Մաթեմատիկայում հավասարումների լուծումն իր ուրույն տեղն ունի. Այս գործընթացին նախորդում է տեսության բազում ժամերի ուսումնասիրությունը, որի ընթացքում ուսանողը սովորում է, թե ինչպես լուծել հավասարումները, որոշել դրանց ձևը և հմտությունը հասցնել լիարժեք ավտոմատիզմի: Այնուամենայնիվ, արմատների որոնումը միշտ չէ, որ իմաստ ունի, քանի որ դրանք կարող են պարզապես գոյություն չունենալ: Արմատներ գտնելու հատուկ մեթոդներ կան։ Այս հոդվածում մենք կվերլուծենք հիմնական գործառույթները, դրանց շրջանակները, ինչպես նաև այն դեպքերը, երբ դրանց արմատները բացակայում են:
Ո՞ր հավասարումն արմատներ չունի։
Հավասարումը արմատներ չունի, եթե չկան այնպիսի իրական փաստարկներ x, որոնց համար հավասարումը նույնականորեն ճշմարիտ է: Ոչ մասնագետի համար այս ձևակերպումը, ինչպես մաթեմատիկական թեորեմների և բանաձևերի մեծ մասը, շատ անորոշ և վերացական է թվում, բայց սա տեսականորեն է: Գործնականում ամեն ինչ չափազանց պարզ է դառնում։ Օրինակ՝ 0x=-53 հավասարումը լուծում չունի, քանի որ չկա այնպիսի x թիվ, որի արտադրյալը զրոյից բացի այլ բան տա։
Այժմ մենք կանդրադառնանք հավասարումների ամենահիմնական տեսակներին:
1. Գծային հավասարում
Հավասարումը կոչվում է գծային, եթե նրա աջ և ձախ մասերը ներկայացված են գծային ֆունկցիաներով. ax + b=cx + d կամ ընդհանրացված ձևով kx + b=0: Որտեղ a, b, c, d հայտնի են: թվեր, իսկ x-ը անհայտ մեծություն է: Ո՞ր հավասարումն արմատներ չունի: Գծային հավասարումների օրինակները ներկայացված են ստորև բերված նկարում:
Հիմնականում գծային հավասարումները լուծվում են՝ պարզապես թվային մասը տեղափոխելով մի մաս, իսկ x-ի պարունակությունը մյուս մաս: Ստացվում է mx \u003d n ձևի հավասարում, որտեղ m և n թվեր են, իսկ x-ը անհայտ է: X-ը գտնելու համար բավական է երկու մասերը բաժանել մ-ի։ Այնուհետև x=n/m: Հիմնականում գծային հավասարումները ունեն միայն մեկ արմատ, բայց կան դեպքեր, երբ արմատները կա՛մ անսահման շատ են, կա՛մ ընդհանրապես չկան։ m=0 և n=0 դեպքում հավասարումը ստանում է 0x=0 ձևը: Նման հավասարման լուծումը կլինի բացարձակապես ցանկացած թիվ:
Բայց ո՞ր հավասարումն արմատներ չունի:
Երբ m=0 և n=0, հավասարումը չունի արմատներ իրական թվերի բազմությունից: 0x=-1; 0x=200 - այս հավասարումները արմատ չունեն:
2. Քառակուսային հավասարում
Քառակային հավասարումը ax2 + bx + c=0 a=0-ի համար ձևի հավասարումն է: Քառակուսային հավասարումը լուծելու ամենատարածված ձևը այն լուծելն է: խտրականի միջոցով։ Քառակուսային հավասարման դիսկրիմինանտը գտնելու բանաձևը՝ D=b2 - 4ac. Այնուհետև կան երկու արմատ x1, 2=(-b ± √D) / 2a.
Երբ D > 0 հավասարումը ունի երկու արմատ, երբ D=0 - մեկ արմատ: Բայց ո՞ր քառակուսի հավասարումն արմատներ չունի։Քառակուսային հավասարման արմատների թիվը դիտարկելու ամենահեշտ ձևը ֆունկցիայի գրաֆիկի վրա է, որը պարաբոլա է: > 0-ում ճյուղերն ուղղված են դեպի վեր, < 0-ում ճյուղերն իջեցված են: Եթե դիսկրիմինանտը բացասական է, ապա նման քառակուսային հավասարումը իրական թվերի բազմության մեջ արմատներ չունի։
Դուք կարող եք նաև տեսողականորեն որոշել արմատների քանակը՝ առանց դիսկրիմինանտը հաշվարկելու: Դա անելու համար հարկավոր է գտնել պարաբոլայի գագաթը և որոշել, թե որ ուղղությամբ են ուղղված ճյուղերը: Դուք կարող եք որոշել գագաթի x-կոորդինատը՝ օգտագործելով բանաձևը՝ x0 =-b / 2a: Այս դեպքում գագաթի y կոորդինատը գտնում ենք՝ պարզապես x0 արժեքը փոխարինելով սկզբնական հավասարման մեջ:
Քառորդական հավասարումը x2 – 8x + 72=0 արմատներ չունի, քանի որ այն ունի բացասական տարբերակիչ D=(–8)2 - 4172=-224: Սա նշանակում է, որ պարաբոլան չի դիպչում x առանցքին, և ֆունկցիան երբեք չի ընդունում 0 արժեքը, հետևաբար հավասարումը չունի իրական արմատներ։
3. Եռանկյունաչափական հավասարումներ
Եռանկյունաչափական ֆունկցիաները դիտարկվում են եռանկյունաչափական շրջանագծի վրա, բայց կարող են ներկայացվել նաև դեկարտյան կոորդինատային համակարգում։ Այս հոդվածում մենք կդիտարկենք երկու հիմնական եռանկյունաչափական ֆունկցիաները և դրանց հավասարումները՝ sinx և cosx: Քանի որ այս ֆունկցիաները կազմում են 1 շառավղով եռանկյունաչափական շրջան, |sinx| եւ |cosx| չի կարող լինել 1-ից մեծ: Այսպիսով, ո՞ր sinx հավասարումն արմատներ չունի: Դիտարկենք նկարում ներկայացված sinx ֆունկցիայի գրաֆիկըստորև։
Մենք տեսնում ենք, որ ֆունկցիան սիմետրիկ է և ունի 2pi-ի կրկնության շրջան։ Ելնելով դրանից՝ կարելի է ասել, որ այս ֆունկցիայի առավելագույն արժեքը կարող է լինել 1, իսկ նվազագույնը՝ -1։ Օրինակ, cosx=5 արտահայտությունը արմատներ չի ունենա, քանի որ դրա մոդուլը մեկից մեծ է:
Սա եռանկյունաչափական հավասարումների ամենապարզ օրինակն է: Իրականում դրանց լուծումը կարող է տեւել բազմաթիվ էջեր, որոնց վերջում հասկանում ես, որ սխալ բանաձեւ ես օգտագործել եւ պետք է ամեն ինչ նորից սկսել։ Երբեմն, նույնիսկ արմատները ճիշտ գտնելով, կարող եք մոռանալ հաշվի առնել ODZ-ի սահմանափակումները, ինչի պատճառով պատասխանում հայտնվում է լրացուցիչ արմատ կամ ընդմիջում, և ամբողջ պատասխանը վերածվում է սխալի: Հետևաբար, խստորեն հետևեք բոլոր սահմանափակումներին, քանի որ ոչ բոլոր արմատներն են տեղավորվում առաջադրանքի շրջանակում։
4. Հավասարումների համակարգեր
Հավասարումների համակարգը հավասարումների ամբողջություն է, որը համակցված է գանգուր կամ քառակուսի փակագծերով: Գանգուր փակագծերը նշանակում են բոլոր հավասարումների համատեղ կատարումը: Այսինքն, եթե հավասարումներից գոնե մեկը չունի արմատներ կամ հակասում է մյուսին, ապա ամբողջ համակարգը լուծում չունի։ Քառակուսի փակագծերը նշանակում են «կամ» բառը: Սա նշանակում է, որ եթե համակարգի հավասարումներից գոնե մեկը լուծում ունի, ապա ամբողջ համակարգը լուծում ունի։
Քառակուսի փակագծերով համակարգի պատասխանը առանձին հավասարումների բոլոր արմատների ամբողջությունն է: Իսկ գանգուր փակագծերով համակարգերը միայն ընդհանուր արմատներ ունեն: Հավասարումների համակարգերը կարող են ներառել բացարձակապես տարբեր գործառույթներ, ուստի այս բարդությունը չէթույլ է տալիս անմիջապես որոշել, թե որ հավասարումն արմատներ չունի:
Ընդհանրացում և խորհուրդներ հավասարման արմատները գտնելու համար
Խնդիր գրքերում և դասագրքերում կան տարբեր տեսակի հավասարումներ՝ արմատներ ունեցող և չունեցող հավասարումներ: Նախ, եթե դուք չեք կարողանում արմատներ գտնել, մի կարծեք, որ դրանք ընդհանրապես գոյություն չունեն: Հնարավոր է, որ ինչ-որ տեղ սխալ եք թույլ տվել, ապա պարզապես կրկնակի ստուգեք ձեր լուծումը:
Մենք լուսաբանել ենք ամենահիմնական հավասարումները և դրանց տեսակները: Այժմ դուք կարող եք ասել, թե որ հավասարումն արմատներ չունի: Շատ դեպքերում դա ամենևին էլ դժվար չէ անել։ Հավասարումների լուծման գործում հաջողության հասնելու համար անհրաժեշտ է միայն ուշադրություն և կենտրոնացում: Ավելի շատ վարժվեք, դա կօգնի ձեզ շատ ավելի լավ և արագ նավարկելու նյութը:
Այսպիսով, հավասարումը արմատներ չունի, եթե՝
- գծային հավասարման մեջ mx=n արժեքը m=0 և n=0;
- քառակուսի հավասարման մեջ, եթե դիսկրիմինանտը փոքր է զրոյից;
- cosx=m / sinx=n ձևի եռանկյունաչափական հավասարման մեջ, եթե |m| > 0, |n| > 0;
- հավասարումների համակարգում գանգուր փակագծերով, եթե առնվազն մեկ հավասարումը չունի արմատներ, և քառակուսի փակագծերով, եթե բոլոր հավասարումները արմատ չունեն:
