Ֆուրիեի շարքը կամայականորեն վերցված ֆունկցիայի ներկայացում է որոշակի ժամանակահատվածով որպես շարք: Ընդհանուր առմամբ, այս լուծումը կոչվում է տարրի տարրալուծում ուղղանկյուն հիմքով: Ֆուրյեի շարքի ֆունկցիաների ընդլայնումը բավականին հզոր գործիք է տարբեր խնդիրներ լուծելու համար, որոնք պայմանավորված են այս փոխակերպման հատկություններով, երբ ինտեգրվում, տարբերակվում է, ինչպես նաև փոխակերպում է արտահայտությունը փաստարկի և կոնվուլյացիայի մեջ:
:
Մարդը, ով ծանոթ չէ բարձրագույն մաթեմատիկային, ինչպես նաև ֆրանսիացի գիտնական Ֆուրիեի աշխատանքներին, ամենայն հավանականությամբ չի հասկանա, թե ինչ են այդ «շարքերը» և ինչի համար են դրանք: Մինչդեռ այս փոխակերպումը բավականին խիտ է դարձել մեր կյանքում։ Այն օգտագործում են ոչ միայն մաթեմատիկոսները, այլև ֆիզիկոսները, քիմիկոսները, բժիշկները, աստղագետները, սեյսմոլոգները, օվկիանոսագետները և շատ ուրիշներ։ Եկեք մանրամասն նայենք ֆրանսիացի մեծ գիտնականի աշխատանքներին, ով իր ժամանակից շուտ հայտնագործություն է արել։
Մարդը և Ֆուրիեի փոխակերպումը
Ֆուրիեի շարքերը Ֆուրիեի փոխակերպման մեթոդներից են (վերլուծության և այլոց հետ միասին): Այս գործընթացը տեղի է ունենում ամեն անգամ, երբ մարդը ձայն է լսում: Մեր ականջը ավտոմատ կերպով փոխակերպում է ձայնըալիքներ. Առաձգական միջավայրում տարրական մասնիկների տատանողական շարժումները տարրալուծվում են տարբեր բարձրությունների տոնների համար ծավալային մակարդակի հաջորդական արժեքների շարքերում (սպեկտրի երկայնքով): Այնուհետև ուղեղը այս տվյալները վերածում է մեզ ծանոթ հնչյունների: Այս ամենը տեղի է ունենում ի լրումն մեր ցանկության կամ գիտակցության, ինքնին, բայց այս գործընթացները հասկանալու համար մի քանի տարի կպահանջվի բարձրագույն մաթեմատիկա ուսումնասիրելու համար:
Ավելին Ֆուրյեի տրանսֆորմացիայի մասին
Ֆուրիեի փոխակերպումը կարող է իրականացվել վերլուծական, թվային և այլ մեթոդներով: Ֆուրիեի շարքերը վերաբերում են ցանկացած տատանողական գործընթացների տարրալուծման թվային եղանակներին՝ օվկիանոսի մակընթացություններից և լուսային ալիքներից մինչև արևի (և աստղագիտական այլ օբյեկտների) գործունեության ցիկլեր: Օգտագործելով այս մաթեմատիկական տեխնիկան՝ հնարավոր է վերլուծել ֆունկցիաները՝ ցանկացած տատանողական պրոցեսներ ներկայացնելով որպես սինուսոիդային բաղադրիչների շարք, որոնք գնում են նվազագույնից առավելագույնը և հակառակը: Ֆուրիեի փոխակերպումը ֆունկցիա է, որը նկարագրում է սինուսոիդների փուլը և ամպլիտուդը, որոնք համապատասխանում են որոշակի հաճախականությանը: Այս գործընթացը կարող է օգտագործվել շատ բարդ հավասարումներ լուծելու համար, որոնք նկարագրում են դինամիկ գործընթացները, որոնք տեղի են ունենում ջերմային, լույսի կամ էլեկտրական էներգիայի ազդեցության տակ: Նաև Ֆուրիեի շարքերը հնարավորություն են տալիս մեկուսացնել հաստատուն բաղադրիչները բարդ տատանողական ազդանշանների մեջ, ինչը հնարավորություն է տվել ճիշտ մեկնաբանել ստացված փորձարարական դիտարկումները բժշկության, քիմիայի և աստղագիտության մեջ։
Պատմական նախապատմություն
Այս տեսության հիմնադիր հայրըԺան Բատիստ Ժոզեֆ Ֆուրիեն ֆրանսիացի մաթեմատիկոս է։ Այս կերպարանափոխությունը հետագայում կոչվեց նրա անունով։ Սկզբում գիտնականը կիրառեց իր մեթոդը՝ ուսումնասիրելու և բացատրելու ջերմության փոխանցման մեխանիզմները՝ ջերմության տարածումը պինդ մարմիններում։ Ֆուրիեն առաջարկեց, որ ջերմային ալիքի սկզբնական անկանոն բաշխումը կարող է քայքայվել ամենապարզ սինուսոիդների, որոնցից յուրաքանչյուրը կունենա իր ջերմաստիճանի նվազագույնը և առավելագույնը, ինչպես նաև իր փուլը: Այս դեպքում յուրաքանչյուր նման բաղադրիչ չափվելու է նվազագույնից մինչև առավելագույն և հակառակը: Մաթեմատիկական ֆունկցիան, որը նկարագրում է կորի վերին և ստորին գագաթները, ինչպես նաև ներդաշնակություններից յուրաքանչյուրի փուլը, կոչվում է ջերմաստիճանի բաշխման արտահայտության Ֆուրիեի փոխակերպում։ Տեսության հեղինակը կրճատել է ընդհանուր բաշխման ֆունկցիան, որը դժվար է մաթեմատիկորեն նկարագրել, վերածելով պարբերական կոսինուսի և սինուսի ֆունկցիաների շատ հեշտ կառավարելի շարքի, որոնք գումարվում են սկզբնական բաշխմանը։
Փոխակերպման սկզբունքը և ժամանակակիցների հայացքները
Գիտնականի ժամանակակիցները՝ XIX դարի սկզբի առաջատար մաթեմատիկոսները, չէին ընդունում այս տեսությունը։ Հիմնական առարկությունը Ֆուրիեի պնդումն էր, որ ուղիղ գիծը կամ ընդհատվող կորը նկարագրող ընդհատվող ֆունկցիան կարող է ներկայացվել որպես սինուսոիդային արտահայտությունների գումար, որոնք շարունակական են։ Որպես օրինակ, դիտարկենք Heaviside-ի «քայլը». դրա արժեքը զրո է բացվածքից ձախ և մեկ՝ աջ: Այս ֆունկցիան նկարագրում է էլեկտրական հոսանքի կախվածությունը ժամանակի փոփոխականից, երբ միացումը փակ է: Տեսության այն ժամանակվա ժամանակակիցները երբեք նման բան չէին հանդիպելմի իրավիճակ, որտեղ ընդհատվող արտահայտությունը կարող է նկարագրվել շարունակական, սովորական ֆունկցիաների համակցությամբ, ինչպիսիք են էքսպոնենցիալը, սինուսոիդը, գծայինը կամ քառակուսայինը:
Ի՞նչը շփոթեցրեց ֆրանսիացի մաթեմատիկոսներին Ֆուրիեի տեսության մեջ:
Ի վերջո, եթե մաթեմատիկոսը ճիշտ էր իր պնդումներում, ապա ամփոփելով անսահման եռանկյունաչափական Ֆուրիեի շարքը, դուք կարող եք ստանալ քայլի արտահայտության ճշգրիտ ներկայացում, նույնիսկ եթե այն ունի բազմաթիվ նմանատիպ քայլեր: Տասնիններորդ դարի սկզբին նման հայտարարությունն անհեթեթ էր թվում։ Բայց չնայած բոլոր կասկածներին, շատ մաթեմատիկոսներ ընդլայնել են այս երեւույթի ուսումնասիրության շրջանակը՝ այն դուրս բերելով ջերմահաղորդականության ուսումնասիրությունների շրջանակներից։ Այնուամենայնիվ, գիտնականների մեծամասնությունը շարունակում էր անհանգստանալ այն հարցի շուրջ. «Կարո՞ղ է սինուսոիդային շարքի գումարը համընկնել ընդհատվող ֆունկցիայի ճշգրիտ արժեքին»:
Ֆուրիեի շարքերի կոնվերգենցիա. օրինակ
Մոտեցման հարցը բարձրացվում է ամեն անգամ, երբ անհրաժեշտ է լինում ամփոփել թվերի անվերջ շարքերը: Այս երևույթը հասկանալու համար դիտարկենք դասական օրինակ. Կարո՞ղ եք երբևէ հասնել պատին, եթե յուրաքանչյուր հաջորդ քայլը նախորդի չափի կեսն է: Ենթադրենք, դուք գտնվում եք նպատակից երկու մետր հեռավորության վրա, առաջին քայլը ձեզ մոտեցնում է ճանապարհի կեսին, հաջորդը՝ երեք քառորդին, իսկ հինգերորդից հետո դուք կանցնեք ճանապարհի գրեթե 97 տոկոսը։ Այնուամենայնիվ, ինչքան էլ քայլ անեք, մաթեմատիկական խիստ իմաստով չեք հասնի նախատեսված նպատակին։ Թվային հաշվարկներով կարելի է ապացուցել, որ ի վերջո կարելի է մոտենալ այնքան, որքան ցանկանում է։փոքր նշված հեռավորությունը: Այս ապացույցը համարժեք է ցույց տալու, որ կեսի, մեկ չորրորդի և այլնի գումարային արժեքը հակված է մեկին:
Մոտեցման հարց. Երկրորդ Գալուստը, կամ Լորդ Քելվինի սարքը
Այս հարցը բազմիցս բարձրացվել է տասնիններորդ դարի վերջին, երբ Ֆուրիեի շարքերը փորձեցին օգտագործել մակընթացության և հոսքի ինտենսիվությունը կանխատեսելու համար: Այդ ժամանակ Լորդ Քելվինը հայտնագործեց մի սարք, որը անալոգային հաշվողական սարք է, որը թույլ էր տալիս ռազմական և առևտրային նավատորմի նավաստիներին հետևել այս բնական երևույթին: Այս մեխանիզմը որոշեց փուլերի և ամպլիտուդների հավաքածուն մակընթացությունների բարձրությունների աղյուսակից և դրանց համապատասխան ժամանակային պահերից, որոնք խնամքով չափվում էին տվյալ նավահանգստում տարվա ընթացքում: Յուրաքանչյուր պարամետր մակընթացության բարձրության արտահայտման սինուսոիդային բաղադրիչ էր և կանոնավոր բաղադրիչներից մեկն էր: Չափումների արդյունքները մուտքագրվել են լորդ Քելվինի հաշվիչը, որը սինթեզել է կոր, որը կանխատեսում է ջրի բարձրությունը՝ կախված հաջորդ տարվա ժամանակից: Շատ շուտով նմանատիպ կորեր կազմվեցին աշխարհի բոլոր նավահանգիստների համար։
Իսկ եթե գործընթացը խախտվում է ընդհատվող գործառույթով:
Այն ժամանակ ակնհայտ էր թվում, որ մակընթացային ալիքների կանխատեսումը մեծ թվով հաշվիչ տարրերով կարող է հաշվարկել մեծ թվով փուլեր և ամպլիտուդներ և այդպիսով ապահովել ավելի ճշգրիտ կանխատեսումներ: Այնուամենայնիվ, պարզվեց, որ այդ օրինաչափությունը չի նկատվում այն դեպքերում, երբ մակընթացային արտահայտությունը, որը հետևում էսինթեզել, պարունակում էր կտրուկ ցատկ, այսինքն՝ ընդհատվող։ Այն դեպքում, երբ տվյալներ մուտքագրվում են սարք ժամանակային պահերի աղյուսակից, ապա այն հաշվարկում է մի քանի Ֆուրիեի գործակից: Նախնական գործառույթը վերականգնվում է սինուսոիդային բաղադրիչների շնորհիվ (ըստ հայտնաբերված գործակիցների): Բնօրինակի և վերականգնված արտահայտության միջև անհամապատասխանությունը կարող է չափվել ցանկացած կետում: Կրկնվող հաշվարկներ և համեմատություններ կատարելիս կարելի է տեսնել, որ ամենամեծ սխալի արժեքը չի նվազում։ Այնուամենայնիվ, դրանք տեղայնացված են ընդհատման կետին համապատասխան տարածաշրջանում և ցանկացած այլ կետում հակված են զրոյի: 1899 թվականին այս արդյունքը տեսականորեն հաստատվեց Յեյլի համալսարանից Ջոշուա Ուիլարդ Գիբսի կողմից։
Ֆուրիեի շարքերի կոնվերգենցիան և մաթեմատիկայի զարգացումն ընդհանրապես
Ֆուրիեի վերլուծությունը կիրառելի չէ որոշակի միջակայքում անսահման թվով պայթյուններ պարունակող արտահայտությունների համար: Ընդհանուր առմամբ, Ֆուրիեի շարքերը, եթե սկզբնական ֆունկցիան իրական ֆիզիկական չափման արդյունք է, միշտ համընկնում են: Գործառույթների հատուկ դասերի համար այս գործընթացի սերտաճման հարցերը հանգեցրել են մաթեմատիկայի նոր բաժինների առաջացմանը, օրինակ՝ ընդհանրացված ֆունկցիաների տեսությանը։ Այն կապված է այնպիսի անունների հետ, ինչպիսիք են Լ. Շվարցը, Ջ. Միկուսինսկին և Ջ. Թեմփլը։ Այս տեսության շրջանակներում հստակ և ճշգրիտ տեսական հիմք է ստեղծվել այնպիսի արտահայտությունների համար, ինչպիսիք են Դիրակի դելտայի ֆունկցիան (այն նկարագրում է մեկ տարածքի տարածք, որը կենտրոնացած է կետի անսահման փոքր հարևանությամբ) և Հևիսայդը: քայլ»։ Այս աշխատանքի շնորհիվ Fourier շարքը դարձավ կիրառելիլուծել հավասարումներ և խնդիրներ, որոնք ներառում են ինտուիտիվ հասկացություններ՝ կետային լիցք, կետային զանգված, մագնիսական դիպոլներ, ինչպես նաև ճառագայթի վրա կենտրոնացված բեռ։
Ֆուրյեի մեթոդ
Ֆուրյեի շարքերը, համաձայն միջամտության սկզբունքների, սկսվում են բարդ ձևերի տարրալուծմամբ ավելի պարզների: Օրինակ, ջերմային հոսքի փոփոխությունը բացատրվում է անկանոն ձևի ջերմամեկուսիչ նյութից պատրաստված տարբեր խոչընդոտների միջով անցնելով կամ երկրի մակերեսի փոփոխությամբ՝ երկրաշարժ, երկնային մարմնի ուղեծրի փոփոխությամբ. մոլորակներ. Որպես կանոն, պարզ դասական համակարգերը նկարագրող նմանատիպ հավասարումները տարրականորեն լուծվում են յուրաքանչյուր առանձին ալիքի համար։ Ֆուրիեն ցույց տվեց, որ պարզ լուծումները նույնպես կարելի է ամփոփել ավելի բարդ խնդիրների լուծումներ տալու համար։ Մաթեմատիկայի լեզվով Ֆուրիեի շարքը արտահայտությունը որպես ներդաշնակությունների գումար՝ կոսինուս և սինուսոիդներ ներկայացնելու տեխնիկա է: Հետևաբար, այս վերլուծությունը հայտնի է նաև որպես «ներդաշնակ վերլուծություն»:
Ֆուրյեի սերիա - իդեալական տեխնիկա մինչև «համակարգչային դարաշրջանը»
Մինչ համակարգչային տեխնոլոգիաների ստեղծումը Ֆուրիեի տեխնիկան լավագույն զենքն էր գիտնականների զինանոցում մեր աշխարհի ալիքային բնույթի հետ աշխատելիս: Ֆուրիեի շարքը բարդ ձևով թույլ է տալիս լուծել ոչ միայն պարզ խնդիրներ, որոնք կարող են ուղղակիորեն կիրառվել Նյուտոնի մեխանիկայի օրենքների վրա, այլև հիմնարար հավասարումներ: XIX դարում Նյուտոնի գիտության հայտնագործությունների մեծ մասը հնարավոր է դարձել միայն Ֆուրիեի տեխնիկայի շնորհիվ:
Ֆուրիեի շարքն այսօր
Ֆուրիեի փոխակերպման համակարգիչների մշակմամբբարձրացվել է բոլորովին նոր մակարդակի: Այս տեխնիկան ամուր արմատավորված է գիտության և տեխնիկայի գրեթե բոլոր ոլորտներում: Օրինակ՝ թվային աուդիո և վիդեո ազդանշան է: Դրա իրագործումը հնարավոր դարձավ միայն XIX դարի սկզբին ֆրանսիացի մաթեմատիկոսի մշակած տեսության շնորհիվ։ Այսպիսով, բարդ ձևով Ֆուրիեի շարքը հնարավորություն տվեց բեկում մտցնել արտաքին տարածության ուսումնասիրության մեջ։ Բացի այդ, այն ազդել է կիսահաղորդչային նյութերի և պլազմայի ֆիզիկայի, միկրոալիքային ակուստիկայի, օվկիանոսագրության, ռադարի, սեյսմոլոգիայի ուսումնասիրության վրա։
Եռանկյունաչափական Ֆուրիեի շարք
Մաթեմատիկայում Ֆուրիեի շարքը կամայական բարդ ֆունկցիաները որպես ավելի պարզ ֆունկցիաների գումար ներկայացնելու միջոց է: Ընդհանուր դեպքերում նման արտահայտությունների թիվը կարող է անսահման լինել։ Ընդ որում, որքան դրանց թիվը հաշվի է առնվում հաշվարկում, այնքան ավելի ճշգրիտ է ստացվում վերջնական արդյունքը։ Ամենից հաճախ կոսինուսի կամ սինուսի եռանկյունաչափական ֆունկցիաները օգտագործվում են որպես ամենապարզ: Այս դեպքում Ֆուրիեի շարքերը կոչվում են եռանկյունաչափական, իսկ նման արտահայտությունների լուծումը՝ հարմոնիկի ընդլայնում։ Այս մեթոդը կարևոր դեր է խաղում մաթեմատիկայի մեջ։ Նախ և առաջ, եռանկյունաչափական շարքը հնարավորություն է տալիս պատկերի համար, ինչպես նաև գործառույթների ուսումնասիրություն, այն տեսության հիմնական ապարատն է։ Բացի այդ, այն թույլ է տալիս լուծել մաթեմատիկական ֆիզիկայի մի շարք խնդիրներ։ Ի վերջո, այս տեսությունը նպաստեց մաթեմատիկական վերլուծության զարգացմանը, առաջացրեց մաթեմատիկական գիտության մի շարք շատ կարևոր բաժիններ (ինտեգրալների տեսություն, պարբերական ֆունկցիաների տեսություն)։ Բացի այդ, այն ելակետ է ծառայել հետևյալ տեսությունների զարգացման համար՝ բազմություններ, ֆունկցիաներիրական փոփոխական, ֆունկցիոնալ վերլուծություն, ինչպես նաև հիմք դրեց հարմոնիկ վերլուծության համար:
