Կոտորակներին կյանքում հանդիպում ենք շատ ավելի վաղ, քան նրանք սկսում են սովորել դպրոցում: Եթե մի ամբողջ խնձորը կիսով չափ կտրեք, ապա մենք ստանում ենք մրգի մի մասը՝ ½: Կրկին կտրեք այն կլինի ¼: Ահա թե ինչ են կոտորակները։ Եվ ամեն ինչ, կարծես, պարզ է. Մեծահասակի համար. Երեխայի համար (և նրանք սկսում են ուսումնասիրել այս թեման տարրական դպրոցի վերջում), վերացական մաթեմատիկական հասկացությունները դեռ սարսափելի անհասկանալի են, և ուսուցիչը պետք է մատչելի ձևով բացատրի, թե որն է ճիշտ կոտորակը և անպատշաճը, սովորականն ու տասնորդականը, ինչ գործողություններ: կարելի է կատարել դրանցով և, որ ամենակարևորն է, ինչու է այս ամենը անհրաժեշտ։
Ինչ են կոտորակները
Դպրոցում նոր թեմայի ներածությունը սկսվում է սովորական կոտորակներից: Դրանք հեշտ է ճանաչել երկու թվերը բաժանող հորիզոնական գծով՝ վերևից և ներքևից: Վերևը կոչվում է համարիչ, ներքևը կոչվում է հայտարար: Գոյություն ունի նաև անպատշաճ և կանոնավոր սովորական կոտորակներ գրելու փոքրատառ տարբերակ՝ շեղի միջոցով, օրինակ՝ ½, 4/9, 384/183: Այս տարբերակը օգտագործվում է, երբ գծի բարձրությունը սահմանափակ է, և հնարավոր չէ կիրառել մուտքի «երկհարկանի» ձևը: Ինչո՞ւ։ Այո, քանի որ դա ավելի հարմար է։ Քիչ անց մենքմենք դրանում կհամոզվենք։
Բացի սովորական կոտորակներից, կան նաև տասնորդական կոտորակներ։ Նրանց միջև շատ հեշտ է տարբերակել. եթե մի դեպքում օգտագործվում է հորիզոնական կամ շեղ, ապա մյուս դեպքում՝ թվերի հաջորդականությունը բաժանող ստորակետ: Տեսնենք օրինակ՝ 2, 9; 163, 34; 1, 953. Մենք միտումնավոր օգտագործեցինք կետ-ստորակետը որպես բաժանարար՝ թվերը սահմանազատելու համար: Դրանցից առաջինը կկարդա այսպես՝ «երկու ամբողջ, ինը տասներորդ»:
Նոր հասկացություններ
Վերադառնանք սովորական կոտորակներին: Նրանք գալիս են երկու տեսակի:
Պատշական կոտորակի սահմանումը հետևյալն է. այն կոտորակն է, որի համարիչը փոքր է հայտարարից: Ինչու՞ է դա կարևոր: Հիմա կտեսնենք:
Դուք ունեք կիսով չափ կտրված խնձոր: Ընդհանուր - 5 մաս: Ինչպե՞ս կասես՝ դու ունես «երկու ու կես» կամ «հինգ վայրկյան» խնձոր։ Իհարկե, առաջին տարբերակը ավելի բնական է հնչում, և ընկերների հետ զրուցելիս մենք կօգտագործենք այն։ Բայց եթե ձեզ հարկավոր է հաշվարկել, թե յուրաքանչյուրը քանի միրգ կստանա, եթե ընկերությունում հինգ հոգի կա, մենք կգրենք 5/2 թիվը և այն կբաժանենք 5-ի, մաթեմատիկայի տեսանկյունից սա ավելի պարզ կլինի:
Այսպիսով, պատշաճ և անպատշաճ կոտորակների անվանման կանոնը հետևյալն է. եթե կոտորակը կարող է ունենալ ամբողջական մաս (14/5, 2/1, 173/16, 3/3), ապա այն. սխալ է. Եթե դա հնարավոր չէ անել, ինչպես ½, 13/16, 9/10-ի դեպքում, ճիշտ կլինի:
Կոտորակի հիմնական հատկությունը
Եթե կոտորակի համարիչն ու հայտարարը միաժամանակ բազմապատկվում են կամբաժանելով նույն թվին, դրա արժեքը չի փոխվում: Պատկերացրեք՝ տորթը կտրեցին 4 հավասար մասերի և ձեզ տվեցին մեկը։ Նույն տորթը կտրվեց ութ մասի և ձեզ տվեցին երկուսը: Մի՞թե նույնը չէ։ Ի վերջո, ¼-ը և 2/8-ը նույն բանն են:
Հապավում
Մաթեմատիկական դասագրքերի խնդիրների և օրինակների հեղինակները հաճախ փորձում են շփոթեցնել ուսանողներին՝ առաջարկելով ծանր կոտորակներ, որոնք իրականում կարող են կրճատվել: Ահա ճիշտ կոտորակի օրինակ՝ 167/334, որը, թվում է, շատ «վախկոտ» է թվում։ Բայց իրականում մենք կարող ենք այն գրել որպես ½: 334 թիվը առանց մնացորդի բաժանվում է 167-ի. այս գործողությունը կատարելուց հետո մենք ստանում ենք 2։
Խառը թվեր
Անպատշաճ կոտորակը կարող է ներկայացվել որպես խառը թիվ: Սա այն դեպքում, երբ ամբողջ մասը առաջ է բերվում և գրվում հորիզոնական գծի մակարդակով։ Փաստորեն, արտահայտությունը ստանում է գումարի ձև՝ 11/2=5 + ½; 13/6=2 + 1/6 և այլն։
Ամբողջ մասը հանելու համար պետք է համարիչը բաժանել հայտարարի։ Գրի՛ր բաժանման մնացորդը վերևում, տողի վերևում և ամբողջ մասը արտահայտությունից առաջ։ Այսպիսով, մենք ստանում ենք երկու կառուցվածքային մաս՝ ամբողջ միավոր + պատշաճ կոտորակ։
Կարող եք նաև կատարել հակադարձ գործողություն. դրա համար անհրաժեշտ է բազմապատկել ամբողջ մասը հայտարարով և ավելացնել ստացված արժեքը համարիչին: Ոչ մի բարդ բան չկա:
Բազմապատկում և բաժանում
Բավական տարօրինակ է, բայց կոտորակները բազմապատկելը ավելի հեշտ է, քան դրանք գումարելը: Պահանջվում է միայն երկարացնել հորիզոնական գիծը՝ (2/3)(3/5)=23 / 35=2/5։
Բաժանումը նույնպես ամեն ինչ էպարզ. անհրաժեշտ է կոտորակները խաչաձև բազմապատկել՝ (7/8) / (14/15)=715 / 814=15/16։
Կոտորակների ավելացում
Ի՞նչ անել, եթե պետք է գումարել կամ հանել կոտորակները, և դրանք տարբեր թվեր ունեն հայտարարում: Դա չի աշխատի այնպես, ինչպես բազմապատկման դեպքում. այստեղ պետք է հասկանալ պատշաճ կոտորակի սահմանումը և դրա էությունը: Անհրաժեշտ է անդամները կրճատել ընդհանուր հայտարարի, այսինքն՝ երկու կոտորակների ներքևի մասը պետք է ունենա նույն թվերը։
Դա անելու համար դուք պետք է օգտագործեք կոտորակի հիմնական հատկությունը՝ երկու մասերը բազմապատկեք նույն թվով: Օրինակ՝ 2/5 + 1/10=(22)/(52) + 1/10=5/10=½։
Ինչպե՞ս ընտրել, թե որ հայտարարին բերել պայմանները: Սա պետք է լինի երկու հայտարարների ամենափոքր բազմապատիկը. 1/3-ի և 1/9-ի համար այն կլինի 9; ½-ի և 1/7-ի համար - 14, քանի որ չկա ավելի փոքր արժեք, որը կարելի է բաժանել առանց մնացորդի 2-ի և 7-ի:
Օգտագործել
Ինչի՞ համար են ոչ պատշաճ կոտորակները: Ի վերջո, շատ ավելի հարմար է անմիջապես ընտրել ամբողջ մասը, ստանալ խառը թիվ, և վերջ: Ստացվում է, որ եթե անհրաժեշտ է բազմապատկել կամ բաժանել երկու կոտորակ, ավելի ձեռնտու է օգտագործել սխալները։
Վերցրեք հետևյալ օրինակը՝ (2 + 3/17) / (37 / 68).
Կարծես թե ընդհանրապես կտրելու բան չկա։ Բայց ի՞նչ, եթե առաջին փակագծերում գումարման արդյունքը գրենք որպես ոչ պատշաճ կոտորակ։ Դիտեք՝ (37/17) / (37/68)
Այժմ ամեն ինչ իր տեղն է ընկնում:Օրինակը գրենք այնպես, որ ամեն ինչ ակնհայտ դառնա՝ (3768) / (1737).
Եկեք կրճատենք համարիչի և հայտարարի 37-ը և վերջապես բաժանենք վերևի և ներքևի մասերը 17-ի: Հիշու՞մ եք ճիշտ և ոչ պատշաճ կոտորակների հիմնական կանոնը: Մենք կարող ենք բազմապատկել և բաժանել ցանկացած թվի, քանի դեռ դա անում ենք համարիչի և հայտարարի համար միաժամանակ։
Այսպիսով, մենք ստանում ենք պատասխանը. 4. Օրինակը բարդ տեսք ուներ, և պատասխանը պարունակում է ընդամենը մեկ թվանշան: Մաթեմատիկայում դա հաճախ է պատահում։ Գլխավորը չվախենալն է և հետևել պարզ կանոններին։
Ընդհանուր սխալներ
Կոտորակներով գործողություններ կատարելիս աշակերտը հեշտությամբ կարող է թույլ տալ ամենատարածված սխալներից մեկը: Սովորաբար դրանք առաջանում են անուշադրության, իսկ երբեմն այն պատճառով, որ ուսումնասիրված նյութը դեռ պատշաճ կերպով չի դրվել գլխում։
Հաճախ թվերի գումարը համարիչում առաջացնում է նրա առանձին բաղադրիչները նվազեցնելու ցանկություն: Ենթադրենք, օրինակում՝ (13 + 2) / 13, գրված է առանց փակագծերի (հորիզոնական գծով), շատ ուսանողներ, անփորձության պատճառով, վերևից և ներքևից խաչում են 13-ը։ Բայց դա ոչ մի դեպքում չի կարելի անել, քանի որ սա կոպիտ սխալ է։ Եթե գումարման փոխարեն լիներ բազմապատկման նշան, ապա պատասխանում կստանայինք 2 թիվը, սակայն գումարում կատարելիս անդամներից որևէ մեկով գործողություն չի թույլատրվում, միայն ամբողջ գումարով։
Նաև, տղաները հաճախ են սխալվում կոտորակները բաժանելիս: Վերցնենք երկու կանոնավոր անկրճատելի կոտորակ և բաժանենք միմյանց վրա՝ (5/6) / (25/33): Աշակերտը կարող է շփոթել և ստացված արտահայտությունը գրել որպես (525) / (633): Բայց դա կլիներպարզվեց բազմապատկման ժամանակ, բայց մեր դեպքում ամեն ինչ մի փոքր այլ կլինի՝ (533) / (625): Կրճատում ենք հնարավորը, իսկ պատասխանում կտեսնենք 11/10։ Ստացված ոչ պատշաճ կոտորակը գրում ենք որպես տասնորդական՝ 1, 1։
փակագծեր
Հիշեք, որ ցանկացած մաթեմատիկական արտահայտության մեջ գործողությունների հերթականությունը որոշվում է գործողության նշանների գերակայությամբ և փակագծերի առկայությամբ: Այլ հավասար պայմանների դեպքում գործողությունների հաջորդականությունը հաշվվում է ձախից աջ: Սա ճիշտ է նաև կոտորակների դեպքում. համարիչի կամ հայտարարի արտահայտությունը հաշվարկվում է խստորեն համաձայն այս կանոնի:
Ի վերջո, ո՞րն է ճիշտ կոտորակը: Դա մի թիվ մյուսի վրա բաժանելու արդյունք է։ Եթե հավասարաչափ չեն բաժանվում, ապա դա կոտորակ է, և վերջ։
Ինչպես գրել կոտորակ համակարգչում
Քանի որ ստանդարտ գործիքները միշտ չէ, որ թույլ են տալիս ստեղծել երկու «շերտից» բաղկացած կոտորակ, ուսանողները երբեմն դիմում են տարբեր հնարքների: Օրինակ, նրանք պատճենում են համարիչները և հայտարարները Paint խմբագրիչի մեջ և սոսնձում դրանք՝ հորիզոնական գիծ քաշելով նրանց միջև։ Իհարկե, կա ավելի հեշտ տարբերակ, որն, ի դեպ, տրամադրում է նաև բազմաթիվ լրացուցիչ հնարավորություններ, որոնք ապագայում ձեզ օգտակար կլինեն։
Բացեք Microsoft Word-ը: Էկրանի վերևի վահանակներից մեկը կոչվում է «Տեղադրել» - սեղմեք այն: Աջ կողմում, այն կողմում, որտեղ տեղադրված են պատուհանը փակելու և նվազագույնի հասցնելու պատկերակները, կա Formula կոճակը: Սա հենց այն է, ինչ մեզ անհրաժեշտ է:
Եթե օգտագործում եք այս ֆունկցիան, էկրանին կհայտնվի ուղղանկյուն տարածք, որտեղ կարող եք օգտագործել ցանկացած մաթեմատիկականնիշեր, որոնք չկան ստեղնաշարի վրա, ինչպես նաև գրել կոտորակներ դասական ձևով: Այսինքն՝ համարիչն ու հայտարարը հորիզոնական գծով առանձնացնելը։ Դուք նույնիսկ կարող եք զարմանալ, որ նման ճիշտ կոտորակը այդքան հեշտ է գրել:
Սովորեք մաթեմատիկա
Եթե դուք սովորում եք 5-6-րդ դասարաններում, ապա շուտով մաթեմատիկայի գիտելիքները (այդ թվում՝ կոտորակներով աշխատելու ունակությունը) կպահանջվեն շատ դպրոցական առարկաներից։ Ֆիզիկայի գրեթե ցանկացած հարցում, քիմիայի, երկրաչափության և եռանկյունաչափության մեջ նյութերի զանգվածը չափելիս, կոտորակները չեն կարող բացառվել: Շուտով դուք կսովորեք հաշվարկել ամեն ինչ ձեր մտքում՝ առանց նույնիսկ թղթի վրա արտահայտություններ գրելու, բայց ավելի ու ավելի բարդ օրինակներ կհայտնվեն։ Հետևաբար, սովորեք, թե ինչ է ճիշտ կոտորակը և ինչպես աշխատել դրա հետ, հետևեք ուսումնական ծրագրին, կատարեք ձեր տնային աշխատանքը ժամանակին և այնուհետև կհասնեք հաջողության:
