Ուղղության վեկտոր ուղղակի. սահմանում և օրինակներ

2024 Հեղինակ: Angel Austin | [email protected]. Վերջին փոփոխված: 2024-01-02 17:49

Կարևոր երկրաչափական առարկան, որը ուսումնասիրվում է հարթ տարածության մեջ, ուղիղ գիծ է: Եռաչափ տարածության մեջ, բացի ուղիղ գծից, կա նաև հարթություն։ Երկու օբյեկտներն էլ հարմար են սահմանվում՝ օգտագործելով ուղղության վեկտորները: Ի՞նչ է դա, ինչպե՞ս են այս վեկտորները օգտագործում ուղիղ գծի և հարթության հավասարումները որոշելու համար: Այս և այլ հարցեր ներկայացված են հոդվածում։

Ուղիղ գիծ և ինչպես սահմանել այն

Յուրաքանչյուր ուսանող լավ պատկերացնում է, թե ինչ երկրաչափական առարկայի մասին է խոսում: Մաթեմատիկայի տեսակետից ուղիղ գիծը այն կետերի ամբողջությունն է, որոնք իրենց կամայական զույգ միացման դեպքում հանգեցնում են զուգահեռ վեկտորների բազմության։ Գծի այս սահմանումը օգտագործվում է նրա համար երկու և երեք չափսերով հավասարում գրելու համար:

Դիտարկվող միաչափ օբյեկտը նկարագրելու համար օգտագործվում են տարբեր տեսակի հավասարումներ, որոնք թվարկված են ստորև բերված ցանկում՝

• ընդհանուր տեսք;
• պարամետրիկ;
• վեկտոր;
• կանոնական կամ սիմետրիկ;
• հատվածներում։

Այս տեսակներից յուրաքանչյուրն ունի որոշ առավելություններ մյուսների նկատմամբ: Օրինակ, հատվածներում հավասարումը հարմար է օգտագործել կոորդինատային առանցքների նկատմամբ ուղիղ գծի վարքագիծը ուսումնասիրելիս, ընդհանուր հավասարումը հարմար է տվյալ ուղիղ գծին ուղղահայաց ուղղություն գտնելիս, ինչպես նաև դրա անկյունը հաշվարկելիս: խաչմերուկ x առանցքի հետ (հարթ գործի համար):

Քանի որ այս հոդվածի թեման կապված է ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտորի հետ, մենք հետագայում կքննարկենք միայն այն հավասարումը, որտեղ այս վեկտորը հիմնարար է և պարունակում է բացահայտորեն, այսինքն՝ վեկտորային արտահայտություն:

Վեկտորի միջով ուղիղ գիծ նշել

Ենթադրենք, որ մենք ունենք որոշ վեկտոր v¯ հայտնի կոորդինատներով (a; b; c): Քանի որ կան երեք կոորդինատներ, վեկտորը տրված է տարածության մեջ: Ինչպե՞ս պատկերել այն ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում: Դա արվում է շատ պարզ՝ երեք առանցքներից յուրաքանչյուրի վրա գծագրված է հատված, որի երկարությունը հավասար է վեկտորի համապատասխան կոորդինատին։ Xy, yz և xz հարթություններին վերականգնված երեք ուղղանկյունների հատման կետը կլինի վեկտորի վերջը։ Դրա սկիզբը կետն է (0; 0; 0):

Այնուամենայնիվ, վեկտորի տրված դիրքը միակը չէ։ Նմանապես, կարելի է նկարել v¯՝ տեղադրելով դրա ծագումը տարածության կամայական կետում: Այս փաստարկները ասում են, որ անհնար է որոշակի գիծ սահմանել վեկտորի միջոցով: Այն սահմանում է անսահման թվով զուգահեռ ուղիղների ընտանիք:

Հիմաշտկել տարածության որոշակի կետ P(x₀; y₀; z_{0): Եվ պայման ենք դնում՝ Պ-ով պետք է ուղիղ գիծ անցնի։ Այս դեպքում, v¯ վեկտորը նույնպես պետք է պարունակի այս կետը: Վերջին փաստը նշանակում է, որ մեկ տող կարելի է սահմանել՝ օգտագործելով P և v¯: Այն կգրվի հետևյալ հավասարման ձևով՝}

Q=P + λ × v¯

Այստեղ Q-ն ուղիղին պատկանող ցանկացած կետ է: Այս կետը կարելի է ստանալ՝ ընտրելով համապատասխան պարամետր λ։ Գրավոր հավասարումը կոչվում է վեկտորային հավասարում, իսկ v¯ կոչվում է ուղիղ գծի ուղղության վեկտոր: Դասավորելով այն այնպես, որ այն անցնի P-ով և փոխելով երկարությունը λ պարամետրով, մենք ստանում ենք Q-ի յուրաքանչյուր կետ որպես ուղիղ գիծ։

Կորդինատային ձևով հավասարումը կգրվի հետևյալ կերպ.

