվազեցնելով կորի վերլուծության բազմապատկումների քանակը: Ֆուրիեի արագ փոխակերպման մեթոդը հիմնված է կորը մեծ թվով միատեսակ նմուշի արժեքների բաժանելու վրա: Համապատասխանաբար, բազմապատկումների թիվը կրկնակի կրճատվում է միավորների քանակի նույն նվազմամբ։
Ֆուրիեի փոխակերպման կիրառում
Սագործընթացն օգտագործվում է գիտության տարբեր ոլորտներում՝ թվերի տեսության, ֆիզիկայի, ազդանշանների մշակման, կոմբինատորիկայի, հավանականությունների տեսության, ծածկագրության, վիճակագրության, օվկիանոսագիտության, օպտիկայի, ակուստիկայի, երկրաչափության և այլնի մեջ: Դրա կիրառման հարուստ հնարավորությունները հիմնված են մի շարք օգտակար հատկանիշների վրա, որոնք կոչվում են «Ֆուրիեի փոխակերպման հատկություններ»։ Հաշվի առեք դրանք։
1. Ֆունկցիայի փոխակերպումը գծային օպերատոր է և, համապատասխան նորմալացումով, ունիտար է։ Այս հատկությունը հայտնի է որպես Պարսևալի թեորեմ, կամ ընդհանրապես Պլանշերելի թեորեմ կամ Պոնտրյագինի դուալիզմ։
2. Փոխակերպումը շրջելի է։ Ընդ որում, հակառակ արդյունքն ունի գրեթե նույն ձևը, ինչ ուղղակի լուծման դեպքում։
3. Սինուսոիդային հիմքի արտահայտությունները սեփական տարբերակված ֆունկցիաներ են: Սա նշանակում է, որ նման ներկայացումը հաստատուն գործակիցով գծային հավասարումները փոխում է սովորական հանրահաշվականի։
4. Համաձայն «կոնվոլյուցիայի» թեորեմի՝ այս գործընթացը բարդ գործողությունը վերածում է տարրական բազմապատկման։
5. Դիսկրետ Ֆուրիեի տրանսֆորմացիան կարելի է արագ հաշվարկել համակարգչի վրա՝ օգտագործելով «արագ» մեթոդը։
Ֆուրիեի փոխակերպման տարատեսակներ
1. Ամենից հաճախ այս տերմինն օգտագործվում է շարունակական փոխակերպումը նշելու համար, որն ապահովում է քառակուսի ինտեգրվող ցանկացած արտահայտություն՝ որպես կոնկրետ անկյունային հաճախականություններով և ամպլիտուդներով բարդ էքսպոնենցիալ արտահայտությունների գումար: Այս տեսակն ունի մի քանի տարբեր ձևեր, որոնք կարող ենտարբերվում են հաստատուն գործակիցներով: Շարունակական մեթոդը ներառում է փոխակերպման աղյուսակ, որը կարելի է գտնել մաթեմատիկական տեղեկատու գրքերում: Ընդհանրացված դեպքը կոտորակային փոխակերպումն է, որի միջոցով տվյալ գործընթացը կարելի է հասցնել պահանջվող իրական հզորության։
2. Շարունակական ռեժիմը Ֆուրիեի շարքի վաղ տեխնիկայի ընդհանրացումն է, որը սահմանվել է սահմանափակ տարածքում գոյություն ունեցող տարբեր պարբերական ֆունկցիաների կամ արտահայտությունների համար և դրանք ներկայացնում են որպես սինուսոիդների շարք:
3. Դիսկրետ Ֆուրիեի փոխակերպում. Այս մեթոդը օգտագործվում է համակարգչային տեխնիկայում գիտական հաշվարկների և թվային ազդանշանի մշակման համար: Այս տեսակի հաշվարկն իրականացնելու համար անհրաժեշտ է ունենալ ֆունկցիաներ, որոնք սահմանում են առանձին կետեր, պարբերական կամ սահմանափակ տարածքներ դիսկրետ բազմության վրա՝ շարունակական Ֆուրիեի ինտեգրալների փոխարեն: Ազդանշանի փոխակերպումն այս դեպքում ներկայացված է որպես սինուսոիդների գումար: Միևնույն ժամանակ, «արագ» մեթոդի կիրառումը հնարավորություն է տալիս կիրառել դիսկրետ լուծումներ ցանկացած գործնական խնդրի համար։
4. Պատուհանավոր Ֆուրիեի փոխակերպումը դասական մեթոդի ընդհանրացված ձևն է: Ի տարբերություն ստանդարտ լուծման, երբ օգտագործվում է ազդանշանի սպեկտրը, որն ընդունվում է տվյալ փոփոխականի գոյության ողջ տիրույթում, այստեղ առանձնահատուկ հետաքրքրություն է միայն տեղական հաճախականության բաշխումը, պայմանով, որ սկզբնական փոփոխականը (ժամանակը) պահպանվի։.
5. Ֆուրիեի երկչափ փոխակերպում. Այս մեթոդը օգտագործվում է երկչափ տվյալների զանգվածների հետ աշխատելու համար: Այս դեպքում նախ փոխակերպումը կատարվում է մեկ ուղղությամբ, իսկ հետո՝ ներսայլ.
Եզրակացություն
Այսօր Ֆուրիեի մեթոդը ամուր արմատավորված է գիտության տարբեր ոլորտներում: Օրինակ՝ 1962 թվականին ԴՆԹ-ի կրկնակի պարույրի ձևը հայտնաբերվեց Ֆուրիեի վերլուծության միջոցով՝ համակցված ռենտգենյան դիֆրակցիայի հետ: Վերջիններս կենտրոնացած էին ԴՆԹ-ի մանրաթելերի բյուրեղների վրա, ինչի արդյունքում ճառագայթման դիֆրակցիայի արդյունքում ստացված պատկերը գրանցվեց թաղանթի վրա։ Այս նկարը տեղեկատվություն է տվել ամպլիտուդի արժեքի մասին, երբ օգտագործվում է Ֆուրիեի փոխակերպումը տվյալ բյուրեղային կառուցվածքում: Ֆազային տվյալները ստացվել են ԴՆԹ-ի դիֆրակցիոն քարտեզը համեմատելով նմանատիպ քիմիական կառուցվածքների վերլուծությունից ստացված քարտեզների հետ: Արդյունքում կենսաբանները վերականգնել են բյուրեղային կառուցվածքը՝ սկզբնական ֆունկցիան։
Ֆուրիեի փոխակերպումները հսկայական դեր են խաղում տիեզերքի, կիսահաղորդիչների և պլազմայի ֆիզիկայի, միկրոալիքային ակուստիկայի, օվկիանոսագրության, ռադարների, սեյսմոլոգիայի և բժշկական հետազոտությունների ուսումնասիրության մեջ:
