Հանրահաշվական անհավասարություններ կամ դրանց համակարգեր՝ ռացիոնալ գործակիցներով, որոնց լուծումները որոնվում են ինտեգրալ կամ ամբողջ թվերով։ Որպես կանոն, Դիոֆանտինի հավասարումների մեջ անհայտների թիվն ավելի մեծ է։ Այսպիսով, դրանք հայտնի են նաև որպես անորոշ անհավասարություններ։ Ժամանակակից մաթեմատիկայի մեջ վերը նշված հասկացությունը կիրառվում է հանրահաշվական հավասարումների նկատմամբ, որոնց լուծումները փնտրվում են Q-ռացիոնալ փոփոխականների դաշտի որոշ ընդլայնման հանրահաշվական ամբողջ թվերում, p-adic փոփոխականների դաշտում և այլն:
Այս անհավասարությունների ակունքները
Դիոֆանտինյան հավասարումների ուսումնասիրությունը թվերի տեսության և հանրահաշվական երկրաչափության սահմանին է: Ամբողջ թվային փոփոխականներում լուծումներ գտնելը մաթեմատիկական ամենահին խնդիրներից է։ Արդեն մ.թ.ա. II հազարամյակի սկզբին։ Հին բաբելոնացիներին հաջողվել է լուծել երկու անհայտներով հավասարումների համակարգեր։ Մաթեմատիկայի այս ճյուղը ամենաշատը ծաղկել է Հին Հունաստանում: Դիոֆանտոսի թվաբանությունը (մոտ մ.թ. 3-րդ դար) նշանակալից և հիմնական աղբյուր է, որը պարունակում է տարբեր տեսակի և հավասարումների համակարգեր:
Այս գրքում Դիոֆանտը կանխատեսեց երկրորդ և երրորդի անհավասարությունների ուսումնասիրության մի շարք մեթոդներ.աստիճաններ, որոնք լիովին զարգացել են 19-րդ դ. Հին Հունաստանի այս հետազոտողի կողմից ռացիոնալ թվերի տեսության ստեղծումը հանգեցրեց անորոշ համակարգերի տրամաբանական լուծումների վերլուծությանը, որոնց համակարգված կերպով հետևում են նրա գրքում։ Չնայած նրա աշխատանքը պարունակում է կոնկրետ Դիոֆանտինի հավասարումների լուծումներ, հիմքեր կան ենթադրելու, որ նա նաև ծանոթ էր մի քանի ընդհանուր մեթոդների:
Այս անհավասարությունների ուսումնասիրությունը սովորաբար կապված է լուրջ դժվարությունների հետ: Շնորհիվ այն բանի, որ դրանք պարունակում են F ամբողջ գործակիցներով բազմանդամներ (x, y1, …, y): Դրա հիման վրա եզրակացություններ արվեցին, որ չկա որևէ մեկ ալգորիթմ, որը կարող է օգտագործվել ցանկացած տվյալ x-ի համար որոշելու համար, թե արդյոք F հավասարումը (x, y1, …., y ): Իրավիճակը լուծելի է y1, …, y համար: Նման բազմանդամների օրինակներ կարելի է գրել։
Ամենապարզ անհավասարությունը
ax + by=1, որտեղ a-ն և b-ը համեմատաբար ամբողջ և պարզ թվեր են, այն ունի մեծ թվով կատարումներ (եթե x0, y0 ձևավորվում է արդյունքը, այնուհետև փոփոխականների զույգը x=x0 + b և y=y0 -an, որտեղ n-ը կամայական է, նույնպես կդիտարկվի որպես անհավասարություն): Դիոֆանտինի հավասարումների մեկ այլ օրինակ է x2 + y2 =z2: Այս անհավասարության դրական ինտեգրալ լուծումներն են x, y և ուղղանկյուն եռանկյունների փոքր կողմերի երկարությունները, ինչպես նաև z հիպոթենուսը՝ ամբողջ թվային կողմի չափսերով։ Այս թվերը հայտնի են որպես Պյութագորասյան թվեր։ Նշված են բոլոր եռյակները՝ կապված հիմնականի հետվերը նշված փոփոխականները տրված են x=m2 – n2, y=2mn, z=m2, y=2mn, z=m2+ n
2, որտեղ m-ը և n-ն ամբողջ թվեր և պարզ թվեր են (m>n>0):
Դիոֆանտոսը իր թվաբանության մեջ որոնում է իր անհավասարությունների հատուկ տեսակների ռացիոնալ (պարտադիր չէ, որ ինտեգրալ) լուծումներ: Առաջին աստիճանի դիոֆանտին հավասարումների լուծման ընդհանուր տեսությունը մշակվել է 17-րդ դարում Կ. Գ. Բաշեի կողմից։ 19-րդ դարի սկզբի այլ գիտնականներ հիմնականում ուսումնասիրել են նմանատիպ անհավասարություններ, ինչպիսիք են ax2 +bxy + cy2 + dx +ey +f=0, որտեղ a, b, c, d, e և f ընդհանուր են, տարասեռ, երկրորդ աստիճանի երկու անհայտներով: Լագրանժն իր ուսումնասիրության մեջ օգտագործել է շարունակական կոտորակներ։ Գաուսը քառակուսի ձևերի համար մշակել է ընդհանուր տեսություն, որի հիմքում ընկած են որոշ տեսակի լուծումներ:
Այս երկրորդ աստիճանի անհավասարությունների ուսումնասիրության մեջ զգալի առաջընթաց է գրանցվել միայն 20-րդ դարում։ A. Thue-ն պարզեց, որ դիոֆանտինի հավասարումը a0x + a1xn- 1 y +…+a y =c, որտեղ n≧3, a0, …, a , c-ն ամբողջ թվեր են, և a0tn + …+ a -ը չի կարող ունենալ անսահման թվով ամբողջական լուծումներ: Այնուամենայնիվ, Thue-ի մեթոդը պատշաճ կերպով մշակված չէր: Ա. Բեյքերը ստեղծել է արդյունավետ թեորեմներ, որոնք գնահատականներ են տալիս այս կարգի որոշ հավասարումների կատարման վերաբերյալ: BN Delaunay-ն առաջարկել է հետազոտության ևս մեկ մեթոդ, որը կիրառելի է այս անհավասարությունների ավելի նեղ դասի համար: Մասնավորապես, ax3 + y3 =1 ձևն ամբողջությամբ լուծելի է այս կերպ։
Դիոֆանտին հավասարումներ. լուծման մեթոդներ
Դիոֆանտոսի տեսությունը բազմաթիվ ուղղություններ ունի. Այսպիսով, այս համակարգում հայտնի խնդիր է այն վարկածը, որ դիոֆանտին հավասարումների ոչ տրիվիալ լուծում չկա xn + y =z. n եթե n ≧ 3 (Ֆերմատի հարցը): Անհավասարության ամբողջ թվերի կատարումների ուսումնասիրությունը Պյութագորասյան եռյակների խնդրի բնական ընդհանրացումն է։ Էյլերը ստացել է Ֆերմատի խնդրի դրական լուծումը n=4-ի համար: Այս արդյունքի շնորհիվ այն վերաբերում է բացակայող ամբողջ թվի, ոչ զրոյական հավասարման ապացույցին, եթե n-ը կենտ պարզ թիվ է:
:
Որոշման վերաբերյալ ուսումնասիրությունը չի ավարտվել։ Դրա իրականացման հետ կապված դժվարությունները կապված են այն փաստի հետ, որ հանրահաշվական ամբողջ թվերի օղակում պարզ ֆակտորիզացիան եզակի չէ։ Այս համակարգում բաժանարարների տեսությունը պարզ ցուցիչների շատ դասերի համար հնարավորություն է տալիս հաստատել Ֆերմայի թեորեմի վավերականությունը։ Այսպիսով, գծային Դիոֆանտին հավասարումը երկու անհայտներով կատարվում է գոյություն ունեցող մեթոդներով և եղանակներով:
Նկարագրված առաջադրանքների տեսակներն ու տեսակները
Հանրահաշվական ամբողջ թվերի օղակների թվաբանությունը կիրառվում է նաև Դիոֆանտինյան հավասարումների բազմաթիվ այլ խնդիրների և լուծումների մեջ։ Օրինակ, նման մեթոդներ կիրառվել են N (a1 x1 +…+ a ձևի անհավասարություններ կատարելիս x)=m, որտեղ N(a)-ն a-ի նորմն է, և x1, …, xn Գտնվել են ինտեգրալ ռացիոնալ փոփոխականներ: Այս դասը ներառում է Pell հավասարումը x2–dy2=1.