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + λ × (a; b; c)}

Եվ բացահայտ (պարամետրիկ) ձևով կարող եք գրել՝

x=x_{0+ λ × a;}

y=y_{0+ λ × b;}

z=z_{0+ λ × c}

Եթե վերը նշված արտահայտություններում բացառենք երրորդ կոորդինատը, ապա կստանանք հարթության վրա ուղիղ գծի վեկտորային հավասարումները։

Ո՞ր առաջադրանքների համար է օգտակար իմանալ ուղղության վեկտորը:

Սրանք, որպես կանոն, առաջադրանքներ են՝ որոշելու ուղիղների զուգահեռությունը և ուղղահայացությունը։ Նաև ուղղությունը որոշող ուղիղ վեկտորն օգտագործվում է ուղիղ գծերի և կետի և ուղիղ գծի միջև հեռավորությունը հաշվարկելիս՝ հարթության նկատմամբ ուղիղ գծի վարքագիծը նկարագրելու համար:

Երկուուղիղները կլինեն զուգահեռ, եթե դրանց ուղղության վեկտորները լինեն: Համապատասխանաբար, ուղիղների ուղղահայացությունն ապացուցվում է՝ օգտագործելով դրանց վեկտորների ուղղահայացությունը: Այս տեսակի խնդիրներում պատասխանը ստանալու համար բավական է հաշվել դիտարկված վեկտորների սկալյար արտադրյալը։

Գծերի և կետերի միջև հեռավորությունները հաշվելու առաջադրանքների դեպքում ուղղության վեկտորը հստակորեն ներառված է համապատասխան բանաձևում։ Եկեք գրենք:

d=|[P₁P_{2¯ × v¯] | / |v¯|}

Այստեղ P₁P₂¯ - հիմնված է P₁ և P կետերի վրա ₂ ուղղված հատված: P₂ կետը կամայական է, ընկած է v¯ վեկտորով գծի վրա, մինչդեռ P_{1 կետն այն է, որին պետք է հեռավորությունը: որոշվի. Այն կարող է լինել կամ անկախ կամ պատկանել մեկ այլ գծի կամ հարթության:}

Նշեք, որ իմաստ ունի հաշվարկել ուղիղների միջև հեռավորությունը միայն այն դեպքում, երբ դրանք զուգահեռ են կամ հատվում են: Եթե հատվում են, ապա d-ն զրո է։

D-ի վերը նշված բանաձևը վավեր է նաև հարթության և դրան զուգահեռ ուղիղ գծի միջև հեռավորությունը հաշվարկելու համար, միայն այս դեպքում P_{1 պետք է պատկանի հարթությանը:}

Եկեք լուծենք մի քանի խնդիր, որպեսզի ավելի լավ ցույց տանք, թե ինչպես օգտագործել դիտարկվող վեկտորը:

Վեկտորային հավասարման խնդիր

Հայտնի է, որ ուղիղ գիծը նկարագրվում է հետևյալ հավասարմամբ՝

y=3 × x - 4

Դուք պետք է գրեք համապատասխան արտահայտությունըվեկտորի ձև։

Սա ուղիղ գծի բնորոշ հավասարումն է, որը հայտնի է յուրաքանչյուր դպրոցականին, գրված ընդհանուր ձևով։ Եկեք ցույց տանք, թե ինչպես կարելի է այն վերաշարադրել վեկտորի տեսքով:

Արտահայտությունը կարող է ներկայացվել որպես՝

(x; y)=(x; 3 × x - 4)

Երևում է, որ եթե այն բացես, կստանաս սկզբնական հավասարությունը։ Այժմ նրա աջ կողմը բաժանում ենք երկու վեկտորի այնպես, որ դրանցից միայն մեկը պարունակում է x, մենք ունենք՝

(x; y)=(x; 3 × x) + (0; -4)

Մնում է փակագծերից հանել x-ը, այն նշանակել հունարեն նշանով և փոխել աջ կողմի վեկտորները:

(x; y)=(0; -4) + λ × (1; 3)

Մենք ստացանք սկզբնական արտահայտության վեկտորային ձևը: Ուղիղ գծի ուղղության վեկտորի կոորդինատներն են (1; 3):

Գծերի հարաբերական դիրքը որոշելու առաջադրանք

Տրված է երկու տող բացատում՝

(x; y; z)=(1; 0; -2) + λ × (-1; 3; 1);

(x; y; z)=(3; 2; 2) + γ × (1; 2; 0)

Զուգահա՞լ են, հատվող, թե հատվող:

Ոչ զրոյական վեկտորները (-1; 3; 1) և (1; 2; 0) ուղեցույցներ կլինեն այս տողերի համար: Եկեք այս հավասարումները արտահայտենք պարամետրային ձևով և առաջինի կոորդինատները փոխարինենք երկրորդով: Մենք ստանում ենք՝

x=1 - λ;

y=3 × λ;

z=-2 + λ;

x=3 + γ=1 - λ=>γ=-2 - λ;

y=2 + 2 × γ=3 × λ=> γ=3 / 2 × λ - 1;

z=2=-2 + λ=> λ=4

Գտնված λ պարամետրը փոխարինեք վերը նշված երկու հավասարումների մեջ, կստանանք՝

գ=-2 - λ=-6;

γ=3 / 2 × λ - 1=5

γ պարամետրը չի կարող միաժամանակ երկու տարբեր արժեքներ ընդունել: Սա նշանակում է, որ գծերը չունեն մեկ ընդհանուր կետ, այսինքն՝ հատվում են։ Դրանք զուգահեռ չեն, քանի որ ոչ զրոյական վեկտորները միմյանց զուգահեռ չեն (դրանց զուգահեռության համար պետք է լինի մի թիվ, որը մեկ վեկտորի վրա բազմապատկելով կհանգեցնի երկրորդի կոորդինատներին):

Ինքնաթիռի մաթեմատիկական նկարագրություն

Տիեզերքում հարթություն դնելու համար տալիս ենք ընդհանուր հավասարում.

A × x + B × y + C × z + D=0

Այստեղ լատինատառ մեծատառերը ներկայացնում են կոնկրետ թվեր: Դրանցից առաջին երեքը սահմանում են հարթության նորմալ վեկտորի կոորդինատները։ Եթե այն նշվում է n¯-ով, ապա՝

n¯=(A; B; C)

Այս վեկտորը ուղղահայաց է հարթությանը, ուստի այն կոչվում է ուղեցույց: Նրա իմացությունը, ինչպես նաև հարթությանը պատկանող ցանկացած կետի հայտնի կոորդինատները եզակիորեն որոշում են վերջինս։

Եթե P(x₁; y₁; z_{1) պատկանում է հարթությունը, այնուհետև D հատումը հաշվարկվում է հետևյալ կերպ.}

D=-1 × (A × x₁+ B × y₁ + C × z₁₎

Եկեք լուծենք մի քանի խնդիր՝ օգտագործելով հարթության ընդհանուր հավասարումը:

Առաջադրանք համարգտնել հարթության նորմալ վեկտորը

Ինքնաթիռը սահմանվում է հետևյալ կերպ.

(y - 3) / 2 + (x + 1) / 3 - z / 4=1

Ինչպե՞ս գտնել նրա համար ուղղության վեկտորը:

Վերոնշյալ տեսությունից հետևում է, որ n¯ նորմալ վեկտորի կոորդինատները փոփոխականների դիմացի գործակիցներն են: Այս առումով n¯ գտնելու համար հավասարումը պետք է գրվի ընդհանուր տեսքով: Մենք ունենք՝

1 / 3 × x + 1 / 2 × y - 1 / 4 × z - 13 / 6=0

Այդ դեպքում հարթության նորմալ վեկտորը հետևյալն է.

n¯=(1/3; 1/2; -1/4)

հարթության հավասարումը կազմելու խնդիրը

Տրված են երեք կետերի կոորդինատները՝

M_{1(1; 0; 0);}

M_{2(2; -1; 5);}

M_{3(0; -2; -2)}

Ինչպիսի՞ն կլինի այս բոլոր կետերը պարունակող հարթության հավասարումը։

Երեք կետերի միջով, որոնք չեն պատկանում նույն գծին, կարելի է գծել միայն մեկ հարթություն: Նրա հավասարումը գտնելու համար նախ հաշվարկում ենք n¯ հարթության ուղղության վեկտորը: Դա անելու համար մենք գործում ենք հետևյալ կերպ՝ գտնում ենք ինքնաթիռին պատկանող կամայական երկու վեկտոր և հաշվարկում դրանց վեկտորային արտադրյալը։ Այն կտա վեկտոր, որն ուղղահայաց կլինի այս հարթությանը, այսինքն՝ n¯: Մենք ունենք՝

M₁M₂¯=(1; -1; 5); M₁M_{3¯=(-1; -2; -2);}

n¯=[M₁M₂¯ × M₁M 3_{¯]=(12; -3; -3)}

Վերցրեք M_{1 կետը նկարելու համարհարթության արտահայտություններ. Մենք ստանում ենք՝}

D=-1 × (12 × 1 + (-3) × 0 + (-3) × 0)=-12;

12 × x - 3 × y - 3 × z - 12=0=>

4 × x - y - z - 4=0

Մենք ստացել ենք ընդհանուր տիպի արտահայտություն տիեզերքում գտնվող հարթության համար՝ նախ դրա համար ուղղության վեկտոր սահմանելով:

Խաչ արտադրյալ հատկությունը պետք է հիշել հարթությունների հետ խնդիրներ լուծելիս, քանի որ այն թույլ է տալիս պարզ եղանակով որոշել նորմալ վեկտորի կոորդինատները: