Ստերեոմետրիան ուսումնասիրում է եռաչափ երկրաչափական ձևերի բնութագրերը։ Հայտնի ծավալային պատկերներից մեկը, որը հայտնվում է երկրաչափության խնդիրներում, ուղիղ պրիզմա է։ Եկեք այս հոդվածում դիտարկենք, թե ինչ է դա, ինչպես նաև մանրամասն նկարագրենք եռանկյուն հիմքով պրիզմա:
Պրիզմա և դրա տեսակները
Պրիզման պատկեր է, որը ձևավորվում է տարածության մեջ բազմանկյունի զուգահեռ թարգմանության արդյունքում։ Այս երկրաչափական գործողության արդյունքում ձևավորվում է մի պատկեր, որը բաղկացած է մի քանի զուգահեռագծից և միմյանց զուգահեռ երկու նույնական բազմանկյուններից։ Զուգահեռագրերը պրիզմայի կողմերն են, իսկ բազմանկյունները՝ հիմքերը։
Ցանկացած պրիզմա ունի n+2 կողմ, 3n եզր և 2n գագաթ, որտեղ n-ը բազմանկյուն հիմքի անկյունների կամ կողմերի թիվն է։ Պատկերը ցույց է տալիս հնգանկյուն պրիզմա, որն ունի 7 կողմ, 10 գագաթ և 15 եզր։
Թվերի դիտարկվող դասը ներկայացված է մի քանի տեսակի պրիզմայով:Մենք դրանք համառոտ թվարկում ենք՝
- գոգավոր և ուռուցիկ;
- թեք և ուղիղ;
- սխալ և ճիշտ.
Յուրաքանչյուր ցուցանիշ պատկանում է դասակարգման թվարկված երեք տեսակներից մեկին: Երկրաչափական խնդիրներ լուծելիս ամենահեշտն է հաշվարկներ կատարել կանոնավոր և ուղիղ պրիզմաների համար։ Վերջինս ավելի մանրամասն կքննարկվի հոդվածի հաջորդ պարբերություններում։
Ի՞նչ է ուղիղ պրիզմա?
Ուղիղ պրիզմա գոգավոր կամ ուռուցիկ, կանոնավոր կամ անկանոն պրիզմա է, որի բոլոր կողմերը ներկայացված են 90° անկյուններով քառանկյուններով: Եթե կողմերի քառանկյուններից գոնե մեկը ուղղանկյուն կամ քառակուսի չէ, ապա պրիզման կոչվում է թեք։ Կարելի է նաև մեկ այլ սահմանում տալ՝ ուղիղ պրիզմա է տվյալ դասի այնպիսի պատկեր, որտեղ ցանկացած կողային եզր հավասար է բարձրությանը։ Պրիզմայի h բարձրության տակ ենթադրվում է նրա հիմքերի միջև հեռավորությունը։
Տրված երկու սահմանումներն էլ, որ այն ուղիղ պրիզմա է, հավասար են և ինքնաբավ։ Դրանցից հետևում է, որ հիմքերի և յուրաքանչյուր կողմի միջև բոլոր երկանկյուն անկյունները 90° են։
Վերևում ասվեց, որ խնդիրներ լուծելիս հարմար է աշխատել ուղիղ թվերի հետ։ Դա պայմանավորված է նրանով, որ բարձրությունը համընկնում է կողային կողի երկարությանը: Վերջին փաստը հեշտացնում է գործչի ծավալը և նրա կողային մակերեսի մակերեսը հաշվարկելու գործընթացը։
Ուղիղ պրիզմայի ծավալ
Ծավալ - ցանկացած տարածական պատկերին բնորոշ արժեք, որը թվայինորեն արտացոլում է դիտարկվող մակերեսների միջև պարփակված տարածության մի մասը։օբյեկտ. Պրիզմայի ծավալը կարելի է հաշվարկել հետևյալ ընդհանուր բանաձևով՝
V=Soh.
Այսինքն՝ հիմքի բարձրության և մակերեսի արտադրյալը կտա ցանկալի V արժեքը: Քանի որ ուղիղ պրիզմայի հիմքերը հավասար են, ապա որոշեք So մակերեսը. կարող եք վերցնել դրանցից ցանկացածը։
Վերոնշյալ բանաձևը հատուկ ուղիղ պրիզմայի համար օգտագործելու առավելությունը՝ համեմատած դրա մյուս տեսակների հետ, այն է, որ շատ հեշտ է գտնել պատկերի բարձրությունը, քանի որ այն համընկնում է կողային եզրի երկարության հետ։
Կողային տարածք
Հարմար է հաշվարկել ոչ միայն դիտարկվող դասի ուղիղ գործչի ծավալը, այլև դրա կողային մակերեսը։ Իսկապես, նրա ցանկացած կողմ կա՛մ ուղղանկյուն է, կա՛մ քառակուսի։ Յուրաքանչյուր ուսանող գիտի, թե ինչպես պետք է հաշվարկել այս հարթ թվերի մակերեսը, դրա համար անհրաժեշտ է բազմապատկել հարակից կողմերը միմյանցով:
Ենթադրենք, որ պրիզմայի հիմքը կամայական n-անկյուն է, որի կողմերը հավասար են ai-ի: I ինդեքսը տատանվում է 1-ից մինչև n: Մեկ ուղղանկյան մակերեսը հաշվարկվում է այսպես.
Si=aih.
Կողային մակերեսի Sb մակերեսը հեշտ է հաշվարկել, եթե գումարում եք Si ուղղանկյունների բոլոր մակերեսները: Այս դեպքում մենք ստանում ենք Sbուղիղ պրիզմայի վերջնական բանաձևը՝
Sb=h∑i=1(աi)=hPo.
Այսպիսով, ուղիղ պրիզմայի կողային մակերեսը որոշելու համար պետք է դրա բարձրությունը բազմապատկել մեկ հիմքի պարագծով:
Խնդիր եռանկյուն պրիզմայի հետ
Ենթադրենք, որ տրված է ուղիղ պրիզմա: Հիմքը ուղղանկյուն եռանկյուն է։ Այս եռանկյան ոտքերը 12 սմ և 8 սմ են։ Անհրաժեշտ է հաշվարկել նկարի ծավալը և դրա ընդհանուր մակերեսը, եթե պրիզմայի բարձրությունը 15 սմ է։
Նախ, եկեք հաշվարկենք ուղիղ պրիզմայի ծավալը: Իր հիմքերում գտնվող եռանկյունը (ուղղանկյուն) ունի մակերես՝
So=a1a2/2=128/2=48սմ2.
Ինչպես կարող եք կռահել, a1 և a2 այս հավասարման ոտքեր են: Իմանալով բազայի տարածքը և բարձրությունը (տես խնդրի վիճակը), կարող եք օգտագործել V-ի բանաձևը՝
V=Soh=4815=720սմ3.
Գծապատկերի ընդհանուր մակերեսը կազմված է երկու մասով՝ հիմքերի և կողային մակերեսների։ Երկու հիմքերի մակերեսներն են՝
S2o=2So=482=96սմ2:
Կողային մակերեսը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է իմանալ ուղղանկյուն եռանկյան պարագիծը: Հաշվեք Պյութագորասի թեորեմով նրա հիպոթենուսը a3, մենք ունենք՝
a3 =√(a12+ a2 2)=√(122+ 82)=14,42 սմ.
Այդ դեպքում աջ պրիզմայի հիմքի եռանկյան պարագիծը կլինի՝
P=a1+ a2+ a3=12 + 8 + 14, 42=34, 42 սմ.
Կիրառելով Sb բանաձևը, որը գրված էր նախորդ պարբերությունում,ստանալ՝
Sb=hP=1534, 42=516, 3 սմ.
Ավելացնելով S2o և Sb մակերեսները, մենք ստանում ենք ուսումնասիրված երկրաչափական պատկերի ընդհանուր մակերեսը.
S=S2o+ Sb=96 + 516, 3=612, 3սմ2.
Եռանկյունաձեւ պրիզմա, որը պատրաստված է հատուկ տեսակի ապակուց, օգտագործվում է օպտիկայի մեջ՝ լուսարձակող առարկաների սպեկտրները ուսումնասիրելու համար։ Նման պրիզմաները կարողանում են լույսը տարրալուծել բաղադրիչի հաճախականությունների՝ շնորհիվ ցրման երևույթի։
