Առաջին կարգի գծային և միատարր դիֆերենցիալ հավասարումներ. Լուծման օրինակներ

2024 Հեղինակ: Angel Austin | [email protected]. Վերջին փոփոխված: 2023-12-17 05:30

Կարծում եմ, որ մենք պետք է սկսել այնպիսի փառահեղ մաթեմատիկական գործիքի պատմությունից, ինչպիսին են դիֆերենցիալ հավասարումները: Ինչպես բոլոր դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվարկները, այս հավասարումները հորինվել են Նյուտոնի կողմից 17-րդ դարի վերջին: Նա այնքան կարևոր համարեց իր այս հայտնագործությունը, որ նույնիսկ ծածկագրեց հաղորդագրությունը, որն այսօր կարելի է թարգմանել այսպես. «Բնության բոլոր օրենքները նկարագրվում են դիֆերենցիալ հավասարումներով»։ Սա կարող է թվալ չափազանցություն, բայց դա այդպես է: Ֆիզիկայի, քիմիայի, կենսաբանության ցանկացած օրենք կարելի է նկարագրել այս հավասարումներով։

Մաթեմատիկոսներ Էյլերը և Լագրանժը հսկայական ներդրում են ունեցել դիֆերենցիալ հավասարումների տեսության մշակման և ստեղծման գործում: Արդեն 18-րդ դարում նրանք հայտնաբերել և զարգացրել են այն, ինչ այժմ սովորում են համալսարանների ավագ կուրսերում։

Դիֆերենցիալ հավասարումների ուսումնասիրության նոր փուլ սկսվեց Անրի Պուանկարեի շնորհիվ: Նա ստեղծել է «դիֆերենցիալ հավասարումների որակական տեսություն», որը, կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիաների տեսության հետ համատեղ, նշանակալի ներդրում է ունեցել տոպոլոգիայի՝ տարածության և դրա գիտության հիմքում։հատկություններ.

Ի՞նչ են դիֆերենցիալ հավասարումները:

Շատերը վախենում են «դիֆերենցիալ հավասարում» մեկ արտահայտությունից։ Այնուամենայնիվ, այս հոդվածում մենք մանրամասն կներկայացնենք այս շատ օգտակար մաթեմատիկական ապարատի ողջ էությունը, որն իրականում այնքան էլ բարդ չէ, որքան թվում է անունից: Որպեսզի սկսեք խոսել առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումների մասին, նախ պետք է ծանոթանաք հիմնական հասկացություններին, որոնք ի սկզբանե կապված են այս սահմանմանը: Եվ մենք կսկսենք դիֆերենցիալից:

Դիֆերենցիալ

Շատերը գիտեն այս հասկացությունը դպրոցից: Այնուամենայնիվ, եկեք ավելի սերտ նայենք դրան: Պատկերացրեք ֆունկցիայի գրաֆիկը: Մենք կարող ենք այն այնքան մեծացնել, որ նրա ցանկացած հատված ուղիղ գծի տեսք ստանա։ Դրա վրա մենք վերցնում ենք երկու կետ, որոնք անսահման մոտ են միմյանց: Նրանց կոորդինատների (x կամ y) տարբերությունը կլինի անվերջ փոքր արժեք։ Այն կոչվում է դիֆերենցիալ և նշվում է dy (դիֆերենցիալ y-ից) և dx (դիֆերենցիալ x-ից) նշաններով։ Շատ կարևոր է հասկանալ, որ դիֆերենցիալը վերջավոր արժեք չէ, և սա է դրա իմաստն ու հիմնական գործառույթը:

Եվ այժմ մենք պետք է դիտարկենք հաջորդ տարրը, որը մեզ օգտակար կլինի դիֆերենցիալ հավասարման հայեցակարգը բացատրելիս: Սա ածանցյալն է։

ածանցյալ

Մենք բոլորս հավանաբար լսել ենք դպրոցում և այս հասկացությունը: Ածանցյալը համարվում է ֆունկցիայի աճի կամ նվազման արագությունը: Այնուամենայնիվ, այս սահմանումիցշատ բան անհասկանալի է դառնում: Փորձենք բացատրել ածանցյալը դիֆերենցիալներով։ Վերադառնանք ֆունկցիայի անվերջ փոքր հատվածին՝ երկու կետերով, որոնք գտնվում են միմյանցից նվազագույն հեռավորության վրա։ Բայց նույնիսկ այս հեռավորության համար ֆունկցիան կարողանում է որոշակի չափով փոխվել։ Եվ այս փոփոխությունը նկարագրելու համար նրանք եկան ածանցյալ, որը այլ կերպ կարելի է գրել որպես դիֆերենցիալների հարաբերակցություն՝ f(x)'=df/dx:

Այժմ արժե հաշվի առնել ածանցյալի հիմնական հատկությունները: Դրանցից ընդամենը երեքն է՝

1. Գումարի կամ տարբերության ածանցյալը կարող է ներկայացվել որպես ածանցյալների գումար կամ տարբերություն՝ (a+b)'=a'+b' և (a-b)'=a'-b':
2. Երկրորդ հատկությունը կապված է բազմապատկման հետ։ Արտադրանքի ածանցյալը մի ֆունկցիայի արտադրյալների և մյուսի ածանցյալների գումարն է՝ (ab)'=a'b+ab'։
3. Տարբերության ածանցյալը կարելի է գրել հետևյալ հավասարությամբ՝ (a/b)'=(a'b-ab')/b².

Այս բոլոր հատկությունները օգտակար կլինեն առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումների լուծումներ գտնելու համար:

Կան նաև մասնակի ածանցյալներ։ Ենթադրենք, մենք ունենք z ֆունկցիա, որը կախված է x և y փոփոխականներից: Այս ֆունկցիայի մասնակի ածանցյալը հաշվարկելու համար, ասենք, x-ի նկատմամբ, մենք պետք է ընդունենք y փոփոխականը որպես հաստատուն և պարզապես տարբերենք:

Ինտեգրալ

Մյուս կարևոր հայեցակարգը ինտեգրալն է: Փաստորեն, սա ածանցյալի ուղիղ հակառակն է։ Կան ինտեգրալների մի քանի տեսակներ, բայց ամենապարզ դիֆերենցիալ հավասարումները լուծելու համար մեզ անհրաժեշտ են ամենաչնչին անորոշ ինտեգրալները։

Ուրեմն ի՞նչ է ինտեգրալը: Ենթադրենք, մենք ունենք որոշակի կախվածություն fx-ից: Դրանից վերցնում ենք ինտեգրալը և ստանում F (x) ֆունկցիան (հաճախ կոչվում է հակաածանցյալ), որի ածանցյալը հավասար է սկզբնական ֆունկցիային։ Այսպիսով F(x)'=f(x): Այստեղից նաև հետևում է, որ ածանցյալի ինտեգրալը հավասար է սկզբնական ֆունկցիային։

Դիֆերենցիալ հավասարումներ լուծելիս շատ կարևոր է հասկանալ ինտեգրալի նշանակությունը և գործառույթը, քանի որ լուծումը գտնելու համար դուք ստիպված կլինեք դրանք շատ հաճախ վերցնել:

Հավասարումները տարբեր են՝ կախված դրանց բնույթից: Հաջորդ բաժնում մենք կքննարկենք առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումների տեսակները, այնուհետև կսովորենք, թե ինչպես լուծել դրանք:

Դիֆերենցիալ հավասարումների դասեր

«Diffury»-ը բաժանվում է ըստ դրանցում ներառված ածանցյալների հերթականության։ Այսպիսով, կա առաջին, երկրորդ, երրորդ և ավելի կարգը: Դրանք կարելի է նաև բաժանել մի քանի դասերի՝ սովորական և մասնակի ածանցյալներ։

Այս հոդվածում մենք կքննարկենք առաջին կարգի սովորական դիֆերենցիալ հավասարումներ: Մենք կքննարկենք նաև օրինակներ և դրանց լուծման ուղիները հաջորդ բաժիններում: Մենք կդիտարկենք միայն ODE-ները, քանի որ սրանք հավասարումների ամենատարածված տեսակներն են: Սովորականները բաժանվում են ենթատեսակների՝ բաժանելի փոփոխականներով՝ միատարր և տարասեռ։ Հաջորդը, դուք կսովորեք, թե ինչպես են դրանք տարբերվում միմյանցից և կսովորեք, թե ինչպես լուծել դրանք:

Բացի այդ, այս հավասարումները կարելի է համատեղել այնպես, որ հետո ստացվի առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգ։ Մենք նաև կդիտարկենք նման համակարգերը և կսովորենք, թե ինչպես լուծել դրանք։

Ինչու՞ ենք մենք դիտարկում միայն առաջին պատվերը: Քանի որ դուք պետք է սկսեք պարզից և նկարագրեք այն ամենը, ինչ կապված է դիֆերենցիալի հետհավասարումներ, մեկ հոդվածում պարզապես անհնար է:

բաժանելի փոփոխական հավասարումներ

Սրանք, թերեւս, ամենապարզ առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումներն են: Դրանք ներառում են օրինակներ, որոնք կարելի է գրել այսպես. y'=f(x)f(y): Այս հավասարումը լուծելու համար մեզ անհրաժեշտ է ածանցյալը որպես դիֆերենցիալների հարաբերակցությամբ ներկայացնելու բանաձև՝ y'=dy/dx: Օգտագործելով այն՝ ստանում ենք հետևյալ հավասարումը. dy/dx=f(x)f(y): Այժմ կարող ենք դիմել ստանդարտ օրինակների լուծման մեթոդին՝ փոփոխականները կբաժանենք մասերի, այսինքն՝ y փոփոխականով ամեն ինչ կտեղափոխենք այն մաս, որտեղ գտնվում է dy, և նույնը կանենք x փոփոխականի հետ։ Ստանում ենք dy/f(y)=f(x)dx ձևի հավասարում, որը լուծվում է երկու մասերի ինտեգրալները վերցնելով։ Մի մոռացեք հաստատունի մասին, որը պետք է սահմանվի ինտեգրալը վերցնելուց հետո։

Ցանկացած «դիֆուրանսի» լուծումը x-ի y-ից կախվածության ֆունկցիան է (մեր դեպքում) կամ եթե կա թվային պայման, ապա պատասխանը թվի տեսքով է։ Եկեք վերլուծենք լուծման ամբողջ ընթացքը՝ օգտագործելով կոնկրետ օրինակ՝

y'=2ysin(x)

Տեղափոխեք փոփոխականները տարբեր ուղղություններով՝

dy/y=2sin(x)dx

Այժմ մենք վերցնում ենք ինտեգրալներ: Դրանք բոլորը կարելի է գտնել ինտեգրալների հատուկ աղյուսակում։ Եվ մենք ստանում ենք՝

ln(y)=-2cos(x) + C

Եթե պահանջվում է, մենք կարող ենք «y»-ն արտահայտել որպես «x»-ի ֆունկցիա: Այժմ մենք կարող ենք ասել, որ մեր դիֆերենցիալ հավասարումը լուծվում է, եթե որևէ պայման տրված չէ: Կարող է տրվել պայման, օրինակ՝ y(n/2)=e։ Այնուհետև մենք պարզապես փոխարինում ենք այս փոփոխականների արժեքը լուծման մեջ ևգտնել հաստատունի արժեքը. Մեր օրինակում այն հավասար է 1.

Առաջին կարգի միատարր դիֆերենցիալ հավասարումներ

Այժմ անցեք ավելի դժվարին: Առաջին կարգի միատարր դիֆերենցիալ հավասարումները ընդհանուր ձևով կարելի է գրել հետևյալ կերպ. y'=z(x, y): Հարկ է նշել, որ երկու փոփոխականների ճիշտ ֆունկցիան միատարր է, և այն չի կարելի բաժանել երկու կախվածության՝ z-ի x-ի և z-ի վրա y-ի վրա: Ստուգել, թե արդյոք հավասարումը միատարր է, թե ոչ, բավականին պարզ է՝ մենք կատարում ենք x=kx և y=ky փոխարինումը: Այժմ մենք չեղարկում ենք բոլոր k. Եթե այս բոլոր տառերը կրճատվեն, ապա հավասարումը միատարր է, և դուք կարող եք ապահով կերպով անցնել դրա լուծմանը: Առաջ նայելով, ասենք. այս օրինակների լուծման սկզբունքը նույնպես շատ պարզ է։

Մենք պետք է փոխարինենք՝ y=t(x)x, որտեղ t-ն ինչ-որ ֆունկցիա է, որը նույնպես կախված է x-ից: Այնուհետև կարող ենք արտահայտել ածանցյալը՝ y'=t'(x)x+t: Այս ամենը փոխարինելով մեր սկզբնական հավասարման մեջ և պարզեցնելով այն՝ մենք օրինակ ենք ստանում t և x բաժանելի փոփոխականներով։ Լուծում ենք այն և ստանում t(x) կախվածությունը։ Երբ մենք ստացանք այն, մենք պարզապես փոխարինում ենք y=t(x)x-ին մեր նախորդ փոխարինման մեջ: Այնուհետև մենք ստանում ենք y-ի կախվածությունը x-ից։

Ավելի պարզ դարձնելու համար եկեք դիտենք մի օրինակ՝ xy'=y-xe^y/x.

Փոխարինման միջոցով ստուգելիս ամեն ինչ կրճատվում է: Այսպիսով, հավասարումը իսկապես միատարր է: Այժմ մենք կատարում ենք մեկ այլ փոխարինում, որի մասին խոսեցինք՝ y=t(x)x և y'=t'(x)x+t(x): Պարզեցումից հետո ստանում ենք հետևյալ հավասարումը t'(x)x=-e^t: Ստացված օրինակը լուծում ենք առանձնացված փոփոխականներով և ստանում՝ e^-t=ln(Cx): Մենք միայն պետք է փոխարինենք t-ը y/x-ով (ի վերջո, եթե y=tx, ապա t=y/x), և մենք ստանում ենք.պատասխան՝ e^-y/x=ln(xC).

Առաջին կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարումներ

Ժամանակն է մեկ այլ մեծ թեմայի. Մենք կվերլուծենք առաջին կարգի անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարումները: Ինչո՞վ են դրանք տարբերվում նախորդ երկուսից: Եկեք պարզենք այն: Ընդհանուր ձևով առաջին կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարումները կարելի է գրել հետևյալ կերպ. y' + g(x)y=z(x): Արժե պարզաբանել, որ z(x) և g(x) հաստատունները կարող են լինել։

Եվ հիմա օրինակ՝ y' - yx=x².

Կա լուծելու երկու ճանապարհ, և մենք երկուսով էլ կզբաղվենք հերթականությամբ։ Առաջինը կամայական հաստատունների փոփոխման մեթոդն է։

Հավասարումն այսպես լուծելու համար նախ պետք է աջ կողմը հավասարեցնել զրոյի և լուծել ստացված հավասարումը, որը մասերը տեղափոխելուց հետո կստանա ձևը.

y'=yx;

dy/dx=yx;

dy/y=xdx;

ln|y|=x²/2 + C;

y=e^x2/2y^C=C₁e^x2/2.

Այժմ մենք պետք է փոխարինենք C₁ հաստատունը v(x) ֆունկցիայով, որը մենք պետք է գտնենք:

y=ve^x2/2.

Փոխենք ածանցյալը՝

y'=v'e^x2/2-xve^x2/2.

Եվ փոխարինեք այս արտահայտությունները սկզբնական հավասարման մեջ՝

v'e^x2/2 - xve^x2/2 + xve^{x2 /2} =x².

Դուք կարող եք տեսնել, որ երկու տերմինը չեղարկվում է ձախ կողմում: Եթե ինչ-որ օրինակում դա տեղի չի ունեցել, ուրեմն ինչ-որ բան սխալ եք արել:Շարունակել՝

v'e^x2/2 =x².

Այժմ մենք լուծում ենք սովորական հավասարումը, որտեղ մենք պետք է առանձնացնենք փոփոխականները.

dv/dx=x²/e^x2/2;

dv=x²e^-x2/2dx.

Ինտեգրալը հանելու համար մենք պետք է այստեղ կիրառենք ինտեգրումն ըստ մասերի: Այնուամենայնիվ, դա մեր հոդվածի թեման չէ: Եթե դուք հետաքրքրված եք, կարող եք սովորել, թե ինչպես կատարել նման գործողություններ ինքներդ: Դա դժվար չէ, և բավարար հմտությամբ և ուշադրությամբ շատ ժամանակ չի պահանջում։

Դառնանք անհամասեռ հավասարումների լուծման երկրորդ մեթոդին՝ Բեռնուլիի մեթոդին: Ո՞ր մոտեցումն է ավելի արագ և հեշտ՝ կախված է ձեզանից:

Այսպիսով, այս մեթոդով հավասարումը լուծելիս պետք է փոխարինել՝ y=kn: Այստեղ k-ն և n-ը որոշ x-կախյալ ֆունկցիաներ են: Այնուհետև ածանցյալը կունենա հետևյալ տեսքը՝ y'=k'n+kn': Փոխարինեք երկու փոխարինումները հավասարման մեջ՝

k'n+kn'+xkn=x².

Խումբ՝

k'n+k(n'+xn)=x².

Այժմ մենք պետք է հավասարեցնել փակագծերում եղածը զրոյի: Այժմ, եթե միավորեք ստացված երկու հավասարումները, կստանաք առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգ, որը դուք պետք է լուծեք՝

n'+xn=0;

k'n=x².

Առաջին հավասարությունը լուծվում է նորմալ հավասարման նման: Դա անելու համար անհրաժեշտ է առանձնացնել փոփոխականները՝

dn/dx=xv;

dn/n=xdx.

Վերցրեք ինտեգրալը և ստացեք՝ ln(n)=x²/2: Ապա, եթե արտահայտենք n:

n=e^x2/2.

Այժմ ստացված հավասարությունը փոխարինում ենք համակարգի երկրորդ հավասարման մեջ.

k'e^x2/2=x².

Եվ փոխակերպելով՝ մենք ստանում ենք նույն հավասարությունը, ինչ առաջին մեթոդում:

dk=x²/e^x2/2.

Մենք էլ չենք գնա հետագա քայլերի. Արժե ասել, որ սկզբում առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումների լուծումը զգալի դժվարություններ է առաջացնում։ Այնուամենայնիվ, երբ խորանում եք թեմայի մեջ, այն սկսում է ավելի ու ավելի լավանալ:

Որտե՞ղ են օգտագործվում դիֆերենցիալ հավասարումները:

Դիֆերենցիալ հավասարումները շատ ակտիվորեն օգտագործվում են ֆիզիկայում, քանի որ գրեթե բոլոր հիմնական օրենքները գրված են դիֆերենցիալ ձևով, և այն բանաձևերը, որոնք մենք տեսնում ենք, այս հավասարումների լուծումն են: Քիմիայում դրանք օգտագործվում են նույն պատճառով՝ դրանցից են բխում հիմնական օրենքները։ Կենսաբանության մեջ դիֆերենցիալ հավասարումներ են օգտագործվում համակարգերի վարքագիծը մոդելավորելու համար, օրինակ՝ գիշատիչ-որս. Դրանք կարող են օգտագործվել նաև, ասենք, միկրոօրգանիզմների գաղութի վերարտադրության մոդելներ ստեղծելու համար:

Ինչպե՞ս կօգնեն դիֆերենցիալ հավասարումները կյանքում:

Այս հարցի պատասխանը պարզ է՝ ոչ մի կերպ: Եթե դուք գիտնական կամ ինժեներ չեք, ապա դժվար թե դրանք ձեզ օգտակար լինեն։ Այնուամենայնիվ, ընդհանուր զարգացման համար չի խանգարում իմանալ, թե ինչ է դիֆերենցիալ հավասարումը և ինչպես է այն լուծվում: Եվ հետո որդու կամ դստեր հարցը՝ «ի՞նչ է դիֆերենցիալ հավասարումը»։ ձեզ չի շփոթեցնի: Դե, եթե դուք գիտնական եք կամ ինժեներ, ապա ինքներդ էլ հասկանում եք այս թեմայի կարևորությունը ցանկացած գիտության մեջ։ Բայց ամենակարևորն այն է, որ այժմ հարցը «ինչպե՞ս լուծել առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումը»: դուք միշտ կարող եք պատասխանել: Համաձայնեք, միշտ հաճելի էերբ հասկանում ես այն, ինչ մարդիկ նույնիսկ վախենում են հասկանալ։

Հիմնական ուսումնական խնդիրներ

Այս թեման հասկանալու հիմնական խնդիրը ֆունկցիաների ինտեգրման և տարբերակման վատ հմտությունն է: Եթե դուք վատ եք ընդունում ածանցյալներ և ինտեգրալներ, ապա հավանաբար պետք է ավելին սովորեք, տիրապետեք ինտեգրման և տարբերակման տարբեր մեթոդներին և միայն դրանից հետո սկսեք ուսումնասիրել հոդվածում նկարագրված նյութը:

Ոմանք զարմանում են, երբ պարզում են, որ dx-ը կարող է փոխանցվել, քանի որ ավելի վաղ (դպրոցում) նշվում էր, որ dy/dx կոտորակն անբաժանելի է։ Այստեղ դուք պետք է կարդաք ածանցյալի մասին գրականությունը և հասկանաք, որ դա անվերջ փոքր մեծությունների հարաբերակցությունն է, որը կարելի է կառավարել հավասարումներ լուծելիս:

Շատերը անմիջապես չեն գիտակցում, որ առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումների լուծումը հաճախ ֆունկցիա կամ ինտեգրալ է, որը հնարավոր չէ վերցնել, և այս մոլորությունը նրանց շատ դժվարություններ է առաջացնում:

Ուրիշ ի՞նչ կարելի է ուսումնասիրել ավելի լավ հասկանալու համար:

Դիֆերենցիալ հաշվարկի աշխարհում հետագա խորասուզումն ավելի լավ է սկսել մասնագիտացված դասագրքերով, օրինակ՝ ոչ մաթեմատիկական մասնագիտությունների ուսանողների հաշվարկում: Այնուհետև կարող եք անցնել ավելի մասնագիտացված գրականության։

Պետք է ասել, որ բացի դիֆերենցիալ հավասարումներից, կան նաև ինտեգրալ հավասարումներ, այնպես որ դուք միշտ կունենաք ձգտելու և ուսումնասիրելու բան:

Եզրակացություն

Հուսով ենք, որ կարդալուց հետոԱյս հոդվածը ձեզ պատկերացում տվեց, թե ինչ են դիֆերենցիալ հավասարումները և ինչպես դրանք ճիշտ լուծել:

Ամեն դեպքում, մաթեմատիկան ինչ-որ կերպ մեզ օգտակար կլինի կյանքում։ Այն զարգացնում է տրամաբանությունը և ուշադրությունը, առանց որի յուրաքանչյուր մարդ նման է առանց ձեռքերի։