Աշակերտի համար ամենադժվար հասկանալի բաներից մեկը պարզ կոտորակներով տարբեր գործողություններն են: Դա պայմանավորված է նրանով, որ երեխաների համար դեռևս դժվար է վերացական մտածել, իսկ կոտորակները, ըստ էության, հենց այդպիսի տեսք ունեն նրանց համար։ Ուստի ուսուցիչները նյութը ներկայացնելիս հաճախ դիմում են անալոգիաների և մատների վրա բառացիորեն բացատրում են կոտորակների հանումն ու գումարումը։ Թեև դպրոցական մաթեմատիկայի ոչ մի դաս չի կարող անել առանց կանոնների և սահմանումների:
Հիմնական հասկացություններ
Կտորակներով որևէ գործողություն սկսելուց առաջ խորհուրդ է տրվում սովորել մի քանի հիմնական սահմանումներ և կանոններ: Սկզբում կարևոր է հասկանալ, թե ինչ է կոտորակը: Դա նշանակում է միավորի մեկ կամ մի քանի կոտորակներ ներկայացնող թիվ։ Օրինակ, եթե բոքոնը կտրեք 8 մասի և դրանցից 3 շերտ դնեք ափսեի մեջ, ապա 3/8-ը կլինի կոտորակ: Ընդ որում, այս գրության մեջ դա կլինի պարզ կոտորակ, որտեղ տողի վերեւի թիվը համարիչն է, իսկ ներքեւում՝ հայտարարը։ Բայց եթե այն գրվի որպես 0,375, այն արդեն տասնորդական կոտորակ կլինի։
Բացի այդ, պարզ կոտորակները բաժանվում են պատշաճ, ոչ պատշաճ և խառը: Առաջինները ներառում են բոլոր նրանց, ում համարիչը փոքր էհայտարար. Եթե, ընդհակառակը, հայտարարը համարիչից փոքր է, դա արդեն ոչ պատշաճ կոտորակ կլինի։ Եթե ճիշտի դիմաց ամբողջ թիվ կա, խոսում են խառը թվերի մասին։ Այսպիսով, 1/2 կոտորակը ճիշտ է, իսկ 7/2-ը՝ ոչ։ Իսկ եթե գրեք այս ձևով՝ 31/2, ապա այն կդառնա խառնված։
Որպեսզի ավելի հեշտ հասկանալ, թե ինչ է կոտորակների գումարումը, և այն հեշտությամբ կատարել, կարևոր է նաև հիշել կոտորակի հիմնական հատկությունը: Դրա էությունը հետեւյալն է. Եթե համարիչն ու հայտարարը բազմապատկվեն նույն թվով, ապա կոտորակը չի փոխվի։ Հենց այս հատկությունն է թույլ տալիս կատարել ամենապարզ գործողությունները սովորական և այլ կոտորակների հետ։ Փաստորեն, սա նշանակում է, որ 1/15-ը և 3/45-ը իրականում նույն թիվն են։
Նույն հայտարարով կոտորակների գումարում
Այս գործողությունը սովորաբար հեշտ է կատարել: Կոտորակների գումարումն այս դեպքում շատ նման է ամբողջ թվերի հետ նման գործողությանը: Հայտարարը մնում է անփոփոխ, իսկ համարիչները պարզապես գումարվում են։ Օրինակ, եթե ձեզ անհրաժեշտ է ավելացնել 2/7 և 3/7 կոտորակներ, ապա նոթատետրում դպրոցական խնդրի լուծումը կլինի այսպիսին՝
2/7 + 3/7=(2+3)/7=5/7.
Բացի այդ, կոտորակների նման գումարումը կարելի է բացատրել պարզ օրինակով։ Վերցրեք սովորական խնձորը և կտրեք, օրինակ, 8 մասի։ Առանձին-առանձին շարել սկզբում 3 մասերը, իսկ հետո դրանց վրա ավելացրեք ևս 2-ը, և արդյունքում բաժակի մեջ կմնա ամբողջական խնձորի 5/8-ը։ Թվաբանական խնդիրն ինքնին գրված է այնպես, ինչպես ցույց է տրված ստորև՝
3/8 + 2/8=(3+2)/8=5/8.
Ավելացումտարբեր հայտարարներով կոտորակներ
Բայց հաճախ լինում են ավելի բարդ խնդիրներ, որտեղ պետք է իրար գումարել, օրինակ՝ 5/9 և 3/5: Հենց այստեղ են առաջանում առաջին դժվարությունները կոտորակների հետ գործողություններում։ Ի վերջո, նման թվեր ավելացնելը լրացուցիչ գիտելիքներ կպահանջի։ Այժմ դուք պետք է ամբողջությամբ հիշեք նրանց հիմնական գույքը: Օրինակից կոտորակները ավելացնելու համար նախ պետք է դրանք կրճատել մեկ ընդհանուր հայտարարի: Դա անելու համար պարզապես իրար մեջ բազմապատկեք 9-ը և 5-ը, «5» համարիչը բազմապատկեք 5-ով, իսկ «3»-ը համապատասխանաբար 9-ով։ Այժմ մնում է միայն գումարել համարիչները և ստանալ 52/45 պատասխանը։ Թղթի կտորի վրա օրինակը կունենա հետևյալ տեսքը՝
5/9 + 3/5=(5 x 5)/(9 x 5) + (3 x 9)/(5 x 9)=25/45 + 27/45=(25+27) /45=52/45=17/45.
Բայց նման հայտարարներով կոտորակներ գումարելը միշտ չէ, որ պահանջում է տողի տակ թվերի պարզ բազմապատկում: Նախ փնտրեք ամենացածր ընդհանուր հայտարարը: Օրինակ, ինչ վերաբերում է 2/3 և 5/6 կոտորակներին։ Նրանց համար սա կլինի 6 թիվը։ Բայց պատասխանը միշտ չէ, որ ակնհայտ է։ Այս դեպքում արժե հիշել երկու թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը (կրճատ LCM) գտնելու կանոնը։
Այն հասկացվում է որպես երկու ամբողջ թվերի նվազագույն ընդհանուր գործակից: Այն գտնելու համար յուրաքանչյուրը տարրալուծեք պարզ գործոնների: Այժմ գրեք նրանցից նրանք, որոնք հայտնվում են յուրաքանչյուր թվի մեջ առնվազն մեկ անգամ: Բազմապատկեք դրանք միասին և ստացեք նույն հայտարարը: Իրականում ամեն ինչ մի փոքր ավելի պարզ է թվում։
Օրինակ, ձեզ հարկավոր էգումարել 4/15 և 1/6 կոտորակները։ Այսպիսով, 3 և 5 պարզ թվերը բազմապատկելով՝ ստացվում է 15, իսկ վեցը՝ երկու և երեք։ Սա նշանակում է, որ նրանց համար LCM-ը կլինի 5 x 3 x 2=30: Այժմ, 30-ը բաժանելով առաջին կոտորակի հայտարարի վրա, մենք ստանում ենք գործակից նրա համարիչի համար՝ 2: Իսկ երկրորդ կոտորակի համար դա կլինի 5 թիվը: Այսպիսով, մնում է ավելացնել սովորական կոտորակները 8/30 և 5/30 և ստանալ պատասխան 13/30: Ամեն ինչ չափազանց պարզ է. Նոթատետրում այս առաջադրանքը պետք է գրվի հետևյալ կերպ՝
4/15 + 1/6=(4 x 2)/(15 x 2) + (1 x 5)/(6 x 5)=8/30 + 5/30=13/30:
NOK (15, 6)=30.
Ավելացնել խառը թվեր
Այժմ, իմանալով պարզ կոտորակներ ավելացնելու բոլոր հիմնական հնարքները, կարող եք փորձել ավելի բարդ օրինակներ: Եվ դրանք կլինեն խառը թվեր, ինչը նշանակում է այս տեսակի կոտորակ՝ 22/3: Այստեղ ամբողջ թիվը գրվում է պատշաճ կոտորակից առաջ։ Եվ շատերը շփոթվում են նման թվերով գործողություններ կատարելիս։ Փաստորեն, նույն կանոնները գործում են այստեղ։
Խառը թվերն իրար գումարելու համար առանձին-առանձին ավելացրեք ամբողջ մասերն ու համապատասխան կոտորակները: Եվ հետո այս 2 արդյունքներն արդեն ամփոփված են։ Գործնականում ամեն ինչ շատ ավելի պարզ է, պարզապես պետք է մի փոքր պարապել։ Օրինակ, խնդրի մեջ անհրաժեշտ է ավելացնել հետևյալ խառը թվերը՝ 11/3 և 42 / 5. Դա անելու համար նախ ավելացրեք 1-ը և 4-ը և ստացեք 5: Այնուհետև ավելացրեք 1/3 և 2/5՝ օգտագործելով նվազագույն ընդհանուր հայտարարի տեխնիկան: Որոշումը կլինի 15.11. Եվ վերջնական պատասխանն է՝ 511/15: Դպրոցական նոթատետրում այն շատ տեսք կունենամի խոսքով:
11/3 + 42/5 =(1 + 4) + (1/3 + 2/5)=5 + 5/15 + 6/15=5 + 11/15=511/ 15.
Ավելացում տասնորդականներ
Սովորական կոտորակներից բացի կան նաև տասնորդականներ։ Ի դեպ, կյանքում դրանք շատ ավելի տարածված են։ Օրինակ, խանութում գինը հաճախ այսպիսի տեսք ունի՝ 20,3 ռուբլի: Սա նույն կոտորակն է։ Իհարկե, դրանք շատ ավելի հեշտ են ծալվում, քան սովորականները։ Սկզբունքորեն պետք է ընդամենը 2 սովորական թիվ ավելացնել, ամենակարևորը՝ ստորակետ դնել ճիշտ տեղում։ Ահա թե որտեղ է դժվարությունը:
Օրինակ, դուք պետք է գումարեք տասնորդական կոտորակներ 2, 5 և 0, 56: Դա ճիշտ անելու համար դուք պետք է վերջում առաջինին ավելացնեք զրո, և ամեն ինչ լավ կլինի:
2, 50 + 0, 56=3, 06.
Կարևոր է իմանալ, որ ցանկացած տասնորդական կոտորակ կարող է վերածվել պարզ կոտորակի, բայց ոչ ամեն պարզ կոտորակը կարող է գրվել որպես տասնորդական: Այսպիսով, մեր օրինակ 2-ից 5=21/2 և 0, 56=14/25: Բայց այնպիսի կոտորակը, ինչպիսին 1/6-ն է, մոտավորապես հավասար կլինի 0-ի, 16667-ի: Նույն իրավիճակը կլինի այլ նմանատիպ թվերի դեպքում՝ 2/7, 1/9 և այլն:
Եզրակացություն
Շատ դպրոցականներ, չհասկանալով կոտորակների հետ գործողությունների գործնական կողմը, անփույթ են վերաբերվում այս թեմային։ Այնուամենայնիվ, ավագ դասարաններում այս հիմնական գիտելիքները թույլ կտան ընկույզի նման սեղմել լոգարիթմներով բարդ օրինակների վրա և գտնել ածանցյալներ: Եվ հետևաբար, արժե մեկ անգամ լավ հասկանալ կոտորակների հետ կատարվող գործողությունները, որպեսզի հետո նեղությունից արմունկներդ չկծես։ Ի վերջո, դժվար թե ավագ դպրոցում ուսուցիչ լինիկվերադառնա այս, արդեն անցած թեմային։ Ավագ դպրոցի ցանկացած աշակերտ պետք է կարողանա կատարել այս վարժությունները:
