Շրջանակով մակագրված քառանկյուն: ABCD քառանկյունը մակագրված է շրջանագծի մեջ

2024 Հեղինակ: Angel Austin | [email protected]. Վերջին փոփոխված: 2024-01-02 17:49

Մաթեմատիկան հանրահաշվի և երկրաչափության բաժանելով ուսումնական նյութը դժվարանում է։ Հայտնվում են նոր թվեր և դրանց առանձնահատուկ դեպքեր։ Նյութը լավ հասկանալու համար անհրաժեշտ է ուսումնասիրել առարկաների հասկացությունները, հատկությունները և հարակից թեորեմները։

Ընդհանուր հասկացություններ

Քառանկյուն նշանակում է երկրաչափական պատկեր: Այն բաղկացած է 4 կետից։ Ընդ որում, դրանցից 3-ը նույն ուղիղ գծի վրա չեն գտնվում։ Կան նշված կետերը շարքով կապող հատվածներ։

Դպրոցական երկրաչափության դասընթացում ուսումնասիրված բոլոր քառանկյունները ներկայացված են հետևյալ գծապատկերում. Եզրակացություն. ներկայացված նկարից ցանկացած օբյեկտ ունի նախորդ նկարի հատկությունները:

Քառանկյունը կարող է լինել հետևյալ տեսակներից.

• Զուգահեռագիծ. Նրա հակադիր կողմերի զուգահեռականությունն ապացուցվում է համապատասխան թեորեմներով։
• Trapeze. Զուգահեռ հիմքերով քառանկյուն: Մյուս երկու կուսակցությունները չեն:
• Ուղղանկյուն. Գործիչ, որն ունի բոլոր 4 անկյունները=90º.
• Ռոմբուս. Բոլոր կողմերից հավասար գործիչ։
• Քառակուսի. Համատեղում է վերջին երկու թվերի հատկությունները: Նրա բոլոր կողմերը հավասար են, և բոլոր անկյունները ուղիղ են:

Այս թեմայի հիմնական սահմանումը շրջանագծի մեջ ներգծված քառանկյունն է: Այն բաղկացած է հետևյալից. Սա պատկեր է, որի շուրջ նկարագրված է շրջան: Այն պետք է անցնի բոլոր գագաթներով: Շրջանակով ներգծված քառանկյան ներքին անկյունների գումարը կազմում է 360º։

Ամեն քառանկյուն չէ, որ կարելի է մակագրել: Դա պայմանավորված է նրանով, որ 4 կողմերի ուղղահայաց կիսորդները կարող են չհատվել մի կետում։ Դա անհնարին կդարձնի 4 անկյունը շրջագծող շրջանագծի կենտրոնը գտնելը:

Հատուկ դեպքեր

Կան բացառություններ յուրաքանչյուր կանոնից: Այսպիսով, այս թեմայում կան նաև հատուկ դեպքեր՝

• Զուգահեռագիծը, որպես այդպիսին, չի կարող մակագրվել շրջանագծի մեջ: Միայն նրա հատուկ դեպքը։ Դա ուղղանկյուն է։
• Եթե ռոմբի բոլոր գագաթները գտնվում են շրջագծի գծի վրա, ապա այն քառակուսի է:
• Տրապիզոնի բոլոր գագաթները գտնվում են շրջանագծի սահմանի վրա: Այս դեպքում նրանք խոսում են հավասարաչափ պատկերի մասին։

Շրջանակում ներգծված քառանկյան հատկությունները

Տվյալ թեմայի վերաբերյալ պարզ և բարդ խնդիրներ լուծելուց առաջ անհրաժեշտ է ստուգել ձեր գիտելիքները: Առանց ուսումնական նյութի ուսումնասիրության անհնար է մեկ օրինակ լուծել։

Թեորեմ 1

Շրջանակով ներգծված քառանկյան հակառակ անկյունների գումարը 180º է։

Ապացույց

Տրված է. ABCD քառանկյունը մակագրված է շրջանագծի մեջ: Դրա կենտրոնը O կետն է: Մենք պետք է ապացուցենք, որ _<A + _<C=180º և _< B + _<D=180º.

Հարկավոր է հաշվի առնել ներկայացված թվերը:

1. _{<A գծագրված է շրջանագծի մեջ, որը կենտրոնացած է O կետում: Այն չափվում է ½ BCD (կես աղեղով):}
Նույն շրջանով գրված է
2. _{<C: Այն չափվում է ½ BAD-ով (կես աղեղով):}
3. BAD-ը և BCD-ն կազմում են մի ամբողջ շրջան, այսինքն՝ դրանց մեծությունը 360º է։
4. _<A + _{<C հավասար են ներկայացված կիսալարերի գումարի կեսին:}
5. Հետևաբար _<A + _{<C=360º / 2=180º.}

Նման ձևով՝ _<B և _{<D-ի ապացույցը: Այնուամենայնիվ, կա խնդրի երկրորդ լուծումը։}

1. Հայտնի է, որ քառանկյունի ներքին անկյունների գումարը 360º է։
2. Որովհետև _<A + _<C=180º: Համապատասխանաբար, _<B + _{<D=360º – 180º=180º.}

Թեորեմ 2

(Այն հաճախ կոչվում է հակադարձ) Եթե քառանկյունում _<A + _<C=180º և _{<B +} <_{D=180º (եթե դրանք հակառակ են), ապա կարող է շրջանագիծ նկարագրվել նման գործչի շուրջ:}

Ապացույց

Տրված է ABCD քառանկյան հակառակ անկյունների գումարը, որը հավասար է 180º-ի: _<A + _<C=180º, _<B +_{<D=180º: Մենք պետք է ապացուցենք, որ շրջանագիծը կարող է շրջագծվել ABCD-ի շուրջ:}

Երկրաչափության դասընթացից հայտնի է, որ քառանկյունի 3 կետերով կարելի է շրջանագիծ գծել։ Օրինակ, կարող եք օգտագործել A, B, C կետերը: Որտեղ է գտնվելու D կետը: Կա 3 ենթադրություն.

1. Նա հայտնվում է շրջանակի ներսում: Այս դեպքում D-ը չի դիպչում գծին:
2. Շրջանակից դուրս. Նա դուրս է գալիս ուրվագծված գծից:
3. Ստացվում է շրջանագծի վրա։

Պետք է ենթադրել, որ D-ը շրջանագծի ներսում է։ Նշված գագաթի տեղը զբաղեցնում է D´-ը: Ստացվում է քառանկյուն ABCD'։

Արդյունքը հետևյալն է._<B + _<D´=2օր.

Եթե մենք շարունակենք AD´-ն մինչև E կետի վրա կենտրոնացած գոյություն ունեցող շրջանագծի հետ խաչմերուկը և միացնենք E-ն ու C-ն, ապա կստանանք ներգծված քառանկյուն ABCE: Առաջին թեորեմից հետևում է հավասարությունը.

Ըստ երկրաչափության օրենքների՝ արտահայտությունը վավեր չէ, քանի որ _<D´-ը CD´E եռանկյան արտաքին անկյունն է: Համապատասխանաբար, այն պետք է լինի ավելի քան _{<E: Այստեղից կարող ենք եզրակացնել, որ D-ն պետք է լինի կամ շրջանագծի վրա, կամ դրանից դուրս:}

Նմանապես, երրորդ ենթադրությունը կարող է ապացուցվել, որ սխալ է, երբ D´´-ը դուրս է գալիս նկարագրված նկարի սահմանից:

Երկու վարկածից բխում է միակ ճիշտը. D vertex-ը գտնվում է շրջանագծի գծի վրա: Այլ կերպ ասած, D-ը համընկնում է E-ի հետ: Հետևում է, որ քառանկյան բոլոր կետերը գտնվում են նկարագրված գծի վրա:

Սրանցիցերկու թեորեմներ, հետևությունները հետևյալն են՝

Ցանկացած ուղղանկյուն կարելի է մակագրել շրջանագծի մեջ: Կա ևս մեկ հետևանք. Շրջանակը կարելի է շրջագծել ցանկացած ուղղանկյունի շուրջ։

Հավասար կոնքերով տրապեզոն կարելի է մակագրել շրջանագծով: Այլ կերպ ասած, այն հնչում է այսպես. հավասար եզրերով տրապիզոնի շուրջ շրջան կարելի է նկարագրել:

Մի քանի օրինակ

Խնդիր 1. ABCD քառանկյունը մակագրված է շրջանագծի մեջ: _<ABC=105º, _<CAD=35º: Պետք է գտնել _{<ABD: Պատասխանը պետք է գրվի աստիճաններով։}

Որոշում. Սկզբում գուցե դժվար թվա պատասխանը գտնելը։

1. Դուք պետք է հիշեք այս թեմայից հատկությունները: Այսինքն՝ հակադիր անկյունների գումարը=180º։

_<ADC=180º – _{<ABC=180º – 105º=75º}

Երկրաչափության մեջ ավելի լավ է հավատարիմ մնալ սկզբունքին՝ գտեք այն ամենը, ինչ կարող եք: Օգտակար ավելի ուշ:

2. Հաջորդ քայլը. օգտագործեք եռանկյունի գումարի թեորեմը:

_<ACD=180º – _<CAD – _{<<ADC=180º – 180º – 75º=70º}

Գրված են

_<ABD և _{<ACD: Պայմանով նրանք հենվում են մեկ աղեղի վրա։ Համապատասխանաբար, դրանք ունեն հավասար արժեքներ՝}

_<ABD=_<ACD=70º

Պատասխան՝ _<ABD=70º.

Խնդիր 2. BCDE-ն շրջանագծի մեջ ներգծված քառանկյուն է: _<B=69º, _<C=84º: Շրջանակի կենտրոնը E կետն է: Գտեք - _<E.

Որոշում.

1. Անհրաժեշտ է գտնել _{<E թեորեմ 1-ով։}

_<E=180º – _{<C=180º – 84º=96º}

Պատասխան՝ _{< E=96º.}

Խնդիր 3. Տրվում է շրջանագծի մեջ ներգծված քառանկյուն: Տվյալները ներկայացված են նկարում: Անհրաժեշտ է գտնել x, y, z անհայտ արժեքներ:

Լուծում՝

z=180º – 93º=87º (ըստ թեորեմ 1-ի)

x=½(58º + 106º)=82º

y=180º – 82º=98º (ըստ թեորեմ 1-ի)

Պատասխան՝ z=87º, x=82º, y=98º:

Խնդիր 4. Շրջանով գծագրված քառանկյուն կա: Արժեքները ներկայացված են նկարում: Գտեք x, y.

Լուծում՝

x=180º – 80º=100º

y=180º – 71º=109º

Պատասխան՝ x=100º, y=109º:

Խնդիրներ անկախ լուծման համար

Օրինակ 1. Տրվում է շրջան: Նրա կենտրոնը O կետն է: AC-ն և BD-ն տրամագծեր են: _<ACB=38º: Պետք է գտնել _{<AOD: Պատասխանը պետք է տրվի աստիճաններով:}

Օրինակ 2. Տրվում է ABCD քառանկյուն և նրա շուրջը շրջագծված շրջան: _<ABC=110º, _<ABD=70º: Գտեք _{<CAD: Գրեք ձեր պատասխանը աստիճաններով։}

Օրինակ 3. Տրվում է շրջանագիծ և ներգծված ABCD քառանկյուն: Նրա երկու անկյուններն են 82º և58º. Դուք պետք է գտնեք մնացած անկյուններից ամենամեծը և գրեք պատասխանը աստիճաններով:

Օրինակ 4. Տրված է քառանկյուն ABCD: A, B, C անկյունները տրված են 1:2:3 հարաբերությամբ: Անհրաժեշտ է գտնել D անկյունը, եթե նշված քառանկյունը կարելի է մակագրել շրջանագծի մեջ: Պատասխանը պետք է տրվի աստիճաններով:

Օրինակ 5. Տրված է քառանկյուն ABCD: Դրա կողմերը կազմում են շրջագծված շրջանագծի կամարներ: AB, BC, CD և AD աստիճանի արժեքներն են՝ համապատասխանաբար՝ 78˚, 107˚, 39˚, 136˚։ Տրված քառանկյունից պետք է գտնել _{< և պատասխանը գրել աստիճաններով։}