Լոգարիթմներ. օրինակներ և լուծումներ

2024 Հեղինակ: Angel Austin | [email protected]. Վերջին փոփոխված: 2024-01-02 17:49

Ինչպես գիտեք, արտահայտությունները ուժերով բազմապատկելիս, դրանց ցուցանիշները միշտ գումարվում են (a^ba^c=a^{b+ c): Այս մաթեմատիկական օրենքը ստացվել է Արքիմեդի կողմից, իսկ ավելի ուշ՝ 8-րդ դարում, մաթեմատիկոս Վիրասենը ստեղծեց ամբողջ թվերի ցուցիչների աղյուսակը։ Հենց նրանք էլ ծառայեցին լոգարիթմների հետագա հայտնաբերմանը։ Այս ֆունկցիան օգտագործելու օրինակներ կարելի է գտնել գրեթե ամենուր, որտեղ անհրաժեշտ է բարդ բազմապատկումը պարզեցնել պարզ գումարման: Եթե դուք 10 րոպե ծախսեք այս հոդվածը կարդալու համար, մենք ձեզ կբացատրենք, թե ինչ են լոգարիթմները և ինչպես աշխատել դրանց հետ: Պարզ և մատչելի լեզու։}

Սահմանում մաթեմատիկայի մեջ

Լոգարիթմը հետևյալ ձևի արտահայտությունն է՝ log_ab=c գ», որի մեջ պետք է բարձրացնել «a» հիմքը՝ վերջապես ստանալու արժեքը « բ». Եկեք վերլուծենք լոգարիթմը օրինակներով, ասենք կա log_{28 արտահայտությունը: Ինչպե՞ս գտնել պատասխանը: Դա շատ պարզ է, դուք պետք է այնպիսի աստիճան գտնեք, որ 2-ից մինչև անհրաժեշտ աստիճանը ստանաք 8: Մտքում կատարելով որոշ հաշվարկներ, մենք ստանում ենք 3 թիվը: Եվ դա ճիշտ է, քանի որ2-ը բարձրացրած 3-ի չափով տալիս է 8-ի պատասխանը։}

Լոգարիթմների տարատեսակներ

Շատ աշակերտների և ուսանողների համար այս թեման թվում է բարդ և անհասկանալի, բայց իրականում լոգարիթմներն այնքան էլ սարսափելի չեն, գլխավորը հասկանալ դրանց ընդհանուր իմաստը և հիշել դրանց հատկությունները և որոշ կանոններ: Գոյություն ունեն երեք առանձին տեսակի լոգարիթմական արտահայտություններ.

1. Բնական լոգարիթմ ln a, որտեղ հիմքը Էյլերի թիվն է (e=2, 7):
2. Տասնորդական լոգարիթմ lg a, որտեղ հիմքը 10 թիվն է։
3. Ցանկացած b թվի լոգարիթմ a>1 հիմքի վրա։

Դրանցից յուրաքանչյուրը լուծվում է ստանդարտ եղանակով, ներառյալ պարզեցումը, կրճատումը և հետագա կրճատումը մեկ լոգարիթմի՝ օգտագործելով լոգարիթմական թեորեմները: Լոգարիթմների ճիշտ արժեքները ստանալու համար պետք է հիշել դրանց հատկությունները և դրանց լուծման գործողությունների հերթականությունը։

Կանոններ և որոշ սահմանափակումներ

Մաթեմատիկայում կան մի քանի կանոն-սահմանափակումներ, որոնք ընդունված են որպես աքսիոմ, այսինքն՝ սակարկելի չեն և ճշմարիտ են։ Օրինակ, անհնար է թվերը բաժանել զրոյի, ինչպես նաև անհնար է բացասական թվերից զույգ արմատ վերցնել։ Լոգարիթմներն ունեն նաև իրենց կանոնները, որոնց հետևելով դուք հեշտությամբ կարող եք սովորել, թե ինչպես աշխատել նույնիսկ երկար և տարողունակ լոգարիթմական արտահայտությունների հետ՝

• «ա»-ի հիմքը միշտ պետք է լինի զրոյից մեծ և միևնույն ժամանակ հավասար չլինի 1-ի, հակառակ դեպքում արտահայտությունը կկորցնի իր նշանակությունը, քանի որ «1»-ը և «0»-ը ցանկացած աստիճանի միշտ են. հավասար է դրանց արժեքներին;
• եթե > 0, ապա b>0,պարզվում է, որ «c»-ն նույնպես պետք է մեծ լինի զրոյից։

Ինչպե՞ս լուծել լոգարիթմները:

Օրինակ, առաջադրանք տրված է գտնել 10 հավասարման պատասխանը^x=100. Դա շատ հեշտ է, պետք է ընտրել այդպիսի հզորություն՝ բարձրացնելով տասը թիվը, մենք. ստացիր 100: Սա, իհարկե, քառակուսի հզորություն: 10^2=100.

Այժմ եկեք այս արտահայտությունը ներկայացնենք որպես լոգարիթմական: Մենք ստանում ենք log_{10100=2: Լոգարիթմները լուծելիս բոլոր գործողությունները գործնականում համընկնում են գտնելու այն հզորությունը, որին պետք է մուտքագրվի լոգարիթմի հիմքը՝ տրված թիվ ստանալու համար:}

Անհայտ աստիճանի արժեքը ճշգրիտ որոշելու համար դուք պետք է սովորեք, թե ինչպես աշխատել աստիճանների աղյուսակի հետ: Կարծես հետևյալն է՝

Ինչպես տեսնում եք, որոշ ցուցիչներ կարելի է ինտուիտիվ կերպով գուշակել, եթե ունեք տեխնիկական մտածելակերպ և գիտելիք բազմապատկման աղյուսակի վերաբերյալ: Այնուամենայնիվ, ավելի մեծ արժեքների համար կպահանջվի էլեկտրական աղյուսակ: Այն կարող է օգտագործել նույնիսկ նրանք, ովքեր ընդհանրապես ոչինչ չեն հասկանում բարդ մաթեմատիկական թեմաներից։ Ձախ սյունակը պարունակում է թվեր (հիմք ա), թվերի վերին շարքը c հզորության արժեքն է, որին բարձրացվում է a թիվը։ Խաչմերուկում բջիջները սահմանում են այն թվերի արժեքները, որոնք պատասխան են (ac=b): Վերցնենք, օրինակ, 10 թվով հենց առաջին բջիջը և քառակուսի դարձնենք, ստանում ենք 100 արժեքը, որը նշված է մեր երկու բջիջների հատման կետում։ Ամեն ինչ այնքան պարզ և հեշտ է, որ նույնիսկ ամենաիսկական հումանիստը կհասկանա:

Հավասարումներ և անհավասարություններ

Պարզվում է, որ երբՈրոշակի պայմաններում ցուցիչը լոգարիթմն է։ Հետևաբար, ցանկացած մաթեմատիկական թվային արտահայտություն կարող է գրվել որպես լոգարիթմական հավասարում: Օրինակ՝ 3⁴=81-ը կարելի է գրել որպես 81-ի լոգարիթմ 3-ի հիմքում, որը չորս է (log₃81=4): Բացասական աստիճանների համար կանոնները նույնն են՝ 2^-5=1/32 գրված որպես լոգարիթմ, մենք ստանում ենք log_{2 (1/32):)=-5. Մաթեմատիկայի ամենահետաքրքիր բաժիններից մեկը «լոգարիթմների» թեման է։ Հավասարումների օրինակներն ու լուծումները կդիտարկենք մի փոքր ավելի ցածր՝ դրանց հատկություններն ուսումնասիրելուց անմիջապես հետո։ Առայժմ եկեք տեսնենք, թե ինչ տեսք ունեն անհավասարությունները և ինչպես դրանք տարբերել հավասարումներից:}

Տրված է հետևյալ արտահայտությունը՝ log_{2(x-1) > 3 - դա լոգարիթմական անհավասարություն է, քանի որ «x» անհայտ արժեքը գտնվում է նշանի տակ։ լոգարիթմ. Արտահայտությունը նաև համեմատում է երկու արժեք. ցանկալի թվի երկու հիմքի լոգարիթմը մեծ է երեք թվից։}

Լոգարիթմական հավասարումների և անհավասարությունների միջև ամենակարևոր տարբերությունն այն է, որ լոգարիթմներով հավասարումները (օրինակ՝ լոգարիթմ₂x=√9) _{ենթադրում են Պատասխանում մեկ կամ մի քանի կոնկրետ թվային արժեքներ, մինչդեռ անհավասարություն լուծելիս որոշվում են ինչպես ընդունելի արժեքների միջակայքը, այնպես էլ այս ֆունկցիայի ընդմիջման կետերը: Արդյունքում պատասխանը առանձին թվերի պարզ բազմություն չէ, ինչպես հավասարման պատասխանում, այլ շարունակական շարք կամ թվերի բազմություն։}

Հիմնական թեորեմներ լոգարիթմների վերաբերյալ

Լոգարիթմի արժեքները գտնելու պարզունակ առաջադրանքներ լուծելիս դուք կարող եք չգիտեք դրա հատկությունները: Այնուամենայնիվ, երբ խոսքը վերաբերում է լոգարիթմական հավասարումների կամ անհավասարություններին, առաջին հերթին անհրաժեշտ է հստակ հասկանալ և գործնականում կիրառել լոգարիթմների բոլոր հիմնական հատկությունները։ Հավասարումների օրինակներին կծանոթանանք ավելի ուշ, նախ ավելի մանրամասն վերլուծենք յուրաքանչյուր հատկություն։

1. Հիմնական ինքնությունն այսպիսի տեսք ունի. alogaB=B: Այն կիրառվում է միայն այն դեպքում, եթե a-ն մեծ է 0-ից, հավասար չէ մեկին, իսկ B-ն մեծ է զրոյից:
2. Արտադրանքի լոգարիթմը կարող է ներկայացվել հետևյալ բանաձևով. log_d(s₁s_2)=logd_s1 _{+ log}d_ս2: _{Այս դեպքում պարտադիր պայմանն է՝ d, s}1 _{և s}2 _{> 0; a≠1. Դուք կարող եք ապացուցել լոգարիթմների այս բանաձևը, օրինակներով և լուծումներով: Թույլ տվեք մուտքագրել}a_s1 _=f1 _{և մուտքագրել}a_s 2_=f2_{, ապա a}f1^=s1_{, a} f2^=s2: _{Մենք ստանում ենք այդ s}1_s2 _=af1^a f2^=af1+f2 ^{(աստիճանի հատկություններ), և հետագայում ըստ սահմանման՝ log}a_(s1 _s2_)=f1_{+ f}2_{=գրանցամատյան} a_{s1 + log}a_s2, _{որը պետք է ապացուցվեր:}
3. Քաղորդի լոգարիթմն ունի հետևյալ տեսքը՝ log_a(s_1/s₂)=գրանցամատյան _as₁- մուտք_աs_2.
4. Թեորեմը բանաձևի տեսքով ստանում է հետևյալ ձևը. log_a^qbⁿ =n/q log_aբ.

Այս բանաձևը կոչվում է «լոգարիթմի աստիճանի հատկություն»։ Այն նման է սովորական աստիճանների հատկություններին, և դա զարմանալի չէ, քանի որ ամբողջ մաթեմատիկան հիմնված է կանոնավոր պոստուլատների վրա: Եկեք նայենք ապացույցին։

Թույլ տվեք մուտքագրել_ab=t, մենք ստանում ենք a^t=b: Եթե երկու կողմերն էլ բարձրացնեք մինչև m հզորության՝ a^tn=b^;

բայց քանի որ a^tn=(a^q)^nt/q=b , հետևաբար գրանցամատյան_a^q bⁿ =(nt)/t, ապա մուտքագրեք_a^q bⁿ=n/q log_{ab. Թեորեմն ապացուցված է։}

Խնդիրների և անհավասարությունների օրինակներ

Լոգարիթմի խնդիրների ամենատարածված տեսակները հավասարումների և անհավասարությունների օրինակներն են: Դրանք հանդիպում են գրեթե բոլոր խնդրագրքերում, ներառված են նաև մաթեմատիկայի քննությունների պարտադիր մասում։ Համալսարան ընդունվելու կամ մաթեմատիկայի ընդունելության թեստեր հանձնելու համար հարկավոր է իմանալ, թե ինչպես ճիշտ լուծել նման խնդիրները։

Ցավոք, չկա լոգարիթմի անհայտ արժեքը լուծելու և որոշելու մեկ պլան կամ սխեմա, սակայն որոշակի կանոններ կարող են կիրառվել յուրաքանչյուր մաթեմատիկական անհավասարության կամ լոգարիթմական հավասարման համար: Առաջին հերթին, դուք պետք է պարզեք, թե արդյոք արտահայտությունը կարող է պարզեցվել կամ կրճատվել ընդհանուր ձևի: Դուք կարող եք պարզեցնել երկար լոգարիթմական արտահայտությունները, եթե ճիշտ օգտագործեք դրանց հատկությունները: Եկեք շուտով ճանաչենք նրանց։

Լոգարիթմական հավասարումներ լուծելիս,անհրաժեշտ է որոշել, թե ինչպիսի լոգարիթմ ունենք մեր առջև. արտահայտության օրինակը կարող է պարունակել բնական լոգարիթմ կամ տասնորդական:

Ահա տասնորդական լոգարիթմների օրինակներ՝ ln100, ln1026: Նրանց լուծումը հանգում է նրան, որ դուք պետք է որոշեք այն աստիճանը, որով հիմքը 10-ը հավասար կլինի համապատասխանաբար 100-ի և 1026-ի: Բնական լոգարիթմների լուծումների համար պետք է կիրառել լոգարիթմական նույնականացումներ կամ դրանց հատկությունները: Դիտարկենք տարբեր տեսակի լոգարիթմական խնդիրների լուծման օրինակներ։

Ինչպես օգտագործել լոգարիթմի բանաձևերը. օրինակներով և լուծումներով

Այսպիսով, եկեք նայենք լոգարիթմների մասին հիմնական թեորեմների օգտագործման օրինակներին:

1. Արդյունքի լոգարիթմի հատկությունը կարող է օգտագործվել այնպիսի առաջադրանքներում, որտեղ անհրաժեշտ է b թվի մեծ արժեքը տարրալուծել ավելի պարզ գործոնների: Օրինակ՝ log₂4 + log₂128=log₂(4128)=մատյան_{2512. Պատասխանը 9 է.}
2. log₄8=log_2² 2³ =3/2 log_{22=1, 5 - ինչպես տեսնում եք, կիրառելով լոգարիթմի աստիճանի չորրորդ հատկությունը, մեզ հաջողվեց լուծել առաջին հայացքից. բարդ և անլուծելի արտահայտություն. Ընդամենը պետք է գործադրել հիմքը և այնուհետև ուժը հանել լոգարիթմի նշանից:}

Առաջադրանքներ քննությունից

Լոգարիթմները հաճախ հանդիպում են ընդունելության քննություններին, հատկապես լոգարիթմական բազմաթիվ խնդիրներ Միասնական պետական քննության ժամանակ (պետական քննություն դպրոցների բոլոր շրջանավարտների համար): Սովորաբար այս առաջադրանքները առկա են ոչ միայն Ա մասում (առավելքննության հեշտ թեստային մասը), բայց նաև Գ մասում (ամենադժվար և ծավալուն առաջադրանքները): Քննությունը պահանջում է «Բնական լոգարիթմներ» թեմայի ճշգրիտ և կատարյալ իմացություն։

Օրինակներն ու խնդիրների լուծումները վերցված են քննության պաշտոնական տարբերակներից։ Տեսնենք, թե ինչպես են լուծվում նման խնդիրները։

Տրված է log₂(2x-1)=4. Լուծում.

վերագրեք արտահայտությունը՝ մի փոքր պարզեցնելով այն log_2(2x-1)=22^{, լոգարիթմի սահմանմամբ մենք ստանում ենք, որ 2x-1=2}4^{, հետևաբար 2x=17; x=8, 5.}

Հետևելով մի քանի ուղեցույցների, որոնց հետևելով դուք կարող եք հեշտությամբ լուծել լոգարիթմի նշանի տակ գտնվող արտահայտություններ պարունակող բոլոր հավասարումները:

• Ավելի լավ է բոլոր լոգարիթմները կրճատել նույն հիմքի վրա, որպեսզի լուծումը դժվար և շփոթեցնող չլինի:
• Լոգարիթմի նշանի տակ գտնվող բոլոր արտահայտությունները նշվում են որպես դրական, ուստի լոգարիթմի նշանի տակ գտնվող արտահայտության ցուցիչը և որպես հիմք բազմապատկելիս, լոգարիթմի տակ մնացած արտահայտությունը պետք է լինի դրական: