Մաթեմատիկայում թվերի տարբեր տեսակներ ուսումնասիրվել են դրանց սկզբից: Կան մեծ թվով բազմություններ և թվերի ենթաբազմություններ: Դրանցից են ամբողջ թվերը՝ ռացիոնալ, իռացիոնալ, բնական, զույգ, կենտ, բարդ և կոտորակային։ Այսօր մենք կվերլուծենք տեղեկությունները վերջին բազմության՝ կոտորակային թվերի մասին։
Կոտորակների սահմանում
Կոտորակները այն թվերն են, որոնք կազմված են ամբողջ թվից և մեկի կոտորակներից: Ինչպես ամբողջ թվերը, այնպես էլ երկու ամբողջ թվերի միջև կան անսահման թվով կոտորակային թվեր: Մաթեմատիկայում կոտորակների հետ գործողություններ են կատարվում, ինչպես ամբողջ թվերով և բնական թվերով։ Դա բավականին պարզ է և կարելի է սովորել մի քանի դասի ընթացքում:
Հոդվածում ներկայացված են կոտորակների երկու տեսակ՝ սովորական և տասնորդական։
Սովորական կոտորակներ
Սովորական կոտորակները բ/գ կոտորակային տողով գրված a ամբողջ թվերն են և երկու թվերը։ Ընդհանուր կոտորակները կարող են չափազանց հարմար լինել, եթե կոտորակային մասը չի կարող ներկայացված լինել ռացիոնալ տասնորդական ձևով: Բացի այդ, թվաբանությունավելի հարմար է գործողություններ կատարել կոտորակային գծի միջոցով: Վերին մասը կոչվում է համարիչ, ստորին մասը՝ հայտարար։
Գործողություններ սովորական կոտորակների հետ. օրինակներ
Կոտորակի հիմնական հատկությունը. Համարը և հայտարարը միևնույն թվով, որը զրո չէ, բազմապատկելիս ստացվում է տրվածին հավասար թիվ։ Կոտորակի այս հատկությունն օգնում է գումարման համար բերել հայտարար (սա կքննարկվի ստորև) կամ կրճատել կոտորակը, ինչը ավելի հարմար է դարձնում այն հաշվելու համար: a/b=ac/bc. Օրինակ՝ 36/24=6/4 կամ 9/13=18/26
Նվազեցնում է ընդհանուր հայտարարի. Կոտորակի հայտարարը բերելու համար անհրաժեշտ է հայտարարը ներկայացնել գործակիցների տեսքով, այնուհետև բազմապատկել բաց թողնված թվերով։ Օրինակ, 7/15 և 12/30; 7/53 և 12/532: Մենք տեսնում ենք, որ հայտարարները տարբերվում են երկուսով, ուստի առաջին կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բազմապատկվում է 2-ով։ Ստանում ենք՝ 14/30 և 12/30։
Բաղադրյալ կոտորակները սովորական կոտորակներ են՝ ընդգծված ամբողջ մասով։ (A b/c) Բաղադրյալ կոտորակը որպես ընդհանուր կոտորակ ներկայացնելու համար անհրաժեշտ է կոտորակի դիմացի թիվը բազմապատկել հայտարարով, այնուհետև ավելացնել համարիչին՝ (Ac + b)/c.:
Թվաբանական գործողություններ կոտորակներով
Ավելորդ չի լինի հաշվի առնել հայտնի թվաբանական գործողությունները միայն կոտորակային թվերի հետ աշխատելիս։
Ավելացում և հանում. Կոտորակներ գումարելը և հանելը նույնքան հեշտ է, որքան ամբողջ թվերը, բացառությամբ մեկ դժվարության՝ կոտորակային գծի առկայության: Նույն հայտարարով կոտորակներ գումարելիս անհրաժեշտ է գումարել միայն երկու կոտորակների համարիչները, հայտարարները մնում են առանց.փոփոխությունները։ Օրինակ՝ 5/7 + 1/7=(5+1)/7=6/7
Եթե երկու կոտորակների հայտարարները տարբեր թվեր են, նախ պետք է դրանք հասցնել ընդհանուրի (ինչպես դա անել, վերը քննարկվեց): 1/8 + 3/2=1/222 + 3/2=1/8 + 34/24=1/8 + 12/8=13/8: Հանացումն իրականացվում է ճիշտ նույն սկզբունքով. 8/9 - 2/3=8/9 - 6/9=2/9:
Բազմապատկում և բաժանում. Բազմապատկմամբ կոտորակների հետ գործողությունները կատարվում են հետևյալ սկզբունքով` համարիչները և հայտարարները բազմապատկվում են առանձին: Ընդհանուր առմամբ, բազմապատկման բանաձևն ունի հետևյալ տեսքը՝ a/b c/d=ac/bd: Բացի այդ, բազմապատկելիս դուք կարող եք կրճատել կոտորակը` վերացնելով նույն գործոնները համարիչից և հայտարարից: Մեկ այլ լեզվում համարիչն ու հայտարարը բաժանվում են նույն թվի վրա՝ 4/16=4/44=1/4։
Մի սովորական կոտորակը մյուսի վրա բաժանելու համար անհրաժեշտ է փոխել բաժանարարի համարիչն ու հայտարարը և կատարել երկու կոտորակի բազմապատկում՝ ավելի վաղ քննարկված սկզբունքով՝ 5/11: 25/11=5/11:11/25=511 /1125=1/5
տասնորդականներ
Տասնորդականները կոտորակային թվերի առավել տարածված և հաճախ օգտագործվող տարբերակն են: Դրանք ավելի հեշտ է գրել տողով կամ ներկայացնել համակարգչով: Տասնորդական կոտորակի կառուցվածքը հետևյալն է՝ սկզբում գրվում է ամբողջ թիվը, իսկ հետո տասնորդական կետից հետո՝ կոտորակային մասը։ Իրենց հիմքում տասնորդական կոտորակները բաղադրյալ կոտորակներ են, սակայն դրանց կոտորակային մասը ներկայացված է թվով, որը բաժանված է 10-ի բազմապատիկի վրա: Այստեղից էլ նրանց անվանումը: Տասնորդական կոտորակներով գործողությունները նման են ամբողջ թվերով գործողություններին, քանի որ դրանք նույնպեսգրված տասնորդական նշումով. Բացի այդ, ի տարբերություն սովորական կոտորակների, տասնորդականները կարող են իռացիոնալ լինել: Սա նշանակում է, որ դրանք կարող են անսահման լինել։ Դրանք գրված են 7, (3): Կարդացվում է հետևյալ գրառումը՝ յոթ ամբողջ, երեք տասներորդ՝ ժամանակաշրջանում։
Հիմնական գործողություններ տասնորդական թվերով
Տասնորդական կոտորակների գումարում և հանում. Կոտորակների հետ գործողություններ կատարելն ավելի դժվար չէ, քան ամբողջ բնական թվերով։ Կանոնները ճիշտ նույնն են, ինչ օգտագործվում են բնական թվեր գումարելիս կամ հանելիս։ Նույն կերպ դրանք նույնպես կարելի է սյունակ համարել, բայց անհրաժեշտության դեպքում բաց թողնված տեղերը փոխարինել զրոներով։ Օրինակ՝ 5, 5697 - 1, 12: Սյունակի հանում կատարելու համար հարկավոր է տասնորդական կետից հետո հավասարեցնել թվերի թիվը՝ (5, 5697 - 1, 1200): Այսպիսով, թվային արժեքը չի փոխվի և հնարավոր կլինի հաշվել սյունակում։
Տասնորդական կոտորակներով գործողություններ չեն կարող կատարվել, եթե դրանցից մեկն ունի իռացիոնալ ձև: Դա անելու համար անհրաժեշտ է երկու թվերը վերածել սովորական կոտորակների, այնուհետև օգտագործել ավելի վաղ նկարագրված հնարքները։
Բազմապատկում և բաժանում. Տասնորդական թվերի բազմապատկումը նման է բնական թվերի բազմապատկմանը: Նրանք կարող են նաև բազմապատկվել սյունակով՝ պարզապես անտեսելով ստորակետը, այնուհետև վերջնական արժեքով բաժանել ստորակետով նույն թվով թվանշաններ, որքան տասնորդական կետից հետո գումարը երկու տասնորդական կոտորակի մեջ: Օրինակ՝ 1, 52, 23=3, 345։ Ամեն ինչ շատ պարզ է և չպետք է դժվարություններ առաջացնի, եթե արդեն տիրապետել եք բնական թվերի բազմապատկմանը։
Բաժանումը նույնպես համընկնում է բնականի բաժանման հետթվեր, բայց մի փոքր շեղումով։ Սյունակի տասնորդական թվի վրա բաժանելու համար պետք է հրաժարվել բաժանարարի ստորակետը և բաժանարարի տասնորդական կետից հետո բաժնետոմսերը բազմապատկել թվանշանների թվով: Այնուհետև կատարե՛ք բաժանում, ինչպես բնական թվերով։ Անավարտ բաժանման դեպքում դուք կարող եք զրոներ ավելացնել աջ կողմում գտնվող շահաբաժինին, ինչպես նաև ավելացնել զրո տասնորդական կետից հետո:
Տասնորդական կոտորակներով գործողությունների օրինակներ։ Տասնորդական թվերը շատ հարմար գործիք են թվաբանական հաշվելու համար: Նրանք համատեղում են բնական, ամբողջական թվերի հարմարավետությունը և ընդհանուր կոտորակների ճշգրտությունը: Բացի այդ, մի կոտորակը մյուսին փոխարկելը բավականին պարզ է: Կոտորակների հետ գործողությունները ոչնչով չեն տարբերվում բնական թվերով գործողություններից։
- Ավելացում՝ 1, 5 + 2, 7=4, 2
- հանում. 3, 1 - 1, 6=1, 5
- Բազմապատկում՝ 1, 72, 3=3, 91
- Բաժանում՝ 3, 6: 0, 6=6
Նաև տասնորդականները հարմար են տոկոսները ներկայացնելու համար: Այսպիսով, 100%=1; 60%=0.6; և հակառակը՝ 0,659=65,9%.
Սա այն ամենն է, ինչ պետք է իմանալ կոտորակների մասին: Հոդվածում դիտարկվել են երկու տեսակի կոտորակներ՝ սովորական և տասնորդական։ Երկուսն էլ բավականին հեշտ են հաշվարկվում, և եթե դուք լիովին տիրապետում եք բնական թվերին և դրանցով կատարվող գործողություններին, կարող եք ապահով կերպով սկսել կոտորակային թվեր սովորել:
