Հանրահաշվի ութերորդ դասարանի դասընթացում մեծ ուշադրություն է դարձվում երկրորդ աստիճանի բազմանդամի ուսումնասիրությանը։ Եթե այս նյութը վատ է յուրացվում ուսանողի կողմից, ապա խնդիրներն անխուսափելի են OGE-ի և միասնական պետական քննության քննություններին, ինչպես պրոֆիլային մակարդակում, այնպես էլ բազային: Քառակուսի ֆունկցիաների հետ կապված պարտադիր հմտությունները ներառում են գրաֆիկներ գծել և վերլուծել, հավասարումներ լուծել։
Քառակուսի եռանկյունի ֆակտորիզացիան դպրոցական ստանդարտ խնդիրներից է: Այն օժանդակ է անհավասարությունը ինտերվալային մեթոդով լուծելիս։
Հավասարման արմատների որոնում
Առաջին բանը բազմանդամը ֆակտորիզացնելու համար նրա արմատները գտնելն է։
Արմատները թվեր են, որոնք բազմանդամի միանդամների գումարը վերածում են զրո, որը գրաֆիկորեն նման է հորիզոնական առանցքի հետ հատման: Դրանք որոշվում են՝ օգտագործելով դիսկրիմինանտը կամ Վիետայի թեորեմը:
Աքսի եռանդամի տարբերակիչը2 + bx + c հաշվարկվում է բանաձևով. D=b2m- 4ac.
Այն դեպքում, երբ խտրականությունը բացասական չէ,դրա միջոցով արտահայտվում են արմատները և բազմանդամ գործակիցները՝
x1 =1/2 (-b + √D); x2 =1/2(-b - √D)
Եթե տարբերակիչը զրո է, ապա x1և x2 նույնն են:
Որոշ եռանդամներ լուծելու համար հարմար է օգտագործել Վիետայի թեորեմը.
x1 + x2 =-b: a; x1 × x2=c: a
Թեորեմը կիրառելու համար պահանջվում է որոշակի քանակությամբ մաթեմատիկական ինտուիցիա: Եզրակացությունն այն է, որ իմանալով երկու անհայտների գումարը և արտադրյալը, վերցրեք այս թվերը: Եթե դրանք գոյություն ունեն, ապա դրանք եզակիորեն հայտնաբերված են (մինչև փոխակերպում):
Դուք կարող եք ստուգել թեորեմի վավերականությունը՝ ընդհանուր թվերով հաշվարկելով արմատների գումարը և արտադրյալը։ x1 և x2 -ի բանաձևերը նույնպես ստուգվում են ուղղակի փոխարինմամբ:
Ֆակտորինգի կանոն
Խնդիրը կարելի է լուծել իրական թվերով, եթե բազմանդամն ունի արմատներ։ Տարրալուծումը որոշվում է բանաձևով՝
ax2 + bx + c=a(x - x1)(x - x2)
Օրինակներ
Խնդիր. գտե՛ք քառակուսի եռանկյունների գործոնացումը։
ա) x2 - 6x + 5
Լուծում՝ գրի՛ր եռանդամի գործակիցները՝
ա=1; b=-6; c=5.
Օգտագործելով Վիետայի թեորեմը՝
x1 + x2 =6;
x1 × x2=5.
Երևում է, որ x1 =1, x2 =5.
Եթե, ըստ թեորեմի գրավոր հավասարումների,հնարավոր է արագ գտնել արմատները, պետք է անմիջապես անցնել դիսկրիմինանտի հաշվարկին։
Արմատները գտնելուց հետո անհրաժեշտ է դրանք փոխարինել ընդարձակման բանաձևով՝
x2 - 6x + 5=(x - 1)(x - 5)
Այս ձևով գրանցված արդյունքը կարելի է համարել վերջնական։
բ) 2x2 + x - 1
Լուծում՝
a=2, b=1, c=-1.
Եթե առաջատար գործակիցը տարբերվում է 1-ից, Վիետայի թեորեմի կիրառումը սովորաբար ավելի շատ ժամանակ է պահանջում, քան դիսկրիմինանտի միջոցով լուծելը, ուստի եկեք անցնենք դրա հաշվարկին:
D=1 - 4 × 2 × (-1)=9.
x1=1/2; x2=-1.
Բանաձևը հետևյալն է.
2x2 + x - 1=2(x - 1/2)(x + 1).
գ)x2 - 8x + 16
Լուծում՝
ա=1; b=-8; c=16.
D=0.
Քանի որ դիսկրիմինատորը զրո է, ունենք արմատների համընկնման դեպք.
x1 =x2 =4.
Այս իրավիճակը, սակայն, սկզբունքորեն չի տարբերվում նախկինում դիտարկվածներից:
x2 - 8x + 16=1(x - 4)(x - 4)
Արդյունքը հաճախ գրվում է այսպես. (x - 4)2.
դ)x2 - 7x + 1
Լուծում՝
ա=1; b=-7; c=1.
D=45.
Այս օրինակը տարբերվում է նախորդներից նրանով, որ ռացիոնալ արմատ չի կարող հանվել դիսկրիմինանտից: Սա նշանակում է, որ բազմանդամի արմատները իռացիոնալ են։
x1 =-1/2 (7 + √45); x2 =-1/2(7 - √45).
Կամ համարժեք՝
x1=-3, 5 - 1/2√45; x2 =-3, 5 + 1/2√45.
Վերջին տարբերակն ավելի հարմար է օգտագործել գրելու ընդլայնման համար: Բաց թողնելով ավագ գործակիցը, որն այստեղ հավասար է 1-ի, ստանում ենք՝
x2- 7x + 1=(x + 3,5 + 1/2√45)(x + 3,5 - 1/2√45)
Այն դեպքում, երբ խտրականը բացասական է, դպրոցական ծրագրի շրջանակներում բավարար է հետևյալ պատասխանը. Նման եռանդամները կոչվում են նաև անկրճատելի։ Կարևոր է հասկանալ, որ խոսքը միայն իրական արմատների առկայության կամ բացակայության մասին է։
Եթե դիտարկենք կոմպլեքս թվերի դաշտը, քառակուսի եռանկյունի գործոնավորումը հնարավոր է ցանկացած տարբերակիչով:
Տիպիկ սխալներ
1) Բազմանդամն ուսումնասիրելու հենց սկզբում շատերը սխալ են գրում գործակիցները, օրինակ՝ ուշադրություն են դարձնում նշագրության միանունների հերթականությանը։
։
Այսպիսով, 101 հավասարման մեջ առաջատար գործոնը 79x + 38x2ն է 38, ոչ թե 101, ինչպես կարող եք մտածել:
Հավասարման գործակիցների հետ կապված մեկ այլ սխալ այսպես կոչված «նշանի կորուստն» է։ Նույն օրինակում գործակիցը b=-79, ոչ թե 79:
2) Սովորելով օգտագործել Վիետայի թեորեմը այն դեպքի համար, երբ a=1, դպրոցականները երբեմն մոռանում են դրա ամբողջական ձևակերպման մասին: Առաջին պարբերության բազմանդամում սխալ է ենթադրել, որ արմատների գումարը 79 է, քանի որ առաջին գործակիցը տարբերվում է 1-ից։
3) Հաշվողական սխալներն ուսանողների համար ամենատարածված խնդիրն են: Շատ դեպքերում ստուգումն օգնում է խուսափել դրանցից:փոխարինում։
Երրորդ և ավելի բարձր աստիճանի բազմանդամներ
Ավելի բարձր աստիճանի բազմանդամները հազվադեպ են դիտարկվում դպրոցում, քանի որ երրորդ և ավելի բարձր աստիճանի բազմանդամների արմատներ գտնելու խնդիրը դժվար է: Գոյություն ունեն հաշվողական բարձր բարդության ալգորիթմներ երրորդ և չորրորդ աստիճանի բազմանդամի ընդլայնման համար։ Հինգերորդ և ավելի բարձր աստիճանի համար ապացուցված է ընդհանուր ձևով ռադիկալներով հավասարման անլուծելիության թեորեմ:
Այս բազմանդամների հատուկ դեպքերը, որոնք կարելի է դիտարկել ավագ դպրոցում, բնութագրվում են ռացիոնալ հեշտությամբ ընտրվող արմատների առկայությամբ։ Վերջիններիս թիվը չի կարող գերազանցել բազմանդամի աստիճանը։ Բարդ հարթության հետ աշխատելիս դրանց թիվը ճիշտ նույնն է, ինչ ամենաբարձր աստիճանը։
Կենտ աստիճանի բազմանդամները միշտ ունեն առնվազն մեկ իրական արմատ: Սա հեշտ է ցույց տալ գրաֆիկորեն. նման բազմանդամով տրված շարունակական ֆունկցիան ունի և՛ դրական, և՛ բացասական արժեքներ, ինչը նշանակում է, որ այն անցնում է 0-ի միջով:
Երկու բազմանդամների բոլոր արմատները համընկնում են, եթե և միայն այն դեպքում, եթե դրանց գործակիցները համաչափ են։
Ընդհանուր առմամբ, արմատներ գտնելու խնդիրը և տարրալուծման կառուցման խնդիրը կարելի է համարել համարժեք:
