Դպրոցական երկրաչափության դասընթացը բաժանված է երկու մեծ բաժնի՝ հարթաչափություն և պինդ երկրաչափություն։ Ստերեոմետրիան ուսումնասիրում է տարածական պատկերները և դրանց բնութագրերը: Այս հոդվածում մենք կդիտարկենք, թե ինչ է ուղիղ պրիզման և կտանք բանաձևեր, որոնք նկարագրում են դրա հատկությունները, ինչպիսիք են անկյունագծային երկարությունները, ծավալը և մակերեսի մակերեսը:
Ի՞նչ է պրիզմա?
Երբ դպրոցականներին խնդրում են անվանել պրիզմայի սահմանումը, նրանք պատասխանում են, որ այս պատկերը երկու նույնական զուգահեռ բազմանկյուններ են, որոնց կողմերը միացված են զուգահեռաչափերով: Այս սահմանումը հնարավորինս ընդհանուր է, քանի որ այն պայմաններ չի դնում բազմանկյունների ձևի, զուգահեռ հարթություններում նրանց փոխադարձ դասավորության վրա: Բացի այդ, այն ենթադրում է կապող զուգահեռագրերի առկայություն, որոնց դասը ներառում է նաև քառակուսի, ռոմբ և ուղղանկյուն։ Ստորև կարող եք տեսնել, թե ինչ է քառանկյուն պրիզմա։
Մենք տեսնում ենք, որ պրիզման n + 2-ից բաղկացած բազմանկյուն է (բազմանկյուն)կողմեր, 2 × n գագաթներ և 3 × n եզրեր, որտեղ n-ը բազմանկյուններից մեկի կողմերի (գագաթների) թիվն է։
Երկու բազմանկյուններն էլ սովորաբար կոչվում են նկարի հիմքեր, մյուս երեսները՝ պրիզմայի կողմերը։
Ուղիղ պրիզմայի հայեցակարգ
Գոյություն ունեն տարբեր տեսակի պրիզմաներ: Ուրեմն խոսում են կանոնավոր և անկանոն ֆիգուրների մասին, եռանկյունաձև, հնգանկյուն և այլ պրիզմաների մասին, կան ուռուցիկ և գոգավոր ֆիգուրներ, վերջապես՝ թեք ու ուղիղ։ Վերջինիս մասին ավելի մանրամասն խոսենք։
Ուղիղ պրիզմա ուսումնասիրված բազմանիստ դասի այնպիսի պատկեր է, որի բոլոր կողային քառանկյուններն ունեն ուղիղ անկյուններ։ Նման քառանկյունների միայն երկու տեսակ կա՝ ուղղանկյուն և քառակուսի։
Նկարի դիտարկվող ձևն ունի կարևոր հատկություն՝ ուղիղ պրիզմայի բարձրությունը հավասար է նրա կողային եզրի երկարությանը։ Նկատի ունեցեք, որ նկարի բոլոր կողային եզրերը հավասար են միմյանց: Ինչ վերաբերում է կողային երեսներին, ապա ընդհանուր դեպքում դրանք իրար հավասար չեն։ Դրանց հավասարությունը հնարավոր է, եթե, բացի պրիզմայի ուղիղ լինելուց, այն նաև ճիշտ կլինի։
Ստորև բերված նկարը ցույց է տալիս հնգանկյուն հիմքով ուղիղ պատկեր: Տեսանելի է, որ նրա բոլոր կողային երեսները ուղղանկյուն են։
Պրիզմայի անկյունագծերը և դրա գծային պարամետրերը
Ցանկացած պրիզմայի հիմնական գծային բնութագրերն են նրա բարձրությունը h և հիմքի կողմերի երկարությունները ai, որտեղ i=1, …, n: Եթե հիմքը կանոնավոր բազմանկյուն է, ապա դրա հատկությունները նկարագրելու համար բավական է իմանալ մի կողմի երկարությունը a: Նշված գծային պարամետրերի իմացությունը թույլ է տալիս միանշանակսահմանել գործչի այնպիսի հատկությունները, ինչպիսիք են նրա ծավալը կամ մակերեսը:
Ուղիղ պրիզմայի անկյունագծերը հատվածներ են, որոնք միացնում են ցանկացած երկու ոչ հարևան գագաթներ: Նման անկյունագծերը կարող են լինել երեք տեսակի՝
- պառկած բազային հարթություններում;
- գտնվում է կողային ուղղանկյունների հարթություններում;
- հատորին պատկանող թվեր։
Հիմքին առնչվող այդ անկյունագծերի երկարությունները պետք է որոշվեն՝ կախված n-անկյունի տեսակից:
Կողային ուղղանկյունների անկյունագծերը հաշվարկվում են հետևյալ բանաձևով.
