Գեորգ Կանտորը (լուսանկարը տրված է հոդվածում ավելի ուշ) գերմանացի մաթեմատիկոս է, ով ստեղծել է բազմությունների տեսությունը և ներմուծել անսահման մեծ, բայց միմյանցից տարբեր անսահման թվերի հայեցակարգը։ Նա նաև սահմանեց հերթական և հիմնական թվերը և ստեղծեց դրանց թվաբանությունը:
Գեորգ Կանտոր. համառոտ կենսագրություն
Ծնվել է Սանկտ Պետերբուրգում 1845-03-03 թ. Նրա հայրը բողոքական հավատքի դանիացի Գեորգ-Վալդեմար Կանտորն էր, ով զբաղվում էր առևտրով, այդ թվում՝ բորսայում։ Նրա մայրը՝ Մարիա Բեմը, կաթոլիկ էր և ականավոր երաժիշտների ընտանիքից էր։ Երբ 1856 թվականին Գեորգի հայրը հիվանդացավ, ընտանիքը տեղափոխվեց նախ Վիսբադեն, ապա Ֆրանկֆուրտ՝ ավելի մեղմ կլիմա փնտրելու համար։ Տղայի մաթեմատիկական տաղանդը դրսևորվեց դեռևս մինչև 15-ամյակը, երբ սովորում էր Դարմշտադտի և Վիսբադենի մասնավոր դպրոցներում և գիմնազիաներում: Ի վերջո, Գեորգ Կանտորը համոզեց իր հորը մաթեմատիկոս դառնալու իր հաստատակամ մտադրության մեջ, այլ ոչ թե ինժեներ։
Ցյուրիխի համալսարանում կարճատև ուսումնասիրությունից հետո 1863 թվականին Կանտորը տեղափոխվեց Բեռլինի համալսարան՝ ֆիզիկա, փիլիսոփայություն և մաթեմատիկա սովորելու։ Այնտեղ նադասավանդել է:
- Կարլ Թեոդոր Վայերշտրասը, ում մասնագիտացումը վերլուծության մեջ, հավանաբար, ամենամեծ ազդեցությունն է ունեցել Գեորգի վրա;
- Էռնստ Էդուարդ Կումմեր, ով դասավանդում էր ավելի բարձր թվաբանություն;
- Լեոպոլդ Կրոնեկեր, թվերի տեսաբան, ով հետագայում հակադրվեց Կանտորին:
1866 թվականին Գյոթինգենի համալսարանում մեկ կիսամյակ անցկացնելուց հետո, հաջորդ տարի Գեորգը գրեց իր դոկտորական ատենախոսությունը «Մաթեմատիկայում հարցեր տալու արվեստն ավելի արժեքավոր է, քան խնդիրներ լուծելը» վերնագրով Կարլ Ֆրիդրիխ Գաուսի ունեցած խնդրի վերաբերյալ։ չլուծված է մնացել իր Disquisitiones Arithmeticae (1801) աշխատության մեջ։ Բեռլինի աղջիկների դպրոցում կարճ ժամանակ դասավանդելուց հետո Կանտորը սկսեց աշխատել Հալլեի համալսարանում, որտեղ մնաց մինչև իր կյանքի վերջը, սկզբում որպես ուսուցիչ, 1872 թվականից՝ որպես ասիստենտ, իսկ 1879 թվականից՝ որպես պրոֆեսոր։
Հետազոտություն
1869-ից 1873 թվականներին 10 աշխատությունների շարքի սկզբում Գեորգ Կանտորը դիտարկեց թվերի տեսությունը: Աշխատանքն արտացոլում էր նրա կիրքը թեմայի նկատմամբ, Գաուսի ուսումնասիրությունները և Կրոնեկերի ազդեցությունը։ Հալլեում Կանտորի գործընկեր Հենրիխ Էդուարդ Հայնեի առաջարկով, ով ճանաչեց նրա մաթեմատիկական տաղանդը, նա դիմեց եռանկյունաչափական շարքերի տեսությանը, որտեղ նա ընդլայնեց իրական թվերի հասկացությունը:
