Մաթեմատիկական մինչ օրս ամենադժվար բաժիններից են կոտորակները: Կոտորակների պատմությունն ունի ավելի քան մեկ հազարամյակ: Ամբողջը մասերի բաժանելու ունակությունն առաջացել է Հին Եգիպտոսի և Բաբելոնի տարածքում։ Տարիների ընթացքում կոտորակներով կատարվող վիրահատությունները բարդացան, փոխվեց դրանց ձայնագրման ձեւը։ Հին աշխարհի յուրաքանչյուր պետություն ուներ իր առանձնահատկությունները մաթեմատիկայի այս բաժնի հետ «հարաբերություններում»:
Ի՞նչ է կոտորակը:
Երբ անհրաժեշտություն առաջացավ առանց ավելորդ ջանքերի ամբողջը բաժանել մասերի, այն ժամանակ առաջացան կոտորակներ։ Կոտորակների պատմությունը անքակտելիորեն կապված է ուտիլիտար խնդիրների լուծման հետ։ «Ֆրակցիա» տերմինն ինքնին ունի արաբական արմատներ և առաջացել է «կոտրել, բաժանել» բառից: Հին ժամանակներից այս առումով քիչ բան է փոխվել։ Ժամանակակից սահմանումը հետևյալն է՝ կոտորակը միավորի մասն է կամ մասերի գումարը։ Համապատասխանաբար, կոտորակներով օրինակները ներկայացնում են թվերի կոտորակներով մաթեմատիկական գործողությունների հաջորդական կատարումը։
Այսօր կան երկուինչպես են դրանք գրանցվում: Սովորական և տասնորդական կոտորակները առաջացել են տարբեր ժամանակներում. առաջինները ավելի հին են։
Եկել անհիշելի ժամանակներից
Առաջին անգամ նրանք սկսեցին ֆրակցիաներով գործել Եգիպտոսի և Բաբելոնի տարածքում։ Երկու պետությունների մաթեմատիկոսների մոտեցումը զգալի տարբերություններ ուներ. Սակայն սկիզբն այնտեղ ու այնտեղ նույնն էր։ Առաջին կոտորակը կեսն էր կամ 1/2-ը։ Հետո եկավ քառորդը, երրորդը և այլն: Ըստ հնագիտական պեղումների՝ ֆրակցիաների առաջացման պատմությունն ունի մոտ 5 հազար տարի։ Առաջին անգամ թվի կոտորակներ են հայտնաբերվել եգիպտական պապիրուսներում և բաբելոնյան կավե սալիկների վրա։
Հին Եգիպտոս
Սովորական կոտորակների տեսակներն այսօր ներառում են այսպես կոչված եգիպտականները: Դրանք 1/n ձևի մի քանի անդամների գումարն են։ Համարիչը միշտ մեկն է, իսկ հայտարարը՝ բնական թիվ։ Նման կոտորակներ, որքան էլ դժվար է կռահելը, ի հայտ են եկել Հին Եգիպտոսում։ Բոլոր բաժնետոմսերը հաշվարկելիս փորձել են դրանք գրել նման գումարների տեսքով (օրինակ՝ 1/2 + 1/4 + 1/8)։ Միայն 2/3 և 3/4 կոտորակներն ունեին առանձին նշանակումներ, մնացածը բաժանված էին տերմինների։ Կային հատուկ աղյուսակներ, որոնցում թվի կոտորակները ներկայացվում էին որպես գումար։
Նման համակարգի մասին ամենահին հայտնի հիշատակումը գտնվում է Ռինդ մաթեմատիկական պապիրուսում, որը թվագրվում է մ.թ.ա. երկրորդ հազարամյակի սկզբով: Այն ներառում է կոտորակների և մաթեմատիկական խնդիրների աղյուսակ՝ լուծումներով և պատասխաններով, որոնք ներկայացված են որպես կոտորակների գումար: Եգիպտացիները գիտեին ինչպես գումարել, բաժանել և բազմապատկել թվի կոտորակները: Կրակոցներ Նեղոսի հովտումգրվել են հիերոգլիֆներով։