Ա1, …, a , որոնք հայտնվում են, այս հավասարումները բաժանված են երկու տեսակի: Առաջին տեսակը, այսպես կոչված, ամբողջական ձևերը ներառում են հավասարումներ, որոնցում a-ի մեջ կան m գծային անկախ թվեր Q ռացիոնալ փոփոխականների դաշտում, որտեղ m=[Q(a1, …, a):Q], որում կա հանրահաշվական ցուցիչների աստիճան Q (a1, …, a ) Q-ի նկատմամբ: Թերի տեսակներն են որի առավելագույն թիվը a i պակաս է m.
Լրիվ ձևերն ավելի պարզ են, դրանց ուսումնասիրությունն ավարտված է, և բոլոր լուծումները կարելի է նկարագրել: Երկրորդ տեսակը՝ ոչ ամբողջական տեսակը, ավելի բարդ է, և նման տեսության մշակումը դեռ ավարտված չէ։ Նման հավասարումները ուսումնասիրվում են դիոֆանտինային մոտարկումների միջոցով, որոնք ներառում են F(x, y)=C անհավասարությունը, որտեղ F (x, y) n≧3 աստիճանի անկրճատելի, միատարր բազմանդամ է։ Այսպիսով, մենք կարող ենք ենթադրել, որ yi→∞. Համապատասխանաբար, եթե yi-ը բավականաչափ մեծ է, ապա անհավասարությունը կհակասի Թյուի, Զիգելի և Ռոթի թեորեմին, որից հետևում է, որ F(x, y)=C, որտեղ F-ն է. երրորդ կամ ավելի բարձր աստիճանի ձև, անկրճատելին չի կարող ունենալ անսահման թվով լուծումներ։
Ինչպե՞ս լուծել դիոֆանտինի հավասարումը:
Այս օրինակը բավականին նեղ դաս է բոլորի մեջ: Օրինակ, չնայած դրանց պարզությանը, x3 + y3 + z3=N, և x2 +y 2 +z2 +u2 =N ներառված չեն այս դասում: Լուծումների ուսումնասիրությունը դիոֆանտինյան հավասարումների բավականին մանրակրկիտ ուսումնասիրված ճյուղ է, որտեղ հիմքում ընկած է թվերի քառակուսային ձևերի ներկայացումը։ Լագրանժստեղծեց մի թեորեմ, որն ասում է, որ կատարումը գոյություն ունի բոլոր բնական N-ի համար: Ցանկացած բնական թիվ կարող է ներկայացվել որպես երեք քառակուսիների գումար (Գաուսի թեորեմ), բայց այն չպետք է լինի 4a ձևի: (8K- 1), որտեղ a-ն և k-ն ոչ բացասական ամբողջ թվեր են:
Ռացիոնալ կամ ամբողջական լուծումներ F տիպի դիոֆանտին հավասարման համակարգի (x1, …, x )=a, որտեղ F (x 1, …, x ) քառակուսի ձև է ամբողջ թվով գործակիցներով: Այսպիսով, Մինկովսկի-Հասսեի թեորեմի համաձայն անհավասարությունը ∑aijxixj=b ijև b-ը ռացիոնալ է, ունի ինտեգրալ լուծում իրական և p-adic թվերում յուրաքանչյուր պարզ թվի համար, եթե այն լուծելի է այս կառուցվածքում:
Բնածին դժվարությունների պատճառով ավելի փոքր չափով ուսումնասիրվել է երրորդ և բարձր աստիճանի կամայական ձևերով թվերի ուսումնասիրությունը։ Կատարման հիմնական մեթոդը եռանկյունաչափական գումարների մեթոդն է: Այս դեպքում հավասարման լուծումների թիվը բացահայտորեն գրված է Ֆուրիեի ինտեգրալով: Դրանից հետո շրջակա միջավայրի մեթոդն օգտագործվում է համապատասխան համադրումների անհավասարության կատարման քանակն արտահայտելու համար։ Եռանկյունաչափական գումարների մեթոդը կախված է անհավասարությունների հանրահաշվական հատկանիշներից։ Գծային դիոֆանտին հավասարումների լուծման տարրական մեծ թվով մեթոդներ կան:
Դիոֆանտինի անալիզ
Մաթեմատիկական ամբիոն, որի առարկան երկրաչափության մեթոդներով հանրահաշվի հավասարումների համակարգերի ինտեգրալ և ռացիոնալ լուծումների ուսումնասիրությունն է, նույն.ոլորտները. 19-րդ դարի երկրորդ կեսին թվերի այս տեսության առաջացումը հանգեցրեց Դիոֆանտինի հավասարումների ուսումնասիրությանը կամայական դաշտից՝ գործակիցներով, և լուծումները դիտարկվեցին կա՛մ դրանում, կա՛մ նրա օղակներում։ Թվերին զուգահեռ զարգացած հանրահաշվական ֆունկցիաների համակարգը։ Այս երկուսի հիմնական անալոգիան, որն ընդգծել են Դ. Հիլբերտը և, մասնավորապես, Լ. Քրոնեկերը, հանգեցրել են թվաբանական տարբեր հասկացությունների միատեսակ կառուցմանը, որոնք սովորաբար կոչվում են գլոբալ։
Սա հատկապես նկատելի է, եթե հաստատունների վերջավոր դաշտում ուսումնասիրվող հանրահաշվական ֆունկցիաները մեկ փոփոխական են: Հասկացությունները, ինչպիսիք են դասի դաշտի տեսությունը, բաժանարարը և ճյուղավորումը և արդյունքները, վերը նշվածի լավ օրինակն են: Այս տեսակետը Դիոֆանտյան անհավասարությունների համակարգում ընդունվեց միայն ավելի ուշ, և համակարգային հետազոտությունները ոչ միայն թվային գործակիցներով, այլև գործակիցներով, որոնք ֆունկցիաներ են, սկսվեցին միայն 1950-ական թվականներին։ Այս մոտեցման որոշիչ գործոններից մեկը հանրահաշվական երկրաչափության զարգացումն էր։ Թվերի և ֆունկցիաների դաշտերի միաժամանակյա ուսումնասիրությունը, որոնք առաջանում են որպես նույն առարկայի երկու հավասարապես կարևոր ասպեկտներ, ոչ միայն տվեց նրբագեղ և համոզիչ արդյունքներ, այլև հանգեցրեց երկու թեմաների փոխադարձ հարստացման։
Հանրահաշվական երկրաչափության մեջ բազմազանություն հասկացությունը փոխարինվում է տվյալ K դաշտի վրա անհավասարությունների ոչ անփոփոխ բազմությամբ, և դրանց լուծումները փոխարինվում են ռացիոնալ կետերով, որոնց արժեքները K-ում են կամ դրա վերջավոր ընդլայնման մեջ: Համապատասխանաբար կարելի է ասել, որ դիոֆանտինյան երկրաչափության հիմնարար խնդիրը ռացիոնալ կետերի ուսումնասիրությունն էհանրահաշվական բազմության X(K), մինչդեռ X-ը որոշակի թվեր են K դաշտում: Ամբողջ թվի կատարումը երկրաչափական նշանակություն ունի գծային դիոֆանտինյան հավասարումների մեջ:
Անհավասարության ուսումնասիրություններ և կատարման տարբերակներ
Հանրահաշվական տարատեսակների ռացիոնալ (կամ ինտեգրալ) կետերն ուսումնասիրելիս առաջանում է առաջին խնդիրը, որը դրանց գոյությունն է։ Հիլբերտի տասներորդ խնդիրը ձևակերպված է որպես այս խնդրի լուծման ընդհանուր մեթոդ գտնելու խնդիր։ Ալգորիթմի ճշգրիտ սահմանման ստեղծման գործընթացում և այն բանից հետո, երբ ապացուցվեց, որ մեծ թվով խնդիրների համար նման կատարումներ չկան, խնդիրն ակնհայտ բացասական արդյունք ստացավ, և ամենահետաքրքիր հարցը Դիոֆանտինի հավասարումների դասերի սահմանումն է։ որի համար գոյություն ունի վերը նշված համակարգը: Ամենաբնական մոտեցումը, հանրահաշվական տեսանկյունից, այսպես կոչված Hasse սկզբունքն է. սկզբնական K դաշտը ուսումնասիրվում է Kv բոլոր հնարավոր գնահատականների վրա իր լրացումներով: Քանի որ X(K)=X(Kv) գոյության համար անհրաժեշտ պայման են, և K կետը հաշվի է առնում, որ X(Kv բազմությունը.) դատարկ չէ բոլոր v.
Կարևորությունը կայանում է նրանում, որ այն միավորում է երկու խնդիր: Երկրորդը շատ ավելի պարզ է, այն լուծելի է հայտնի ալգորիթմով։ Այն կոնկրետ դեպքում, երբ X բազմազանությունը պրոեկտիվ է, Հենզելի լեմման և դրա ընդհանրացումները հնարավոր են դարձնում հետագա կրճատումը. խնդիրը կարող է կրճատվել մինչև վերջավոր դաշտի վրա ռացիոնալ կետերի ուսումնասիրություն: Հետո նա որոշում է հայեցակարգ կառուցել կամ հետևողական հետազոտության կամ ավելի արդյունավետ մեթոդների միջոցով:
ՎերջինԿարևոր նկատառումն այն է, որ X(Kv) բազմությունները դատարկ չեն բոլորի համար, բացառությամբ v-ի վերջավոր թվի, ուստի պայմանների թիվը միշտ վերջավոր է, և դրանք կարող են արդյունավետորեն փորձարկվել: Այնուամենայնիվ, Hasse-ի սկզբունքը չի կիրառվում աստիճանի կորերի վրա: Օրինակ՝ 3x3 + 4y3=5-ն ունի բոլոր p-adic թվային դաշտերում և իրական թվերի համակարգում, բայց չունի ռացիոնալ միավորներ։
Այս մեթոդը ելակետ ծառայեց աբելյան սորտերի հիմնական միատարր տարածությունների դասերը նկարագրող հայեցակարգի կառուցման համար՝ Հասսեի սկզբունքից «շեղում» կատարելու համար: Այն նկարագրվում է հատուկ կառուցվածքի տեսքով, որը կարող է կապված լինել յուրաքանչյուր բազմազանության հետ (Թեյթ-Շաֆարևիչ խումբ): Տեսության հիմնական դժվարությունը կայանում է նրանում, որ խմբերի հաշվարկման մեթոդները դժվար է ձեռք բերել: Այս հայեցակարգը տարածվել է նաև հանրահաշվական սորտերի այլ դասերի վրա:
Անհավասարությունների կատարման ալգորիթմի որոնում
Մեկ այլ էվրիստիկ գաղափար, որն օգտագործվում է Դիոֆանտինի հավասարումների ուսումնասիրության մեջ, այն է, որ եթե անհավասարությունների մի շարքում ներգրավված փոփոխականների թիվը մեծ է, ապա համակարգը սովորաբար լուծում ունի: Այնուամենայնիվ, դա շատ դժվար է ապացուցել որևէ կոնկրետ դեպքի համար: Այս տիպի խնդիրների նկատմամբ ընդհանուր մոտեցումը օգտագործում է թվերի անալիտիկ տեսությունը և հիմնված է եռանկյունաչափական գումարների գնահատումների վրա: Այս մեթոդը ի սկզբանե կիրառվել է հատուկ տեսակի հավասարումների համար։
Սակայն հետագայում նրա օգնությամբ ապացուցվեց, որ եթե կենտ աստիճանի ձևը F է, ապա դ.և n փոփոխականներով և ռացիոնալ գործակիցներով, ապա n-ը բավականաչափ մեծ է՝ համեմատած d-ի հետ, ուստի պրոյեկտիվ հիպերմակերևույթը F=0 ունի ռացիոնալ կետ: Ըստ Արթինի ենթադրության՝ այս արդյունքը ճիշտ է, նույնիսկ եթե n > d2. Սա ապացուցված է միայն քառակուսի ձևերի համար: Նմանատիպ խնդիրներ կարելի է խնդրել նաև այլ ոլորտների համար։ Դիոֆանտյան երկրաչափության կենտրոնական խնդիրը ամբողջ թվային կամ ռացիոնալ կետերի բազմության կառուցվածքն է և դրանց ուսումնասիրությունը, և առաջին հարցը, որը պետք է պարզաբանվի, այն է, թե արդյոք այս բազմությունը վերջավոր է։ Այս խնդրի դեպքում իրավիճակը սովորաբար ունենում է սահմանափակ թվով կատարումներ, եթե համակարգի աստիճանը շատ ավելի մեծ է, քան փոփոխականների թիվը: Սա հիմնական ենթադրությունն է։
Անհավասարություններ գծերի և կորերի վրա
X(K) խումբը կարող է ներկայացվել որպես r աստիճանի ազատ կառուցվածքի և n կարգի վերջավոր խմբի ուղղակի գումար։ 1930-ական թվականներից ուսումնասիրվել է այն հարցը, թե արդյոք այս թվերը սահմանափակված են բոլոր էլիպսային կորերի բազմության վրա տվյալ K դաշտի վրա: n-ի ոլորման սահմանը ցուցադրվել է յոթանասունականներին: Ֆունկցիոնալ դեպքում կան կամայական բարձր աստիճանի կորեր։ Թվային դեպքում այս հարցին դեռ պատասխան չկա։
Վերջապես, Մորդելի ենթադրությունն ասում է, որ ինտեգրալ կետերի թիվը վերջնական է g>1 սեռի կորի համար: Ֆունկցիոնալ դեպքում այս հայեցակարգը ցուցադրվել է Յու. Ի. Մանինի կողմից 1963թ. Դիոֆանտյան երկրաչափության վերջավորության թեորեմների ապացուցման համար օգտագործվող հիմնական գործիքը բարձրությունն է։ Հանրահաշվական տարատեսակներից մեկից բարձր չափերը աբելյան ենԿոմպլեկտորները, որոնք էլիպսային կորերի բազմաչափ անալոգներն են, առավել մանրակրկիտ ուսումնասիրված են:
Ա. Վեյլն ընդհանրացրել է ռացիոնալ կետերի խմբի գեներատորների թվի վերջավորության թեորեմը ցանկացած հարթության Աբելյան սորտերի վրա (Մորդել-Վեյլի հայեցակարգը)՝ ընդարձակելով այն։ 1960-ականներին ի հայտ եկան Բիրչի և Սվիներթոն-Դայերի ենթադրությունները, որոնք բարելավում էին այս և խմբի և բազմակի զետա ֆունկցիաները։ Թվային ապացույցները հաստատում են այս վարկածը:
Լուծելիության խնդիր
Ալգորիթմ գտնելու խնդիր, որը կարող է օգտագործվել որոշելու, թե արդյոք Դիոֆանտինի որևէ հավասարում ունի լուծում: Դրված խնդրի էական հատկանիշը ունիվերսալ մեթոդի որոնումն է, որը հարմար կլինի ցանկացած անհավասարության համար: Նման մեթոդը թույլ կտա լուծել նաև վերը նշված համակարգերը, քանի որ այն համարժեք է P21+⋯+P2k=0.p1=0, …, PK=0p=0, …, pK=0 կամ p21+ ⋯ + P2K=0: n12+⋯+pK2=0: Ամբողջ թվերով գծային անհավասարությունների լուծումներ գտնելու նման ունիվերսալ միջոց գտնելու խնդիրը դրել է Դ. Գիլբերտ.
1950-ականների սկզբին հայտնվեցին առաջին ուսումնասիրությունները, որոնց նպատակն էր ապացուցել Դիոֆանտինի հավասարումների լուծման ալգորիթմի գոյությունը: Այս ժամանակ ի հայտ եկավ Դևիսի ենթադրությունը, որն ասում էր, որ ցանկացած հաշվառված հավաքածու նույնպես պատկանում է հույն գիտնականին։ Քանի որ ալգորիթմորեն չորոշվող բազմությունների օրինակները հայտնի են, բայց ռեկուրսիվորեն թվարկելի են: Հետևում է, որ Դևիսի ենթադրությունը ճիշտ է և այդ հավասարումների լուծելիության խնդիրըունի բացասական կատարում։
Դրանից հետո, Դևիսի ենթադրության համար, մնում է ապացուցել, որ գոյություն ունի անհավասարության փոխակերպման մեթոդ, որը նույնպես (կամ չուներ) միաժամանակ լուծում ունի: Ցույց է տրվել, որ Դիոֆանտինի հավասարման նման փոփոխությունը հնարավոր է, եթե այն ունի վերը նշված երկու հատկությունները. 1) այս տիպի ցանկացած լուծման դեպքում v ≦ uu; 2) ցանկացած k-ի համար կա էքսպոնենցիալ աճով կատարում։
Այս դասի գծային Դիոֆանտին հավասարման օրինակը լրացրեց ապացույցը: Ռացիոնալ թվերում այս անհավասարությունների լուծելիության և ճանաչման ալգորիթմի գոյության խնդիրը դեռևս համարվում է կարևոր և բաց հարց, որը բավականաչափ ուսումնասիրված չէ։