Հիմնվելով 1854 թվականին գերմանացի մաթեմատիկոս Բեռնհարդ Ռիմանի կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիայի վերաբերյալ աշխատանքի վրա՝ 1870 թվականին Կանտորը ցույց տվեց, որ նման ֆունկցիան կարող է ներկայացվել միայն մեկ ձևով՝ եռանկյունաչափական շարքով։ Մի շարք թվերի (կետերի) դիտարկում, որչէր հակասելու նման տեսակետին, նա, նախ, 1872 թ.-ին հանգեցրեց նրան իռացիոնալ թվերի սահմանմանը ռացիոնալ թվերի կոնվերգենտ հաջորդականությունների (ամբողջ թվերի կոտորակների) առումով և հետագայում իր կյանքի աշխատանքի, բազմությունների տեսության և հայեցակարգի վրա աշխատանքի սկիզբը: տրանսվերջ թվերի։
Բազմությունների տեսություն
Գեորգ Կանտորը, ում բազմությունների տեսությունը ծագել է Բրաունշվեյգի տեխնիկական ինստիտուտի մաթեմատիկոս Ռիչարդ Դեդեկինդի հետ նամակագրության արդյունքում, նրա ընկերն էր մանկուց։ Նրանք եզրակացրեցին, որ բազմությունները՝ լինեն վերջավոր, թե անվերջ, տարրերի հավաքածու են (օրինակ՝ թվեր, {0, ±1, ±2…}), որոնք ունեն որոշակի հատկություն՝ պահպանելով իրենց անհատականությունը։ Բայց երբ Գեորգ Կանտորը օգտագործեց մեկ առ մեկ նամակագրություն (օրինակ՝ {A, B, C} դեպի {1, 2, 3})՝ ուսումնասիրելու նրանց բնութագրերը, նա արագ հասկացավ, որ դրանք տարբերվում են իրենց անդամակցության աստիճանով, նույնիսկ. եթե դրանք անսահման բազմություններ լինեին, այսինքն՝ բազմություններ, որոնց մի մասը կամ ենթաբազմությունը ներառում է այնքան առարկա, որքան ինքը: Նրա մեթոդը շուտով զարմանալի արդյունքներ տվեց։
1873 թվականին Գեորգ Կանտորը (մաթեմատիկոս) ցույց տվեց, որ ռացիոնալ թվերը, թեև անսահման են, հաշվելի են, քանի որ դրանք կարող են մեկ առ մեկ համապատասխանեցնել բնական թվերին (այսինքն՝ 1, 2, 3 և այլն): դ.): Նա ցույց տվեց, որ իրական թվերի բազմությունը, որը բաղկացած է իռացիոնալ և ռացիոնալ թվերից, անսահման է և անհաշվելի։ Ավելի պարադոքսալ կերպով, Քանտորն ապացուցեց, որ բոլոր հանրահաշվական թվերի բազմությունը պարունակում է այնքան էլեմենտներ, որքանքանիսն է բոլոր ամբողջ թվերի բազմությունը, և այդ տրանսցենդենտալ թվերը, որոնք հանրահաշվական չեն, որոնք իռացիոնալ թվերի ենթաբազմություն են, անհաշվելի են և, հետևաբար, նրանց թիվը մեծ է ամբողջ թվերից և պետք է համարել անվերջ:
Հակառակորդներ և կողմնակիցներ
Բայց Կանտորի աշխատությունը, որտեղ նա առաջին անգամ առաջ քաշեց այս արդյունքները, չի տպագրվել Կրելում, քանի որ գրախոսներից մեկը՝ Քրոնեկերը, կատաղի դեմ էր: Բայց Դեդեկինդի միջամտությունից հետո այն հրատարակվել է 1874 թվականին «Բոլոր իրական հանրահաշվական թվերի բնորոշ հատկությունների մասին» վերնագրով։
։
Գիտություն և անձնական կյանք
Նույն տարում, Շվեյցարիայի Ինտերլակեն քաղաքում իր կնոջ՝ Ուոլլի Գուտմանի հետ մեղրամիսի ժամանակ, Կանտորը հանդիպեց Դեդեկինդի հետ, որը դրականորեն արտահայտվեց իր նոր տեսության մասին: Ջորջի աշխատավարձը քիչ էր, բայց 1863 թվականին մահացած հոր փողերով նա տուն կառուցեց կնոջ ու հինգ երեխաների համար։ Նրա աշխատություններից շատերը տպագրվել են Շվեդիայում Acta Mathematica նոր ամսագրում, որը խմբագրել և հիմնել է Գեստա Միտթագ-Լեֆլերը, ով առաջիններից էր, ով ճանաչեց գերմանացի մաթեմատիկոսի տաղանդը:
:
Կապ մետաֆիզիկայի հետ
Կանտորի տեսությունը դարձավ բոլորովին նոր ուսումնասիրության առարկա անսահմանի մաթեմատիկայի վերաբերյալ (օրինակ՝ շարք 1, 2, 3 և այլն, և ավելի բարդ բազմություններ), որը մեծապես կախված էր մեկ առ մեկ համապատասխանությունից: Կանտորի կողմից բեմադրության նոր մեթոդների մշակումըշարունակականության և անսահմանության վերաբերյալ հարցերը նրա հետազոտությանը տվել են երկիմաստ բնույթ։
Երբ նա պնդում էր, որ անսահման թվեր իսկապես գոյություն ունեն, նա դիմեց հին և միջնադարյան փիլիսոփայությանը փաստացի և պոտենցիալ անսահմանության վերաբերյալ, ինչպես նաև վաղ կրոնական կրթությանը, որը տվել էին իր ծնողները: 1883 թվականին Կանտորը իր «Ընդհանուր բազմությունների տեսության հիմունքները» գրքում միավորեց իր հայեցակարգը Պլատոնի մետաֆիզիկայի հետ:
Կրոնեկերը, ով պնդում էր, որ «գոյություն ունեն» միայն ամբողջ թվերը («Աստված ստեղծել է ամբողջ թվերը, մնացածը մարդու գործն է»), երկար տարիներ կտրականապես մերժում էր նրա դատողությունը և խոչընդոտում էր իր նշանակումը Բեռլինի համալսարանում։
Անվերջ թվեր
1895-97 թթ. Գեորգ Կանտորն ամբողջությամբ ձևավորել է շարունակականության և անսահմանության մասին իր պատկերացումը, ներառյալ անվերջ շարքային և հիմնական թվերը, իր ամենահայտնի աշխատության մեջ, որը հրապարակվել է որպես Անդրսահմանային թվերի տեսության հաստատման ներդրում (1915): Այս շարադրանքը պարունակում է նրա հայեցակարգը, որին նա առաջնորդվեց՝ ցույց տալով, որ անսահման բազմությունը կարելի է մեկ առ մեկ համապատասխանության մեջ դնել իր ենթաբազմություններից մեկի հետ։
Նվազագույն տրանսվերջային կարդինալ թվի տակ նա նկատի ուներ ցանկացած բազմության կարդինալությունը, որը կարելի է մեկ առ մեկ համապատասխանեցնել բնական թվերին: Քանտորն այն անվանել է aleph-null: Մեծ տրանսֆինիտ բազմությունները նշանակվում են ալեֆ-մեկ, ալեֆ-երկու և այլն: Նա հետագայում զարգացրեց տրանսվերջ թվերի թվաբանությունը, որը նման էր վերջավոր թվաբանությանը: Այսպիսով նահարստացրել է անսահմանության հասկացությունը։
Ընդդիմությունը, որին նա բախվեց, և այն ժամանակը, որ պահանջվեց, որպեսզի նրա գաղափարները լիովին ընդունվեն, պայմանավորված է հին հարցի վերագնահատման դժվարությամբ, թե ինչ է թիվը: Քանտորը ցույց տվեց, որ գծի կետերի բազմությունը ավելի բարձր կարդինալություն ունի, քան ալեֆ-զրո: Սա հանգեցրեց շարունակականության վարկածի հայտնի խնդրին. չկան հիմնական թվեր ալեֆ-զրոյի և գծի կետերի հզորության միջև: Այս խնդիրը 20-րդ դարի առաջին և երկրորդ կեսերին մեծ հետաքրքրություն առաջացրեց և ուսումնասիրվեց շատ մաթեմատիկոսների կողմից, այդ թվում՝ Կուրտ Գյոդելի և Փոլ Քոհենի կողմից։
դեպրեսիա
1884 թվականից Գեորգ Կանտորի կենսագրությունը մնաց նրա հոգեկան հիվանդությամբ, սակայն նա շարունակեց ակտիվորեն աշխատել։ 1897 թվականին նա օգնել է Ցյուրիխում անցկացնել առաջին միջազգային մաթեմատիկական կոնգրեսը։ Մասամբ այն պատճառով, որ նրան հակառակվում էր Կրոնեկերը, նա հաճախ համակրում էր երիտասարդ հավակնորդ մաթեմատիկոսներին և փորձում էր միջոց գտնել՝ փրկելու նրանց ուսուցիչների ոտնձգություններից, ովքեր վտանգված էին զգում նոր գաղափարներից:
Ճանաչում
Դարի սկզբին նրա աշխատանքը լիովին ճանաչվեց որպես ֆունկցիաների տեսության, վերլուծության և տոպոլոգիայի հիմք: Բացի այդ, Կանտոր Գեորգի գրքերը խթան հանդիսացան մաթեմատիկայի տրամաբանական հիմքերի ինտուիցիոնիստական և ֆորմալիստական դպրոցների հետագա զարգացման համար։ Սա զգալիորեն փոխեց ուսուցման համակարգը և հաճախ ասոցացվում է «նոր մաթեմատիկայի» հետ։
1911 թվականին Կանտորը հրավիրվածների թվում էրՇոտլանդիայի Սենտ Էնդրյուսի համալսարանի 500-ամյակի տոնակատարությունը: Նա գնաց այնտեղ՝ Բերտրան Ռասելի հետ հանդիպելու ակնկալիքով, ով իր վերջերս հրատարակված «Principia Mathematica» աշխատության մեջ բազմիցս անդրադարձել է գերմանացի մաթեմատիկոսին, սակայն դա տեղի չի ունեցել։ Համալսարանը Կանտորին շնորհել է պատվավոր կոչում, սակայն հիվանդության պատճառով նա չի կարողացել անձամբ ընդունել մրցանակը։
Կանտորը թոշակի անցավ 1913 թվականին, ապրեց աղքատության մեջ և սովամահ մնաց Առաջին համաշխարհային պատերազմի ժամանակ: 1915 թվականին նրա ծննդյան 70-ամյակի տոնակատարությունները չեղարկվեցին պատերազմի պատճառով, սակայն նրա տանը տեղի ունեցավ փոքրիկ արարողություն։ Նա մահացել է 1918-06-01-ին Հալլեում, հոգեբուժարանում, որտեղ անցկացրել է իր կյանքի վերջին տարիները։
Գեորգ Կանտոր. կենսագրություն. Ընտանիք
Օգոստոսի 9, 1874, գերմանացի մաթեմատիկոսն ամուսնացավ Ուոլլի Գուտմանի հետ: Զույգն ուներ 4 որդի և 2 դուստր։ Վերջին երեխան ծնվել է 1886 թվականին Կանտորի կողմից գնված նոր տանը։ Հոր ժառանգությունն օգնեց նրան պահել ընտանիքը: Կանտորի առողջության վրա մեծապես ազդել է նրա կրտսեր որդու մահը 1899 թվականին, և այդ ժամանակվանից դեպրեսիան չի լքել նրան։
