Լոգարիթմներ. օրինակներ և լուծումներ

Բովանդակություն:

Լոգարիթմներ. օրինակներ և լուծումներ
Լոգարիթմներ. օրինակներ և լուծումներ
Anonim

Ինչպես գիտեք, արտահայտությունները ուժերով բազմապատկելիս, դրանց ցուցանիշները միշտ գումարվում են (abac=ab+ c): Այս մաթեմատիկական օրենքը ստացվել է Արքիմեդի կողմից, իսկ ավելի ուշ՝ 8-րդ դարում, մաթեմատիկոս Վիրասենը ստեղծեց ամբողջ թվերի ցուցիչների աղյուսակը։ Հենց նրանք էլ ծառայեցին լոգարիթմների հետագա հայտնաբերմանը։ Այս ֆունկցիան օգտագործելու օրինակներ կարելի է գտնել գրեթե ամենուր, որտեղ անհրաժեշտ է բարդ բազմապատկումը պարզեցնել պարզ գումարման: Եթե դուք 10 րոպե ծախսեք այս հոդվածը կարդալու համար, մենք ձեզ կբացատրենք, թե ինչ են լոգարիթմները և ինչպես աշխատել դրանց հետ: Պարզ և մատչելի լեզու։

Սահմանում մաթեմատիկայի մեջ

Լոգարիթմը հետևյալ ձևի արտահայտությունն է՝ logab=c գ», որի մեջ պետք է բարձրացնել «a» հիմքը՝ վերջապես ստանալու արժեքը « բ». Եկեք վերլուծենք լոգարիթմը օրինակներով, ասենք կա log28 արտահայտությունը: Ինչպե՞ս գտնել պատասխանը: Դա շատ պարզ է, դուք պետք է այնպիսի աստիճան գտնեք, որ 2-ից մինչև անհրաժեշտ աստիճանը ստանաք 8: Մտքում կատարելով որոշ հաշվարկներ, մենք ստանում ենք 3 թիվը: Եվ դա ճիշտ է, քանի որ2-ը բարձրացրած 3-ի չափով տալիս է 8-ի պատասխանը։

լոգարիթմների օրինակներ
լոգարիթմների օրինակներ

Լոգարիթմների տարատեսակներ

Շատ աշակերտների և ուսանողների համար այս թեման թվում է բարդ և անհասկանալի, բայց իրականում լոգարիթմներն այնքան էլ սարսափելի չեն, գլխավորը հասկանալ դրանց ընդհանուր իմաստը և հիշել դրանց հատկությունները և որոշ կանոններ: Գոյություն ունեն երեք առանձին տեսակի լոգարիթմական արտահայտություններ.

  1. Բնական լոգարիթմ ln a, որտեղ հիմքը Էյլերի թիվն է (e=2, 7):
  2. Տասնորդական լոգարիթմ lg a, որտեղ հիմքը 10 թիվն է։
  3. Ցանկացած b թվի լոգարիթմ a>1 հիմքի վրա։

Դրանցից յուրաքանչյուրը լուծվում է ստանդարտ եղանակով, ներառյալ պարզեցումը, կրճատումը և հետագա կրճատումը մեկ լոգարիթմի՝ օգտագործելով լոգարիթմական թեորեմները: Լոգարիթմների ճիշտ արժեքները ստանալու համար պետք է հիշել դրանց հատկությունները և դրանց լուծման գործողությունների հերթականությունը։

Կանոններ և որոշ սահմանափակումներ

Մաթեմատիկայում կան մի քանի կանոն-սահմանափակումներ, որոնք ընդունված են որպես աքսիոմ, այսինքն՝ սակարկելի չեն և ճշմարիտ են։ Օրինակ, անհնար է թվերը բաժանել զրոյի, ինչպես նաև անհնար է բացասական թվերից զույգ արմատ վերցնել։ Լոգարիթմներն ունեն նաև իրենց կանոնները, որոնց հետևելով դուք հեշտությամբ կարող եք սովորել, թե ինչպես աշխատել նույնիսկ երկար և տարողունակ լոգարիթմական արտահայտությունների հետ՝

  • «ա»-ի հիմքը միշտ պետք է լինի զրոյից մեծ և միևնույն ժամանակ հավասար չլինի 1-ի, հակառակ դեպքում արտահայտությունը կկորցնի իր նշանակությունը, քանի որ «1»-ը և «0»-ը ցանկացած աստիճանի միշտ են. հավասար է դրանց արժեքներին;
  • եթե > 0, ապա b>0,պարզվում է, որ «c»-ն նույնպես պետք է մեծ լինի զրոյից։

Ինչպե՞ս լուծել լոգարիթմները:

Օրինակ, առաջադրանք տրված է գտնել 10 հավասարման պատասխանըx=100. Դա շատ հեշտ է, պետք է ընտրել այդպիսի հզորություն՝ բարձրացնելով տասը թիվը, մենք. ստացիր 100: Սա, իհարկե, քառակուսի հզորություն: 102=100.

Այժմ եկեք այս արտահայտությունը ներկայացնենք որպես լոգարիթմական: Մենք ստանում ենք log10100=2: Լոգարիթմները լուծելիս բոլոր գործողությունները գործնականում համընկնում են գտնելու այն հզորությունը, որին պետք է մուտքագրվի լոգարիթմի հիմքը՝ տրված թիվ ստանալու համար:

Անհայտ աստիճանի արժեքը ճշգրիտ որոշելու համար դուք պետք է սովորեք, թե ինչպես աշխատել աստիճանների աղյուսակի հետ: Կարծես հետևյալն է՝

լոգարիթմների օրինակներ և լուծումներ
լոգարիթմների օրինակներ և լուծումներ

Ինչպես տեսնում եք, որոշ ցուցիչներ կարելի է ինտուիտիվ կերպով գուշակել, եթե ունեք տեխնիկական մտածելակերպ և գիտելիք բազմապատկման աղյուսակի վերաբերյալ: Այնուամենայնիվ, ավելի մեծ արժեքների համար կպահանջվի էլեկտրական աղյուսակ: Այն կարող է օգտագործել նույնիսկ նրանք, ովքեր ընդհանրապես ոչինչ չեն հասկանում բարդ մաթեմատիկական թեմաներից։ Ձախ սյունակը պարունակում է թվեր (հիմք ա), թվերի վերին շարքը c հզորության արժեքն է, որին բարձրացվում է a թիվը։ Խաչմերուկում բջիջները սահմանում են այն թվերի արժեքները, որոնք պատասխան են (ac=b): Վերցնենք, օրինակ, 10 թվով հենց առաջին բջիջը և քառակուսի դարձնենք, ստանում ենք 100 արժեքը, որը նշված է մեր երկու բջիջների հատման կետում։ Ամեն ինչ այնքան պարզ և հեշտ է, որ նույնիսկ ամենաիսկական հումանիստը կհասկանա:

Հավասարումներ և անհավասարություններ

Պարզվում է, որ երբՈրոշակի պայմաններում ցուցիչը լոգարիթմն է։ Հետևաբար, ցանկացած մաթեմատիկական թվային արտահայտություն կարող է գրվել որպես լոգարիթմական հավասարում: Օրինակ՝ 34=81-ը կարելի է գրել որպես 81-ի լոգարիթմ 3-ի հիմքում, որը չորս է (log381=4): Բացասական աստիճանների համար կանոնները նույնն են՝ 2-5=1/32 գրված որպես լոգարիթմ, մենք ստանում ենք log2 (1/32):)=-5. Մաթեմատիկայի ամենահետաքրքիր բաժիններից մեկը «լոգարիթմների» թեման է։ Հավասարումների օրինակներն ու լուծումները կդիտարկենք մի փոքր ավելի ցածր՝ դրանց հատկություններն ուսումնասիրելուց անմիջապես հետո։ Առայժմ եկեք տեսնենք, թե ինչ տեսք ունեն անհավասարությունները և ինչպես դրանք տարբերել հավասարումներից:

Ինչպես լուծել լոգարիթմների օրինակներ
Ինչպես լուծել լոգարիթմների օրինակներ

Տրված է հետևյալ արտահայտությունը՝ log2(x-1) > 3 - դա լոգարիթմական անհավասարություն է, քանի որ «x» անհայտ արժեքը գտնվում է նշանի տակ։ լոգարիթմ. Արտահայտությունը նաև համեմատում է երկու արժեք. ցանկալի թվի երկու հիմքի լոգարիթմը մեծ է երեք թվից։

Լոգարիթմական հավասարումների և անհավասարությունների միջև ամենակարևոր տարբերությունն այն է, որ լոգարիթմներով հավասարումները (օրինակ՝ լոգարիթմ2x=√9) ենթադրում են Պատասխանում մեկ կամ մի քանի կոնկրետ թվային արժեքներ, մինչդեռ անհավասարություն լուծելիս որոշվում են ինչպես ընդունելի արժեքների միջակայքը, այնպես էլ այս ֆունկցիայի ընդմիջման կետերը: Արդյունքում պատասխանը առանձին թվերի պարզ բազմություն չէ, ինչպես հավասարման պատասխանում, այլ շարունակական շարք կամ թվերի բազմություն։

լոգարիթմների հատկությունները օրինակներով
լոգարիթմների հատկությունները օրինակներով

Հիմնական թեորեմներ լոգարիթմների վերաբերյալ

Լոգարիթմի արժեքները գտնելու պարզունակ առաջադրանքներ լուծելիս դուք կարող եք չգիտեք դրա հատկությունները: Այնուամենայնիվ, երբ խոսքը վերաբերում է լոգարիթմական հավասարումների կամ անհավասարություններին, առաջին հերթին անհրաժեշտ է հստակ հասկանալ և գործնականում կիրառել լոգարիթմների բոլոր հիմնական հատկությունները։ Հավասարումների օրինակներին կծանոթանանք ավելի ուշ, նախ ավելի մանրամասն վերլուծենք յուրաքանչյուր հատկություն։

  1. Հիմնական ինքնությունն այսպիսի տեսք ունի. alogaB=B: Այն կիրառվում է միայն այն դեպքում, եթե a-ն մեծ է 0-ից, հավասար չէ մեկին, իսկ B-ն մեծ է զրոյից:
  2. Արտադրանքի լոգարիթմը կարող է ներկայացվել հետևյալ բանաձևով. logd(s1s2)=logds1 + logdս2: Այս դեպքում պարտադիր պայմանն է՝ d, s1 և s2 > 0; a≠1. Դուք կարող եք ապացուցել լոգարիթմների այս բանաձևը, օրինակներով և լուծումներով: Թույլ տվեք մուտքագրելas1 =f1 և մուտքագրելas 2=f2, ապա af1=s1, a f2=s2: Մենք ստանում ենք այդ s1s2 =af1a f2=af1+f2 (աստիճանի հատկություններ), և հետագայում ըստ սահմանման՝ loga(s1 s2)=f1+ f2=գրանցամատյան as1 + logas2, որը պետք է ապացուցվեր:
  3. Քաղորդի լոգարիթմն ունի հետևյալ տեսքը՝ loga(s1/s2)=գրանցամատյան as1- մուտքաs2.
  4. Թեորեմը բանաձևի տեսքով ստանում է հետևյալ ձևը. logaqbn =n/q logaբ.

Այս բանաձևը կոչվում է «լոգարիթմի աստիճանի հատկություն»։ Այն նման է սովորական աստիճանների հատկություններին, և դա զարմանալի չէ, քանի որ ամբողջ մաթեմատիկան հիմնված է կանոնավոր պոստուլատների վրա: Եկեք նայենք ապացույցին։

Թույլ տվեք մուտքագրելab=t, մենք ստանում ենք at=b: Եթե երկու կողմերն էլ բարձրացնեք մինչև m հզորության՝ atn=b;

բայց քանի որ atn=(aq)nt/q=b , հետևաբար գրանցամատյանaq bn =(nt)/t, ապա մուտքագրեքaq bn=n/q logab. Թեորեմն ապացուցված է։

Խնդիրների և անհավասարությունների օրինակներ

Լոգարիթմի խնդիրների ամենատարածված տեսակները հավասարումների և անհավասարությունների օրինակներն են: Դրանք հանդիպում են գրեթե բոլոր խնդրագրքերում, ներառված են նաև մաթեմատիկայի քննությունների պարտադիր մասում։ Համալսարան ընդունվելու կամ մաթեմատիկայի ընդունելության թեստեր հանձնելու համար հարկավոր է իմանալ, թե ինչպես ճիշտ լուծել նման խնդիրները։

տասնորդական լոգարիթմների օրինակներ
տասնորդական լոգարիթմների օրինակներ

Ցավոք, չկա լոգարիթմի անհայտ արժեքը լուծելու և որոշելու մեկ պլան կամ սխեմա, սակայն որոշակի կանոններ կարող են կիրառվել յուրաքանչյուր մաթեմատիկական անհավասարության կամ լոգարիթմական հավասարման համար: Առաջին հերթին, դուք պետք է պարզեք, թե արդյոք արտահայտությունը կարող է պարզեցվել կամ կրճատվել ընդհանուր ձևի: Դուք կարող եք պարզեցնել երկար լոգարիթմական արտահայտությունները, եթե ճիշտ օգտագործեք դրանց հատկությունները: Եկեք շուտով ճանաչենք նրանց։

Լոգարիթմական հավասարումներ լուծելիս,անհրաժեշտ է որոշել, թե ինչպիսի լոգարիթմ ունենք մեր առջև. արտահայտության օրինակը կարող է պարունակել բնական լոգարիթմ կամ տասնորդական:

Ահա տասնորդական լոգարիթմների օրինակներ՝ ln100, ln1026: Նրանց լուծումը հանգում է նրան, որ դուք պետք է որոշեք այն աստիճանը, որով հիմքը 10-ը հավասար կլինի համապատասխանաբար 100-ի և 1026-ի: Բնական լոգարիթմների լուծումների համար պետք է կիրառել լոգարիթմական նույնականացումներ կամ դրանց հատկությունները: Դիտարկենք տարբեր տեսակի լոգարիթմական խնդիրների լուծման օրինակներ։

Հավասարումներ լոգարիթմների օրինակներով
Հավասարումներ լոգարիթմների օրինակներով

Ինչպես օգտագործել լոգարիթմի բանաձևերը. օրինակներով և լուծումներով

Այսպիսով, եկեք նայենք լոգարիթմների մասին հիմնական թեորեմների օգտագործման օրինակներին:

  1. Արդյունքի լոգարիթմի հատկությունը կարող է օգտագործվել այնպիսի առաջադրանքներում, որտեղ անհրաժեշտ է b թվի մեծ արժեքը տարրալուծել ավելի պարզ գործոնների: Օրինակ՝ log24 + log2128=log2(4128)=մատյան2512. Պատասխանը 9 է.
  2. log48=log22 23 =3/2 log22=1, 5 - ինչպես տեսնում եք, կիրառելով լոգարիթմի աստիճանի չորրորդ հատկությունը, մեզ հաջողվեց լուծել առաջին հայացքից. բարդ և անլուծելի արտահայտություն. Ընդամենը պետք է գործադրել հիմքը և այնուհետև ուժը հանել լոգարիթմի նշանից:
բնական լոգարիթմների լուծման օրինակներ
բնական լոգարիթմների լուծման օրինակներ

Առաջադրանքներ քննությունից

Լոգարիթմները հաճախ հանդիպում են ընդունելության քննություններին, հատկապես լոգարիթմական բազմաթիվ խնդիրներ Միասնական պետական քննության ժամանակ (պետական քննություն դպրոցների բոլոր շրջանավարտների համար): Սովորաբար այս առաջադրանքները առկա են ոչ միայն Ա մասում (առավելքննության հեշտ թեստային մասը), բայց նաև Գ մասում (ամենադժվար և ծավալուն առաջադրանքները): Քննությունը պահանջում է «Բնական լոգարիթմներ» թեմայի ճշգրիտ և կատարյալ իմացություն։

Օրինակներն ու խնդիրների լուծումները վերցված են քննության պաշտոնական տարբերակներից։ Տեսնենք, թե ինչպես են լուծվում նման խնդիրները։

Տրված է log2(2x-1)=4. Լուծում.

վերագրեք արտահայտությունը՝ մի փոքր պարզեցնելով այն log2(2x-1)=22, լոգարիթմի սահմանմամբ մենք ստանում ենք, որ 2x-1=24, հետևաբար 2x=17; x=8, 5.

Հետևելով մի քանի ուղեցույցների, որոնց հետևելով դուք կարող եք հեշտությամբ լուծել լոգարիթմի նշանի տակ գտնվող արտահայտություններ պարունակող բոլոր հավասարումները:

  • Ավելի լավ է բոլոր լոգարիթմները կրճատել նույն հիմքի վրա, որպեսզի լուծումը դժվար և շփոթեցնող չլինի:
  • Լոգարիթմի նշանի տակ գտնվող բոլոր արտահայտությունները նշվում են որպես դրական, ուստի լոգարիթմի նշանի տակ գտնվող արտահայտության ցուցիչը և որպես հիմք բազմապատկելիս, լոգարիթմի տակ մնացած արտահայտությունը պետք է լինի դրական:

Խորհուրդ ենք տալիս: