Մաթեմատիկական աստիճան հասկացությունը ներմուծվում է 7-րդ դասարանում՝ հանրահաշվի դասաժամին։ Եվ ապագայում, մաթեմատիկայի ուսումնասիրության ողջ ընթացքում, այս հասկացությունը ակտիվորեն օգտագործվում է իր տարբեր ձևերով: Դիպլոմները բավականին բարդ թեմա են, որը պահանջում է արժեքների անգիր և ճիշտ և արագ հաշվելու ունակություն: Մաթեմատիկայի աստիճանների հետ ավելի արագ և լավ աշխատանքի համար նրանք եկան աստիճանի հատկությունների: Դրանք օգնում են կրճատել մեծ հաշվարկները, հսկայական օրինակը որոշ չափով վերածել մեկ թվի։ Հատկություններն այնքան էլ շատ չեն, և դրանք բոլորը հեշտ է հիշել և կիրառել գործնականում: Հետևաբար, հոդվածում քննարկվում են աստիճանի հիմնական հատկությունները, ինչպես նաև որտեղ են դրանք կիրառվում:
աստիճանի հատկություններ
Մենք կդիտարկենք աստիճանների 12 հատկություն, ներառյալ նույն հիմքերով աստիճանների հատկությունները, և յուրաքանչյուր հատկության համար կտանք օրինակ: Այս հատկություններից յուրաքանչյուրը կօգնի ձեզ ավելի արագ լուծել աստիճանների հետ կապված խնդիրները, ինչպես նաև կփրկի ձեզ բազմաթիվ հաշվողական սխալներից:
1-ին սեփականություն.
a0=1
Շատերը հաճախ մոռանում են այս հատկության մասին, արեքսխալներ՝ զրոյի ուժով թիվը զրո ներկայացնելով:
2-րդ սեփականություն.
a1=a
3-րդ սեփականություն.
a aմ=a(n+m)
Պետք է հիշել, որ այս հատկությունը կարող է օգտագործվել միայն թվերը բազմապատկելիս, այն չի աշխատում գումարի հետ: Եվ մի մոռացեք, որ այս և հետևյալ հատկությունները վերաբերում են միայն նույն հիմքով հզորություններին։
4-րդ սեփականություն.
a/am=a(n-m)
Եթե հայտարարի թիվը հասցվում է բացասական աստիճանի, ապա հանելիս հայտարարի աստիճանը վերցվում է փակագծերում՝ հետագա հաշվարկներում նշանը ճիշտ փոխարինելու համար:
Հատկությունն աշխատում է միայն բաժանման, այլ ոչ հանման համար:
5-րդ սեփականություն.
(a)մ=a(nm)
6-րդ սեփականություն.
a-n=1/a
Այս հատկությունը կարող է կիրառվել նաև հակառակ ուղղությամբ: Միավորը, որը որոշ չափով բաժանվում է թվի, այդ թիվը բացասական է:
7-րդ սեփականություն.
(ab)m=aմ bմ
Այս հատկությունը չի կարող կիրառվել գումարի և տարբերության նկատմամբ: Գումարը կամ տարբերությունը մեծացնելու դեպքում օգտագործվում են կրճատված բազմապատկման բանաձևեր, այլ ոչ թե հզորության հատկությունները:
8-րդ սեփականություն.
(ա/բ)=a/b
9-րդ սեփականություն.
a½=√a
Այս հատկությունն աշխատում է մեկին հավասար համարիչ ունեցող ցանկացած կոտորակային հզորության համար,բանաձևը կլինի նույնը, միայն արմատի աստիճանը կփոխվի՝ կախված աստիճանի հայտարարից։
Նաև այս հատկությունը հաճախ օգտագործվում է հակառակ ուղղությամբ: Թվի ցանկացած հզորության արմատը կարող է ներկայացվել որպես այդ թիվ մեկի ուժի մեջ, որը բաժանվում է արմատի ուժի վրա: Այս հատկությունը շատ օգտակար է այն դեպքերում, երբ թվի արմատը չի հանվում:
10-րդ սեփականություն.
(√a)2=a
Այս հատկությունն աշխատում է ոչ միայն քառակուսի արմատներով և երկրորդ հզորություններով: Եթե արմատի աստիճանը և այս արմատի բարձրացման աստիճանը նույնն են, ապա պատասխանը կլինի արմատական արտահայտություն։
11-րդ սեփականություն.
√a=a
Դուք պետք է կարողանաք ժամանակին տեսնել այս հատկությունը լուծելիս, որպեսզի փրկվեք հսկայական հաշվարկներից:
12-րդ սեփականություն.
am/n=√aմ
Այս հատկություններից յուրաքանչյուրը կհանդիպի ձեզ ավելի քան մեկ անգամ առաջադրանքներում, այն կարող է տրվել իր մաքուր ձևով, կամ կարող է պահանջել որոշ փոխակերպումներ և այլ բանաձևերի օգտագործում: Ուստի ճիշտ լուծման համար բավարար չէ միայն հատկությունները իմանալը, անհրաժեշտ է պարապել և միացնել մաթեմատիկական մնացած գիտելիքները։
Օգտագործելով աստիճանները և դրանց հատկությունները
Ակտիվորեն օգտագործվում են հանրահաշվի և երկրաչափության մեջ։ Առանձին, կարևոր տեղ ունեն մաթեմատիկայի աստիճանները։ Նրանց օգնությամբ լուծվում են էքսպոնենցիալ հավասարումներ և անհավասարություններ, ինչպես նաև հզորությունները հաճախ բարդացնում են մաթեմատիկայի այլ բաժինների հետ կապված հավասարումները և օրինակները։ Ցուցանիշները օգնում են խուսափել մեծ և երկար հաշվարկներից, ավելի հեշտ է կրճատել և հաշվարկել ցուցիչները։ Բայց համարաշխատելով մեծ հզորությունների կամ մեծ թվերի հզորությունների հետ, դուք պետք է իմանաք ոչ միայն աստիճանի հատկությունները, այլև գրագետ աշխատեք հիմքերի հետ, կարողանաք դրանք քայքայել, որպեսզի հեշտացնեք ձեր խնդիրը: Հարմարության համար դուք պետք է իմանաք նաև հզորության բարձրացված թվերի նշանակությունը: Սա կնվազեցնի ձեր ժամանակը լուծելու համար՝ վերացնելով երկար հաշվարկների անհրաժեշտությունը:
Աստիճանի հասկացությունը հատուկ դեր է խաղում լոգարիթմներում: Քանի որ լոգարիթմը, ըստ էության, թվի ուժն է։
Նվազեցված բազմապատկման բանաձևերը հզորությունների օգտագործման ևս մեկ օրինակ են: Նրանք չեն կարող օգտագործել աստիճանների հատկությունները, դրանք քայքայվում են հատուկ կանոնների համաձայն, բայց յուրաքանչյուր կրճատված բազմապատկման բանաձևում անփոփոխ աստիճաններ կան։
Դիպլոմներն ակտիվորեն կիրառվում են նաև ֆիզիկայում և համակարգչային գիտության մեջ: SI համակարգում բոլոր թարգմանությունները կատարվում են աստիճանների կիրառմամբ, իսկ ապագայում խնդիրներ լուծելիս կիրառվում են աստիճանի հատկությունները։ Համակարգչային գիտության մեջ ակտիվորեն օգտագործվում են երկուսի ուժերը՝ թվերի ընկալումը հաշվելու և պարզեցնելու համար։ Չափման միավորների փոխակերպման կամ խնդիրների հաշվարկների վերաբերյալ հետագա հաշվարկները, ինչպես ֆիզիկայում, տեղի են ունենում աստիճանի հատկությունների կիրառմամբ:
Աստիճանները շատ օգտակար են նաև աստղագիտության մեջ, որտեղ հազվադեպ եք տեսնում աստիճանի հատկությունների օգտագործում, բայց աստիճաններն իրենք ակտիվորեն օգտագործվում են տարբեր քանակությունների և հեռավորությունների գրանցումը կրճատելու համար:
Աստիճաններն օգտագործվում են նաև առօրյա կյանքում՝ մակերեսները, ծավալները, հեռավորությունները հաշվելիս։
Գիտության ցանկացած բնագավառում աստիճանների օգնությամբ գրվում են շատ մեծ և շատ փոքր քանակություններ։
Էքսպոնենցիալ հավասարումներ և անհավասարումներ
Աստիճանի հատկությունները հատուկ տեղ են գրավում հենց էքսպոնենցիալ հավասարումների և անհավասարումների մեջ։ Այս առաջադրանքները շատ տարածված են ինչպես դպրոցական կուրսում, այնպես էլ քննությունների ժամանակ։ Դրանք բոլորը լուծվում են աստիճանի հատկությունների կիրառմամբ։ Անհայտը միշտ ինքնին աստիճանի մեջ է, հետևաբար, իմանալով բոլոր հատկությունները, դժվար չի լինի լուծել նման հավասարումը կամ անհավասարությունը։