Թվի կոտորակի ներկայացումը որպես Հին Եգիպտոսին բնորոշ 1/n ձևի տերմինների գումար, օգտագործվում էր ոչ միայն այս երկրում մաթեմատիկոսների կողմից։ Մինչև միջնադարը եգիպտական ֆրակցիաները օգտագործվում էին Հունաստանում և այլ նահանգներում:
Մաթեմատիկայի զարգացումը Բաբելոնում
Մաթեմատիկան տարբեր տեսք ուներ Բաբելոնյան թագավորությունում: Կոտորակների առաջացման պատմությունն այստեղ անմիջականորեն կապված է հին պետության կողմից իր նախորդից՝ շումերա-աքքադական քաղաքակրթությունից ժառանգած թվային համակարգի առանձնահատկությունների հետ։ Բաբելոնում հաշվարկման տեխնիկան ավելի հարմար և կատարյալ էր, քան Եգիպտոսում։ Մաթեմատիկան այս երկրում լուծում էր խնդիրների շատ ավելի լայն շրջանակ:
Դուք կարող եք դատել բաբելոնացիների նվաճումների մասին այսօր պահպանված կավե տախտակներով, որոնք լցված են սեպագիր գրերով: Նյութի առանձնահատկություններից ելնելով, դրանք մեծ քանակությամբ հասել են մեզ։ Ըստ որոշ գիտնականների՝ Բաբելոնի մաթեմատիկոսները Պյութագորասից առաջ հայտնաբերել են հայտնի թեորեմ, որն անկասկած վկայում է այս հնագույն պետության գիտության զարգացման մասին։
կոտորակներ. կոտորակների պատմություն Բաբելոնում
Բաբելոնի թվային համակարգը սեքսուալ էր: Յուրաքանչյուր նոր կատեգորիա նախորդից տարբերվում էր 60-ով։ Նման համակարգ պահպանվել է ժամանակակից աշխարհում՝ նշելու ժամանակը և անկյունները։ Կոտորակները նույնպես սեքսուալ էին: Ձայնագրման համար օգտագործվել են հատուկ պատկերակներ։ Ինչպես Եգիպտոսում, կոտորակների օրինակները պարունակում էին առանձին նշաններ 1/2, 1/3 և 2/3-ի համար։
բաբելոնյանհամակարգը չվերացավ պետության հետ։ 60-րդ համակարգում գրված կոտորակները օգտագործվել են հին և արաբ աստղագետների և մաթեմատիկոսների կողմից:
Հին Հունաստան
Սովորական կոտորակների պատմությունն այնքան էլ հարստացված չէր Հին Հունաստանում: Հելլասի բնակիչները կարծում էին, որ մաթեմատիկան պետք է գործի միայն ամբողջ թվերով։ Հետևաբար, հին հունական տրակտատների էջերում կոտորակներով արտահայտություններ գործնականում չեն եղել: Այնուամենայնիվ, պյութագորացիները որոշակի ներդրում ունեցան մաթեմատիկայի այս ճյուղում։ Նրանք կոտորակները հասկանում էին որպես հարաբերակցություններ կամ համամասնություններ, ինչպես նաև միավորը համարում էին անբաժանելի։ Պյութագորասը և նրա աշակերտները կառուցեցին կոտորակների ընդհանուր տեսություն, սովորեցին, թե ինչպես կատարել բոլոր չորս թվաբանական գործողությունները, ինչպես նաև համեմատել կոտորակները՝ դրանք կրճատելով ընդհանուր հայտարարի:
Սուրբ Հռոմեական կայսրություն
Հռոմեական կոտորակների համակարգը կապված էր քաշի չափման հետ, որը կոչվում էր «էշ»: Այն բաժանվել է 12 բաժնետոմսի։ 1/12 ասսա կոչվում էր ունցիա։ Կոտորակների անունները 18-ն էին։ Ահա դրանցից մի քանիսը.
- կիսաեզրափակիչ - կես հետույք;
- sextante - ac-ի վեցերորդը;
- կիսաունս - կես ունցիա կամ 1/24 ace:
Նման համակարգի անհարմարությունն այն էր, որ անհնար էր թիվը ներկայացնել որպես կոտորակ 10 կամ 100 հայտարարով: Հռոմեացի մաթեմատիկոսները հաղթահարեցին դժվարությունը՝ օգտագործելով տոկոսները:
Ընդհանուր կոտորակներ գրել
Անտիկ ժամանակներում կոտորակներն արդեն գրված էին ծանոթ ձևով՝ մի թիվը մյուսի վրա: Այնուամենայնիվ, կար մեկ էական տարբերություն. Համարիչը գտնվել էհայտարարի տակ։ Առաջին անգամ կոտորակները սկսել են այսպես գրել հին Հնդկաստանում։ Արաբները մեզ համար սկսեցին օգտագործել ժամանակակից ճանապարհը։ Բայց այս ժողովուրդներից և ոչ մեկը չի օգտագործել հորիզոնական գիծ՝ համարիչն ու հայտարարը բաժանելու համար։ Այն առաջին անգամ հայտնվում է Լեոնարդո Պիզայի գրվածքներում, որը ավելի հայտնի է որպես Ֆիբոնաչի, 1202 թվականին:
Չինաստան
Եթե սովորական կոտորակների պատմությունը սկսվել է Եգիպտոսում, ապա տասնորդականներն առաջին անգամ հայտնվել են Չինաստանում: Երկնային կայսրությունում դրանք սկսեցին օգտագործվել մոտավորապես մ.թ.ա 3-րդ դարից։ Տասնորդականների պատմությունը սկսվել է չինացի մաթեմատիկոս Լյու Հուիից, ով առաջարկել է օգտագործել դրանք քառակուսի արմատներ հանելու համար:
Մ.թ. III դարում Չինաստանում տասնորդական կոտորակները սկսեցին օգտագործել քաշը և ծավալը հաշվարկելու համար: Աստիճանաբար նրանք սկսեցին ավելի ու ավելի խորը ներթափանցել մաթեմատիկայի մեջ: Այնուամենայնիվ, Եվրոպայում տասնորդականները շատ ավելի ուշ են գործածվել։
Ալ-Քաշի Սամարղանդից
Անկախ չինական նախորդներից, տասնորդական կոտորակները հայտնաբերվել են աստղագետ ալ-Կաշիի կողմից հնագույն Սամարղանդ քաղաքից: Նա ապրել և ստեղծագործել է 15-րդ դարում։ Գիտնականն իր տեսությունն ուրվագծել է «Թվաբանության բանալին» տրակտատում, որը լույս է տեսել 1427 թվականին։ Ալ-Քաշին առաջարկել է կոտորակների համար օգտագործել նշման նոր ձև: Եվ ամբողջ, և կոտորակային մասերը այժմ գրվում էին մեկ տողով: Սամարղանդի աստղագետը նրանց բաժանելու համար ստորակետ չի օգտագործել։ Ամբողջ թիվը և կոտորակային մասը գրել է տարբեր գույներով՝ օգտագործելով սև և կարմիր թանաքով։ Ալ-Քաշին երբեմն օգտագործում էր նաև ուղղահայաց սանդղակը դրանք բաժանելու համար:
Տասնորդական թվեր Եվրոպայում
13-րդ դարից եվրոպացի մաթեմատիկոսների աշխատություններում սկսեցին հայտնվել նոր տեսակի կոտորակներ։ Նշենք, որ նրանք ծանոթ չէին ալ-Քաշիի աշխատանքներին, ինչպես նաև չինացիների գյուտին։ Տասնորդական կոտորակները հայտնվել են Ջորդան Նեմորարիուսի գրվածքներում։ Հետո դրանք օգտագործվել են արդեն 16-րդ դարում Ֆրանսուա Վիետի կողմից։ Ֆրանսիացի գիտնականը գրել է «Մաթեմատիկական կանոնը», որը պարունակում էր եռանկյունաչափական աղյուսակներ։ Դրանցում Վիետն օգտագործել է տասնորդական կոտորակներ։ Ամբողջ թվերն ու կոտորակային մասերը բաժանելու համար գիտնականն օգտագործել է ուղղահայաց գիծ, ինչպես նաև տառատեսակի տարբեր չափս։
Սակայն սրանք գիտական օգտագործման միայն հատուկ դեպքեր էին։ Կենցաղային խնդիրները լուծելու համար Եվրոպայում տասնորդական կոտորակները սկսեցին օգտագործվել մի փոքր ավելի ուշ: Դա տեղի ունեցավ 16-րդ դարի վերջին հոլանդացի գիտնական Սայմոն Ստևինի շնորհիվ։ Նա 1585 թվականին հրատարակեց «Տասներորդը» մաթեմատիկական աշխատությունը։ Դրանում գիտնականը ուրվագծեց տասնորդական կոտորակների օգտագործման տեսությունը թվաբանության մեջ, դրամական համակարգում և չափումներ և կշիռներ որոշելու համար:
Կետ, կետ, ստորակետ
Սթևինը նույնպես ստորակետ չի օգտագործել: Նա բաժանեց կոտորակի երկու մասերը շրջանագծված զրոյով։
Առաջին անգամ, երբ ստորակետը բաժանեց տասնորդական կոտորակի երկու մասերը միայն 1592 թվականին էր: Անգլիայում, սակայն, փոխարենը գործածվել է կետը։ Միացյալ Նահանգներում տասնորդական կոտորակները դեռ գրվում են այսպես։
Ամբողջ և կոտորակային մասերը բաժանելու համար երկու կետադրական նշանների կիրառման նախաձեռնողներից մեկը շոտլանդացի մաթեմատիկոս Ջոն Նապիերն էր։ Նա իր առաջարկն արեց 1616-1617 թթ. օգտագործված ստորակետև գերմանացի գիտնական Յոհաննես Կեպլերը։
կոտորակները Ռուսաստանում
Ռուսական հողի վրա առաջին մաթեմատիկոսը, ով ուրվագծեց ամբողջի բաժանումը մասերի, Նովգորոդյան վանական Կիրիկն էր: 1136 թվականին նա գրել է մի աշխատություն, որտեղ ուրվագծել է «տարիների հաշվառման» մեթոդը։ Կիրիկը զբաղվել է ժամանակագրության և օրացույցի հարցերով։ Իր աշխատության մեջ նա նաև մեջբերել է ժամի բաժանումը մասերի` հինգերորդներ, քսանհինգերորդներ և այլն:
Ամբողջը մասերի բաժանումն օգտագործվել է XV-XVII դդ. հարկի չափը հաշվարկելիս։ Օգտագործվել են կոտորակային մասերով գումարման, հանման, բաժանման և բազմապատկման գործողություններ։
Հենց «կոտորակ» բառը հայտնվել է Ռուսաստանում VIII դարում։ Այն գալիս է «ջախջախել, մասերի բաժանել» բայից։ Մեր նախնիները հատուկ բառեր էին օգտագործում կոտորակներ անվանելու համար: Օրինակ, 1/2-ը նշանակվել է որպես կես կամ կես, 1/4 - չորս, 1/8 - կես ժամ, 1/16 - կես ժամ և այլն:
Կոտորակների ամբողջական տեսությունը, որը շատ չի տարբերվում ժամանակակիցից, ներկայացվել է թվաբանության առաջին դասագրքում, որը գրվել է 1701 թվականին Լեոնտի Ֆիլիպովիչ Մագնիտսկու կողմից։ «Թվաբանությունը» բաղկացած էր մի քանի մասից. Կոտորակների մասին հեղինակը մանրամասն խոսում է «Կտրված գծերի կամ կոտորակների թվերի մասին» բաժնում։ Մագնիտսկին տալիս է գործողություններ «կոտրված» թվերով, դրանց տարբեր անվանումներով։
Այսօր կոտորակները դեռևս մաթեմատիկայի ամենադժվար բաժիններից են: Կոտորակների պատմությունը նույնպես պարզ չէր. Տարբեր ժողովուրդներ, երբեմն միմյանցից անկախ, երբեմն էլ փոխառելով իրենց նախորդների փորձը, եկել էին թվերի կոտորակները ներկայացնելու, տիրապետելու և օգտագործելու անհրաժեշտությանը։ Կոտորակների մասին ուսմունքը միշտ առաջացել է գործնական դիտարկումներից և կենսականի շնորհիվխնդիրներ. Պետք էր հացը բաժանել, հավասար հողակտորներ նշել, հարկեր հաշվարկել, ժամանակը չափել և այլն։ Կոտորակների և դրանց հետ մաթեմատիկական գործողությունների կիրառման առանձնահատկությունները կախված էին նահանգում թվային համակարգից և մաթեմատիկայի զարգացման ընդհանուր մակարդակից։ Այսպես թե այնպես, հաղթահարելով ավելի քան հազար տարի, թվերի կոտորակներին նվիրված հանրահաշիվ բաժինը ձևավորվել, զարգացել և այսօր հաջողությամբ օգտագործվում է տարբեր կարիքների համար՝ և՛ գործնական, և՛ տեսական:
