Մատրիցային հանրահաշիվ. Օրինակներ և լուծումներ

2024 Հեղինակ: Angel Austin | [email protected]. Վերջին փոփոխված: 2023-12-17 05:30

Մատրիցներն ու որոշիչները հայտնաբերվել են տասնութերորդ և տասնիններորդ դարերում: Սկզբում դրանց զարգացումը վերաբերում էր երկրաչափական առարկաների վերափոխմանը և գծային հավասարումների համակարգերի լուծմանը։ Պատմականորեն վաղ շեշտը դրվում էր որոշիչի վրա: Գծային հանրահաշվի մշակման ժամանակակից մեթոդներում առաջին հերթին դիտարկվում են մատրիցները: Արժե այս հարցի շուրջ մի քիչ մտածել։

Պատասխաններ այս գիտելիքի ոլորտից

Մատրիցները տեսականորեն և գործնականում օգտակար միջոց են բազմաթիվ խնդիրների լուծման համար, ինչպիսիք են՝

• գծային հավասարումների համակարգեր;
• պինդ մարմինների հավասարակշռություն (ֆիզիկայում);
• գրաֆի տեսություն;
• Լեոնտիֆի տնտեսական մոդելը;
• անտառտնտեսություն;
• համակարգչային գրաֆիկա և տոմոգրաֆիա;
• գենետիկա;
• գաղտնագրություն;
• էլեկտրական ցանցեր;
• ֆրակտալ.

Իրականում «կեղծիքների» մատրիցային հանրահաշիվն ունի պարզեցված սահմանում: Այն արտահայտվում է այսպես՝ սա գիտելիքի գիտական դաշտ է, որումխնդրո առարկա արժեքները ուսումնասիրվում, վերլուծվում և ամբողջությամբ ուսումնասիրվում են: Հանրահաշվի այս բաժնում ուսումնասիրվում են ուսումնասիրվող մատրիցների վրա տարբեր գործողություններ:

Ինչպես աշխատել մատրիցների հետ

Այս արժեքները համարվում են հավասար, եթե ունեն նույն չափերը, և մեկի տարրը հավասար է մյուսի համապատասխան տարրին: Հնարավոր է բազմապատկել մատրիցը ցանկացած հաստատունով: Այս տրվածը կոչվում է սկալյար բազմապատկում: Օրինակ՝ 2=[1234]=[2⋅12⋅32⋅22⋅4]=[2468]։

Նույն չափի մատրիցները կարող են ավելացվել և հանվել մուտքերով, իսկ համատեղելի չափերի արժեքները կարող են բազմապատկվել: Օրինակ՝ ավելացրեք երկու A և B՝ A=[21−10]B=[1423]: Սա հնարավոր է, քանի որ A-ն և B-ն երկու տողերով և նույն թվով սյունակներով մատրիցներ են: Անհրաժեշտ է A-ի յուրաքանչյուր տարր ավելացնել B-ի համապատասխան տարրին՝ A+B=[2+11+2−1+40+3]=[3333]: Հանրահաշվում մատրիցները հանվում են նույն կերպ։

Մատրիցային բազմապատկումը մի փոքր այլ կերպ է աշխատում: Ընդ որում, կարող են լինել բազմաթիվ դեպքեր ու տարբերակներ, ինչպես նաև լուծումներ։ Եթե բազմապատկենք Apq և Bmn մատրիցը, ապա Ap×q+Bm×n=[AB]p×n արտադրյալը։ AB-ի g-րդ տողում և h-րդ սյունակում մուտքագրվածը համապատասխան գրառումների արտադրյալի գումարն է g A-ում և h B-ում: Հնարավոր է բազմապատկել երկու մատրիցա միայն այն դեպքում, եթե առաջինում սյունակների քանակը, իսկ երկրորդում՝ տողերը: հավասար են. Օրինակ՝ կատարել A և B համարվող պայմանը՝ A=[1−130]B=[2−11214]: Դա հնարավոր է, քանի որ առաջին մատրիցը պարունակում է 2 սյունակ, իսկ երկրորդը պարունակում է 2 տող:AB=[1⋅2+3⋅−1−1⋅2+0⋅−11⋅1+3⋅2−1⋅1+0⋅21⋅1+3⋅4−1⋅1+0⋅4]=[−1−27−113−1].

Հիմնական տեղեկատվություն մատրիցների մասին

Հարցված արժեքները կազմակերպում են տեղեկությունները, ինչպիսիք են փոփոխականները և հաստատունները, և դրանք պահում են տողերում և սյունակներում, որոնք սովորաբար կոչվում են C: Մատրիցի յուրաքանչյուր դիրք կոչվում է տարր: Օրինակ՝ C=[1234]: Բաղկացած է երկու տողից և երկու սյունակից։ 4-րդ տարրը 2-րդ տողում և 2-րդ սյունակում է: Սովորաբար մատրիցը կարող եք անվանել ըստ չափսերի, Cmk անունով մեկը ունի m տողեր և k սյունակներ:

Ընդլայնված մատրիցներ

Դիտարկումները աներևակայելի օգտակար բաներ են, որոնք ի հայտ են գալիս կիրառական տարբեր ոլորտներում: Մատրիցներն ի սկզբանե հիմնված էին գծային հավասարումների համակարգերի վրա։ Հաշվի առնելով անհավասարությունների հետևյալ կառուցվածքը, անհրաժեշտ է հաշվի առնել հետևյալ լրացված մատրիցը.

2x + 3y – z=6

–x – y – z=9

x + y + 6z=0.

Գրե՛ք գործակիցները և պատասխանե՛ք արժեքները՝ ներառյալ բոլոր մինուս նշանները: Եթե բացասական թիվ ունեցող տարրը, ապա այն հավասար կլինի «1»-ի։ Այսինքն, հաշվի առնելով (գծային) հավասարումների համակարգը, դրա հետ հնարավոր է կապել մատրիցա (փակագծերում գտնվող թվերի ցանց): Դա այն է, որը պարունակում է միայն գծային համակարգի գործակիցները։ Սա կոչվում է «ընդլայնված մատրիցա»: Յուրաքանչյուր հավասարման ձախ կողմի գործակիցները պարունակող ցանցը «լցված» է յուրաքանչյուր հավասարման աջ կողմի պատասխաններով։

Ռեկորդներ, այսինքնմատրիցայի B արժեքները համապատասխանում են սկզբնական համակարգում x-, y- և z արժեքներին: Եթե այն ճիշտ է դասավորված, ապա առաջին հերթին ստուգեք այն։ Երբեմն անհրաժեշտ է վերադասավորել տերմինները կամ զրոներ տեղադրել որպես տեղապահներ ուսումնասիրվող կամ ուսումնասիրվող մատրիցում:

Հաշվի առնելով հավասարումների հետևյալ համակարգը՝ մենք կարող ենք անմիջապես գրել հարակից ընդլայնված մատրիցը՝

x + y=0

y + z=3

z – x=2.

Նախ, համոզվեք, որ վերադասավորեք համակարգը հետևյալ կերպ՝

x + y=0

y + z=3

–x + z=2.

Այնուհետև հնարավոր է ասոցիացված մատրիցը գրել հետևյալ կերպ՝ [11000113-1012]: Ընդլայնված մեկը կազմելիս արժե օգտագործել զրո ցանկացած ռեկորդի համար, որտեղ գծային հավասարումների համակարգում համապատասխան կետը դատարկ է։

Մատրիցային հանրահաշիվ. Գործողությունների հատկություններ

Եթե անհրաժեշտ է տարրեր կազմել միայն գործակիցների արժեքներից, ապա դիտարկվող արժեքը կունենա հետևյալ տեսքը՝ [110011-101]։ Սա կոչվում է «գործակիցների մատրիցա»:

Հաշվի առնելով հետևյալ ընդլայնված մատրիցային հանրահաշիվը, անհրաժեշտ է կատարելագործել այն և ավելացնել հարակից գծային համակարգը։ Ասվածի համաձայն, կարևոր է հիշել, որ դրանք պահանջում են, որ փոփոխականները լինեն լավ դասավորված և կոկիկ: Եվ սովորաբար, երբ կան երեք փոփոխականներ, օգտագործեք x, y և z այդ հերթականությամբ: Հետևաբար, հարակից գծային համակարգը պետք է լինի՝

x + 3y=4

2y - z=5

3x + z=-2.

Մատրիցայի չափ

Քննարկվող առարկաները հաճախ հիշատակվում են իրենց կատարողականությամբ: Հանրահաշվում մատրիցայի չափը տրված է հետևյալ կերպչափումներ, քանի որ սենյակը կարելի է այլ կերպ անվանել: Արժեքների չափված չափումները տողերն ու սյունակներն են, ոչ թե լայնությունը և երկարությունը: Օրինակ, մատրիցա A:

[1234]

[2345]

[3456].

Քանի որ A-ն ունի երեք տող և չորս սյունակ, A-ի չափը 3 × 4 է:

→

↓

Գծերը շեղվում են: Սյուները վեր ու վար են բարձրանում։ «Տող» և «սյունակ» բնութագրիչներ են և փոխարինելի չեն: Մատրիցների չափերը միշտ նշվում են տողերի քանակով, այնուհետև սյունակների քանակով: Այս կոնվենցիայից հետո հետևյալ B.

[123]

[234]-ը 2 × 3 է: Եթե մատրիցն ունի նույն թվով տողեր, որքան սյունակները, ապա այն կոչվում է «քառակուսի»: Օրինակ՝ գործակիցների արժեքները վերևից՝

[110]

[011]

[-101]-ը 3×3 քառակուսի մատրից է։

Մատրիցային նշում և ձևաչափում

Ձևաչափման նշում. Օրինակ, երբ անհրաժեշտ է գրել մատրիցա, կարևոր է օգտագործել փակագծերը : Բացարձակ արժեքի գծերը || չեն օգտագործվում, քանի որ այս համատեքստում դրանք այլ ուղղություն ունեն: Փակագծերը կամ գանգուր փակագծերը {} երբեք չեն օգտագործվում: Կամ որևէ այլ խմբավորման նշան, կամ ընդհանրապես ոչ մեկը, քանի որ այս ներկայացումները որևէ նշանակություն չունեն: Հանրահաշվում մատրիցը միշտ գտնվում է քառակուսի փակագծերի մեջ: Պետք է օգտագործել միայն ճիշտ նշում, այլապես պատասխանները կարող են խեղաթյուրված համարվել:

Ինչպես նշվեց ավելի վաղ, մատրիցայում պարունակվող արժեքները կոչվում են գրառումներ: Ինչ էլ որ լինի, խնդրո առարկա տարրերը սովորաբար գրվում ենմեծատառերը, ինչպիսիք են A կամ B-ը, և գրառումները նշվում են համապատասխան փոքրատառերի միջոցով, բայց մակագրություններով: A մատրիցում արժեքները սովորաբար կոչվում են «ai, j», որտեղ i-ն A-ի տողն է, իսկ j-ը՝ A-ի սյունակը: Օրինակ՝ a3, 2=8: a1, 3-ի մուտքը 3 է:

Ավելի փոքր մատրիցների համար, որոնք ունեն տասը տողից քիչ տող և սյունակ, ստորակետը երբեմն բաց է թողնվում: Օրինակ, «a1, 3=3» կարող է գրվել որպես «a13=3»: Ակնհայտ է, որ սա չի աշխատի մեծ մատրիցների դեպքում, քանի որ a213-ը անհասկանալի կլինի:

Մատրիցայի տեսակներ

Երբեմն դասակարգվում է ըստ իրենց ռեկորդային կազմաձևերի: Օրինակ, նման մատրիցը, որն ունի բոլոր զրոյական մուտքերը վերև-ձախ-ներքև-աջ անկյունագծով «անկյունագծից», կոչվում է վերին եռանկյուն: Ի միջի այլոց, կարող են լինել այլ տեսակներ և տեսակներ, բայց դրանք այնքան էլ օգտակար չեն։ Ընդհանուր առմամբ, հիմնականում ընկալվում է որպես վերին եռանկյուն: Ոչ զրոյական ցուցիչներով միայն հորիզոնական արժեքները կոչվում են անկյունագծային արժեքներ: Նմանատիպ տեսակներն ունեն ոչ զրոյական գրառումներ, որոնցում բոլորը 1 են, այդպիսի պատասխանները կոչվում են նույնական (պատճառներով, որոնք պարզ կդառնան, երբ սովորեն և հասկանան, թե ինչպես կարելի է բազմապատկել խնդրո առարկա արժեքները): Կան բազմաթիվ նմանատիպ հետազոտական ցուցանիշներ: 3 × 3 ինքնությունը նշվում է I3-ով: Նմանապես, 4 × 4 ինքնությունը I4 է։

Մատրիցային հանրահաշիվ և գծային տարածություններ

Նշեք, որ եռանկյունաձև մատրիցները քառակուսի են: Բայց անկյունագծերը եռանկյուն են: Հաշվի առնելով այս, նրանքքառակուսի. Իսկ ինքնությունները համարվում են անկյունագծեր և, հետևաբար, եռանկյունաձև և քառակուսի: Երբ պահանջվում է նկարագրել մատրիցա, սովորաբար պարզորոշվում է սեփական առավել կոնկրետ դասակարգումը, քանի որ դա ենթադրում է բոլոր մյուսները: Դասակարգեք հետազոտության հետևյալ տարբերակները՝որպես 3 × 4: Այս դեպքում դրանք քառակուսի չեն: Հետևաբար, արժեքներն այլ բան չեն կարող լինել։ Հետևյալ դասակարգումը․ Հետևյալ տվյալների դասակարգումը. Ճիշտ է, դիտարկվող արժեքներում կարող են լինել լրացուցիչ զրոներ տեղակայված և նշված տարածության վրա կամ վերևում: Հետազոտվող դասակարգումը հետևյալն է. [0 0 1] [1 0 0] [0 1 0], որտեղ այն ներկայացված է որպես անկյունագիծ և, ընդ որում, բոլոր գրառումները 1 են: Այնուհետև սա 3 × 3 ինքնություն է:, I3.

Քանի որ անալոգային մատրիցները ըստ սահմանման քառակուսի են, անհրաժեշտ է օգտագործել միայն մեկ ինդեքս՝ դրանց չափերը գտնելու համար: Որպեսզի երկու մատրիցաները հավասար լինեն, դրանք պետք է ունենան նույն պարամետրը և ունենան նույն գրառումները նույն տեղերում: Օրինակ, ենթադրենք, որ երկու տարր է քննարկվում՝ A=[1 3 0] [-2 0 0] և B=[1 3] [-2 0]: Այս արժեքները չեն կարող նույնը լինել, քանի որ դրանք տարբեր են չափերով:

Նույնիսկ եթե A-ն և B-ն լինեն՝ A=[3 6] [2 5] [1 4] և B=[1 2 3] [4 5 6] - նրանք դեռ նույնը չեն: նույն բանը. A և B-ն ունենվեց գրառում և նույնպես ունեն նույն թվերը, բայց դա բավարար չէ մատրիցների համար: A-ն 3×2 է, իսկ B-ն 2×3 մատրիցա է, A-ն 3×2-ի համար 2×3 չէ: Կարևոր չէ, թե A-ն և B-ն ունեն նույն քանակությամբ տվյալներ կամ նույնիսկ նույն թվերը, ինչ գրառումները: Եթե A-ն և B-ն նույն չափն ու ձևը չունեն, բայց նույն վայրերում ունեն նույն արժեքները, ապա դրանք հավասար չեն:

Նման գործողություններ դիտարկվող տարածքում

Մատրիցային հավասարության այս հատկությունը կարող է վերածվել անկախ հետազոտության առաջադրանքների: Օրինակ՝ տրված է երկու մատրիցա, և նշվում է, որ դրանք հավասար են։ Այս դեպքում, դուք պետք է օգտագործեք այս հավասարությունը՝ ուսումնասիրելու և փոփոխականների արժեքների պատասխանները ստանալու համար:

Հանրահաշվում մատրիցների օրինակները և լուծումները կարող են բազմազան լինել, հատկապես, երբ խոսքը վերաբերում է հավասարություններին: Հաշվի առնելով, որ դիտարկված են հետևյալ մատրիցները, անհրաժեշտ է գտնել x և y արժեքները։ Որպեսզի A-ն և B-ն հավասար լինեն, դրանք պետք է լինեն նույն չափի և ձևի: Իրականում դրանք այդպիսին են, քանի որ դրանցից յուրաքանչյուրը 2 × 2 մատրիցա է։ Եվ նրանք պետք է ունենան նույն արժեքները նույն վայրերում: Այնուհետև a1, 1-ը պետք է հավասար լինի b1-ին, 1-ին, a1-ին, 2-ը պետք է հավասար լինի b1-ի, 2-ի և այլն: Բայց a1, 1=1 ակնհայտորեն հավասար չէ b1-ին, 1=x-ին: Որպեսզի A-ն նույնական լինի B-ին, մուտքը պետք է ունենա a1, 1=b1, 1, ուստի այն կարող է լինել 1=x: Նմանապես, a2, 2=b2, 2 ինդեքսները, ուստի 4=y: Այնուհետև լուծումն է՝ x=1, y=4. Հաշվի առնելով, որ հետևյալն էմատրիցները հավասար են, անհրաժեշտ է գտնել x, y և z արժեքները: A=B ունենալու համար գործակիցները պետք է ունենան բոլոր մուտքերը հավասար: Այսինքն, a1, 1=b1, 1, a1, 2=b1, 2, a2, 1=b2, 1 և այլն: Մասնավորապես, պետք է:

4=x

-2=y + 4

3=z / 3.

Ինչպես կարող եք տեսնել ընտրված մատրիցներից՝ 1, 1-, 2, 2- և 3, 1-տարրերով: Լուծելով այս երեք հավասարումները՝ մենք ստանում ենք պատասխանը՝ x=4, y=-6 և z=9: Մատրիցային հանրահաշիվը և մատրիցային գործողությունները տարբերվում են նրանից, ինչին սովոր են բոլորը, բայց դրանք վերարտադրելի չեն:

Լրացուցիչ տեղեկություններ այս ոլորտում

Գծային մատրիցային հանրահաշիվը հավասարումների նմանատիպ բազմությունների և դրանց փոխակերպման հատկությունների ուսումնասիրությունն է: Գիտելիքների այս ոլորտը թույլ է տալիս վերլուծել տարածության մեջ պտույտները, մոտավոր նվազագույն քառակուսիները, լուծել հարակից դիֆերենցիալ հավասարումներ, որոշել երեք տրված կետերով անցնող շրջան և լուծել մաթեմատիկայի, ֆիզիկայի և տեխնիկայի բազմաթիվ այլ խնդիրներ: Մատրիցի գծային հանրահաշիվը իրականում օգտագործված բառի տեխնիկական իմաստը չէ, այսինքն՝ վեկտորային տարածություն v դաշտի վրա f և այլն:

Մատրիցը և որոշիչը չափազանց օգտակար գծային հանրահաշվի գործիքներ են: Կենտրոնական առաջադրանքներից մեկը մատրիցային հավասարման լուծումն է A_x=b, x-ի համար: Թեև դա տեսականորեն կարելի է լուծել՝ օգտագործելով հակադարձ x=A^-1 բ. Այլ մեթոդներ, ինչպիսիք են Գաուսի վերացումը, թվային առումով ավելի հուսալի են:

Բացի այն, որ օգտագործվում է հավասարումների գծային բազմությունների ուսումնասիրությունը նկարագրելու համար, նշվածվերը նշված տերմինը օգտագործվում է նաև հանրահաշվի որոշակի տեսակ նկարագրելու համար: Մասնավորապես, F դաշտի վրա L-ն ունի օղակի կառուցվածք՝ ներքին գումարման և բազմապատկման բոլոր սովորական աքսիոմներով՝ բաշխման օրենքներով։ Հետեւաբար, այն ավելի շատ կառուցվածք է տալիս, քան օղակը: Գծային մատրիցային հանրահաշիվը նաև ընդունում է F դաշտի հիմքում ընկած սկալերներով բազմապատկման արտաքին գործողությունը: Օրինակ, F դաշտի վրա V վեկտորային տարածությունից դեպի իրեն դիտարկվող բոլոր փոխակերպումների հավաքածուն ձևավորվում է F-ի վրա: Գծայինի մեկ այլ օրինակ Հանրահաշիվը դաշտի բոլոր իրական քառակուսի մատրիցների բազմությունն է R իրական թվեր։