Լսելով մաթեմատիկայի ուսուցչին՝ աշակերտների մեծ մասը նյութն ընդունում է որպես աքսիոմ: Միևնույն ժամանակ, քչերն են փորձում հասնել հատակին և պարզել, թե ինչու է «պլյուսի» «մինուսը» տալիս «մինուս» նշան, իսկ երկու բացասական թվերը բազմապատկելիս՝ դրական:
Մաթեմատիկական օրենքներ
Մեծահասակների մեծ մասը չեն կարողանում բացատրել իրենց կամ իրենց երեխաներին, թե ինչու է դա տեղի ունենում: Նրանք դպրոցում մանրակրկիտ կլանել էին այս նյութը, բայց չէին էլ փորձել պարզել, թե որտեղից են նման կանոնները։ Բայց ապարդյուն։ Հաճախ ժամանակակից երեխաներն այնքան էլ դյուրահավատ չեն, նրանք պետք է հասնեն խնդրին և հասկանան, օրինակ, թե ինչու «պլյուս»-ը «մինուս»-ի վրա տալիս է «մինուս»: Եվ երբեմն թմբուկները դիտավորյալ խրթին հարցեր են տալիս, որպեսզի վայելեն այն պահը, երբ մեծերը չեն կարողանում հասկանալի պատասխան տալ: Եվ իսկապես աղետ է, եթե երիտասարդ ուսուցիչը խառնաշփոթի մեջ է ընկնում…
Ի դեպ, պետք է նշել, որ վերը նշված կանոնը գործում է և՛ բազմապատկման, և՛ բաժանման համար։ Բացասական և դրական թվի արտադրյալը միայն մինուս կտա: Եթե մենք խոսում ենք «-» նշանով երկու թվանշանի մասին, ապա արդյունքը կլինի դրական թիվ: Նույնը վերաբերում է բաժանմանը: ԵթեԹվերից մեկը բացասական է, ապա գործակիցը նույնպես կլինի «-» նշանով։
Մաթեմատիկական այս օրենքի ճիշտությունը բացատրելու համար անհրաժեշտ է ձեւակերպել օղակի աքսիոմները։ Բայց նախ պետք է հասկանալ, թե դա ինչ է: Մաթեմատիկայում ընդունված է օղակ անվանել մի շարք, որում ներգրավված են երկու տարրով երկու գործողություն։ Բայց ավելի լավ է դրանով զբաղվել օրինակով։
Մատանու աքսիոմ
Կան մի քանի մաթեմատիկական օրենքներ:
- Առաջինը փոխադրական է, ըստ նրա՝ C + V=V + C.
- Երկրորդը կոչվում է ասոցիատիվ (V + C) + D=V + (C + D):
Նրանք նաև ենթարկվում են բազմապատկմանը (V x C) x D=V x (C x D):
Ոչ ոք չի չեղարկել այն կանոնները, որոնցով բացվում են փակագծերը (V + C) x D=V x D + C x D, ճիշտ է նաև, որ C x (V + D)=C x V + C x D.
Բացի այդ, սահմանվել է, որ ռինգում կարելի է ներմուծել հատուկ տարր, որը չեզոք է գումարման առումով, որի միջոցով ճիշտ կլինի հետևյալը. C + 0=C: Բացի այդ, յուրաքանչյուր C-ի համար կա հակադիր տարր, որը կարելի է նշանակել որպես (-C): Այս դեպքում C + (-C)=0.
Բացասական թվերի աքսիոմների ստացում
Ընդունելով վերը նշված պնդումները՝ կարող ենք պատասխանել հարցին. «Պլյուս»-ը «մինուս»-ին ի՞նչ նշան է տալիս: Իմանալով բացասական թվերի բազմապատկման աքսիոմը՝ անհրաժեշտ է հաստատել, որ իսկապես (-C) x V=-(C x V): Եվ նաև, որ հետևյալ հավասարությունը ճիշտ է. (-(-C))=C.
Դա անելու համար մենք նախ պետք է ապացուցենք, որ տարրերից յուրաքանչյուրն ունի միայն մեկըհակառակ եղբայր. Նկատի առնենք հետևյալ ապացույցի օրինակը. Փորձենք պատկերացնել, որ երկու թվեր հակադիր են C - V-ի և D-ի համար: Այստեղից հետևում է, որ C + V=0 և C + D=0, այսինքն, C + V=0=C + D: Հիշելով տեղաշարժի օրենքները. իսկ 0 թվի հատկությունների մասին կարող ենք դիտարկել բոլոր երեք թվերի գումարը՝ C, V և D: Փորձենք պարզել V-ի արժեքը: Տրամաբանական է, որ V=V + 0=V + (C + D)=V + C + D, քանի որ C + D-ի արժեքը, ինչպես ընդունվեց վերևում, հավասար է 0-ի: Հետևաբար, V=V + C + D.
D-ի արժեքը ստացվում է ճիշտ նույն կերպ. D=V + C + D=(V + C) + D=0 + D=D: Դրա հիման վրա պարզ է դառնում, որ V=D.
Որպեսզի հասկանաք, թե ինչու է «մինուս»-ի «պլյուս»-ը տալիս «մինուս», դուք պետք է հասկանաք հետևյալը. Այսպիսով, (-C) տարրի համար հակադիր են C և (-(-C)), այսինքն՝ դրանք հավասար են միմյանց։
Այնուհետև ակնհայտ է, որ 0 x V=(C + (-C)) x V=C x V + (-C) x V: Հետևում է, որ C x V-ը հակառակ է (-)C x-ին: V, ուրեմն (-C) x V=-(C x V).
Լրիվ մաթեմատիկական խստության համար անհրաժեշտ է նաև հաստատել, որ 0 x V=0 ցանկացած տարրի համար: Եթե հետևում եք տրամաբանությանը, ապա 0 x V \u003d (0 + 0) x V \u003d 0 x V + 0 x V: Սա նշանակում է, որ 0 x V արտադրանքը ավելացնելով սահմանված գումարը որևէ կերպ չի փոխվում: Ի վերջո, այս արտադրյալը հավասար է զրոյի։
Իմանալով այս բոլոր աքսիոմները՝ դուք կարող եք ոչ միայն եզրակացնել, թե որքան է տալիս «գումարած»-ը «մինուս»-ով, այլև այն, ինչ տեղի է ունենում բացասական թվերը բազմապատկելիս:
Երկու թվերի բազմապատկում և բաժանում «-» նշանով
Եթե չես խորանում մաթեմատիկայումնրբերանգներ, կարող եք փորձել ավելի պարզ բացատրել բացասական թվերով գործողությունների կանոնները։
Ենթադրենք, որ C - (-V)=D, այնպես որ C=D + (-V), այսինքն, C=D - V: Փոխանցեք V և ստացեք C + V=D: Այսինքն, C + V=C - (-V): Այս օրինակը բացատրում է, թե ինչու մի արտահայտությունում, որտեղ անընդմեջ երկու «մինուս» կա, նշված նշանները պետք է փոխվեն «գումարած»-ի։ Հիմա եկեք զբաղվենք բազմապատկմամբ։
(-C) x (-V)=D, դուք կարող եք ավելացնել և հանել երկու նույնական արտադրյալ արտահայտությանը, որը չի փոխի դրա արժեքը. (-C) x (-V) + (C x V):) - (C x V)=D.
Հիշելով փակագծերի հետ աշխատելու կանոնները՝ մենք ստանում ենք՝
1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V=D;
2) (-C) x ((-V) + V) + C x V=D;
3) (-C) x 0 + C x V=D;
4) C x V=D.
Սրանից հետևում է, որ C x V=(-C) x (-V).
Նմանապես, մենք կարող ենք ապացուցել, որ երկու բացասական թվերի բաժանումը կհանգեցնի դրականի:
Մաթեմատիկական ընդհանուր կանոններ
Իհարկե, այս բացատրությունը հարմար չէ տարրական դասարանների աշակերտների համար, ովքեր նոր են սկսում սովորել վերացական բացասական թվեր։ Ավելի լավ է, որ նրանք բացատրեն տեսանելի առարկաների վրա՝ շահարկելով ծանոթ տերմինը ապակու միջոցով: Օրինակ՝ այնտեղ գտնվում են հորինված, բայց գոյություն չունեցող խաղալիքներ։ Նրանք կարող են ցուցադրվել «-» նշանով: Երկու ապակե առարկաների բազմապատկումը դրանք տեղափոխում է մեկ այլ աշխարհ, որը հավասարվում է ներկային, այսինքն՝ արդյունքում ունենում ենք դրական թվեր։ Բայց վերացական բացասական թվի բազմապատկումը դրական թվով տալիս է միայն բոլորին ծանոթ արդյունք։ Քանի որ «գումարած»«մինուս»-ով բազմապատկելը տալիս է «մինուս»: Ճիշտ է, տարրական դպրոցական տարիքում երեխաներն իրականում չեն փորձում խորանալ մաթեմատիկական բոլոր նրբությունների մեջ։
Չնայած, եթե դուք առերեսվում եք ճշմարտության հետ, շատերի համար, նույնիսկ բարձրագույն կրթությամբ, շատ կանոններ մնում են առեղծված: Յուրաքանչյուր ոք ինքն է ընդունում այն, ինչ իրենց սովորեցնում են ուսուցիչները, չկորցնելով խորամուխ լինել այն բոլոր բարդությունների մեջ, որոնցով հղի է մաթեմատիկան: «Մինուս»-ը «մինուս»-ի վրա տալիս է «գումարած»- այս մասին բոլորն առանց բացառության գիտեն: Սա ճիշտ է ինչպես ամբողջ թվերի, այնպես էլ կոտորակային թվերի համար։