d1i=√(ai2+ h2).
Ծավալի անկյունագծերը որոշելու համար անհրաժեշտ է իմանալ համապատասխան հիմքի անկյունագծի երկարության և բարձրության արժեքը: Եթե հիմքի որոշ անկյունագիծ նշվում է d0i տառով, ապա ծավալի անկյունագիծը d2i հաշվարկվում է հետևյալ կերպ.
d2i=√(d0i2+ h2).
Օրինակ, կանոնավոր քառանկյուն պրիզմայի դեպքում ծավալի շեղանկյունի երկարությունը կլինի՝
d2=√(2 × a2+ h2).
Նշեք, որ ուղղանկյուն եռանկյուն պրիզմա ունի միայն երեք անվանված տիպի անկյունագծերից մեկը՝ կողային անկյունագիծը:
Ձևերի ուսումնասիրված դասի մակերեսը
Մակերևույթի մակերեսը պատկերի բոլոր երեսների մակերեսների գումարն է: Բոլոր դեմքերը պատկերացնելու համար պետք է պրիզմայի սկանավորում կատարել: Որպես օրինակ, հնգանկյուն գործչի նման ավլումը ներկայացված է ստորև:
Մենք տեսնում ենք, որ հարթ պատկերների թիվը n + 2 է, իսկ n-ն ուղղանկյուններ են: Ամբողջ մաքրման տարածքը հաշվարկելու համար ավելացրեք երկու նույնական հիմքերի և բոլոր ուղղանկյունների տարածքները: Այնուհետև համապատասխան բանաձևը կունենա հետևյալ տեսքը՝
S=2 × So+ ժ × ∑i=1n (ai).
Այս հավասարությունը ցույց է տալիս, որ ուսումնասիրված տիպի պրիզմաների կողային մակերեսը հավասար է նկարի բարձրության և դրա հիմքի պարագծի արտադրյալին:
So-ի բազային տարածքը կարելի է հաշվարկել՝ կիրառելով համապատասխան երկրաչափական բանաձևը: Օրինակ, եթե ուղիղ պրիզմայի հիմքը ուղղանկյուն եռանկյուն է, ապա մենք ստանում ենք՝
So=a1 × a2 / 2.
Որտեղ a1 և a2 եռանկյան ոտքերն են:
Եթե հիմքը հավասար անկյուններով և կողմերով n-անկյուն է, ապա հետևյալ բանաձևը արդար կլինի.
So=n / 4 × ctg (pi / n) × a2.
Ծավալի բանաձև
Որևէ տեսակի պրիզմայի ծավալը որոշելը դժվար խնդիր չէ, եթե հայտնի են նրա բազային տարածքը So և բարձրությունը h: Այս արժեքները միասին բազմապատկելով՝ ստանում ենք նկարի V ծավալը, այսինքն՝
V=So × ժ.
Քանի որ ուղիղ պրիզմայի h պարամետրը հավասար է կողային եզրի երկարությանը, ծավալը հաշվարկելու ամբողջ խնդիրը հանգում է So տարածքի հաշվարկին: Մեզնից վերարդեն ասել են մի քանի բառ և տվել են մի քանի բանաձև՝ որոշելու So: Այստեղ մենք միայն նշում ենք, որ կամայական ձևի հիմքի դեպքում այն պետք է բաժանել պարզ հատվածների (եռանկյուններ, ուղղանկյուններ), հաշվարկել յուրաքանչյուրի մակերեսը և այնուհետև ավելացնել բոլոր տարածքները՝ ստանալու համար S: o.
