Շատ մարդկանց համար մաթեմատիկական վերլուծությունը պարզապես անհասկանալի թվերի, պատկերակների և սահմանումների մի շարք է, որոնք հեռու են իրական կյանքից: Այնուամենայնիվ, աշխարհը, որտեղ մենք գոյություն ունենք, կառուցված է թվային օրինաչափությունների վրա, որոնց նույնականացումը օգնում է ոչ միայն ծանոթանալ մեզ շրջապատող աշխարհին և լուծել նրա բարդ խնդիրները, այլև պարզեցնել առօրյա գործնական առաջադրանքները: Ի՞նչ նկատի ունի մաթեմատիկոսը, երբ ասում է, որ թվերի հաջորդականությունը համընկնում է: Սա պետք է ավելի մանրամասն քննարկվի:
Ի՞նչ է անսահման փոքրը:
Եկեք պատկերացնենք մատրյոշկա տիկնիկները, որոնք տեղավորվում են մեկը մյուսի մեջ: Դրանց չափերը, թվերի տեսքով գրված, ամենամեծից սկսած և ամենափոքրով վերջացրած, կազմում են հաջորդականություն։ Եթե պատկերացնեք անսահման թվով նման վառ գործիչներ, ապա ստացված շարքը ֆանտաստիկորեն երկար կլինի։ Սա կոնվերգենտ թվերի հաջորդականություն է: Եվ այն հակված է զրոյի, քանի որ յուրաքանչյուր հաջորդ բնադրող տիկնիկի չափը, աղետալիորեն փոքրանալով, աստիճանաբար վերածվում է ոչնչի։ Այսպիսով, դա հեշտ էկարելի է բացատրել՝ ինչն է անսահման փոքր։
Նման օրինակ կարող է լինել դեպի հեռու տանող ճանապարհը: Իսկ դրա երկայնքով դիտորդից հեռու քշող մեքենայի տեսողական չափերը, աստիճանաբար փոքրանալով, վերածվում են կետ հիշեցնող անձև բծի։ Այսպիսով, մեքենան, ինչպես առարկան, հեռանալով անհայտ ուղղությամբ, դառնում է անսահման փոքր: Նշված մարմնի պարամետրերը երբեք չեն լինի զրոյական բառի բուն իմաստով, բայց վերջնական սահմանում անփոփոխ հակված են այս արժեքին: Հետևաբար, այս հաջորդականությունը կրկին զուգակցվում է զրոյի:
Հաշվե՛ք ամեն ինչ կաթիլ առ կաթիլ
Եկեք հիմա պատկերացնենք աշխարհիկ իրավիճակ. Բժիշկը հիվանդին նշանակել է դեղորայք ընդունել՝ սկսելով օրական տասը կաթիլից և յուրաքանչյուր հաջորդ օրը ավելացնելով երկու: Եվ այսպես, բժիշկն առաջարկեց շարունակել այնքան ժամանակ, քանի դեռ չի սպառվել դեղամիջոցի սրվակի պարունակությունը, որի ծավալը կազմում է 190 կաթիլ։ Վերոնշյալից հետևում է, որ այդպիսիների թիվը, ըստ օրերի, կլինի հետևյալ թվային շարքերը՝ 10, 12, 14 և այլն։
Ինչպե՞ս պարզել ամբողջ դասընթացն ավարտելու ժամանակը և հաջորդականության անդամների թիվը: Այստեղ, իհարկե, կարելի է պրիմիտիվ կերպով կաթիլներ հաշվել։ Բայց շատ ավելի հեշտ է, հաշվի առնելով օրինաչափությունը, օգտագործել թվաբանական առաջընթացի գումարի բանաձևը d=2 քայլով: Եվ օգտագործելով այս մեթոդը, պարզեք, որ թվային շարքի անդամների թիվը 10 է: Այս դեպքում, a10=28: Պենիսի համարը ցույց է տալիս դեղամիջոցի ընդունման օրերի քանակը, իսկ 28-ը համապատասխանում է հիվանդի կաթիլների քանակին:օգտագործել վերջին օրը. Արդյո՞ք այս հաջորդականությունը համընկնում է: Ոչ, քանի որ չնայած այն հանգամանքին, որ այն սահմանափակված է ներքևից 10-ով, իսկ վերևից 28-ով, նման թվային շարքը սահման չունի, ի տարբերություն նախորդ օրինակների։
Ի՞նչ տարբերություն:
Եկեք հիմա փորձենք պարզաբանել՝ երբ թվերի շարքը պարզվում է, որ կոնվերգենտ հաջորդականություն է: Նման սահմանումը, ինչպես կարելի է եզրակացնել վերը նշվածից, ուղղակիորեն կապված է վերջավոր սահման հասկացության հետ, որի առկայությունը բացահայտում է հարցի էությունը։ Այսպիսով, ո՞րն է հիմնարար տարբերությունը նախկինում բերված օրինակների միջև: Իսկ ինչու՞ դրանցից վերջինում 28 թիվը չի կարող համարվել X =10 + 2(n-1):
Այս հարցը պարզաբանելու համար դիտարկենք ստորև բերված բանաձևով տրված մեկ այլ հաջորդականություն, որտեղ n-ը պատկանում է բնական թվերի բազմությանը:
Անդամների այս համայնքը ընդհանուր կոտորակների բազմություն է, որի համարիչը 1 է, իսկ հայտարարը անընդհատ աճում է՝ 1, ½ …
Ավելին, այս շարքի յուրաքանչյուր հաջորդ ներկայացուցիչ ավելի ու ավելի է մոտենում 0-ին թվային տողի վրա տեղակայման առումով, և դա նշանակում է, որ հայտնվում է այնպիսի հարևանություն, որտեղ կետերը հավաքվում են զրոյի շուրջ, որը սահմանն է: Եվ որքան մոտենում են դրան, այնքան ավելի խտանում է նրանց կենտրոնացումը թվային գծի վրա։ Իսկ նրանց միջեւ հեռավորությունը աղետալիորեն կրճատվում է՝ վերածվելով անսահման փոքրի։ Սա նշան է, որ հաջորդականությունը համընկնում է:
ՆմանատիպԱյսպիսով, նկարում պատկերված բազմագույն ուղղանկյունները, երբ հեռանում են տարածության մեջ, տեսողականորեն ավելի մարդաշատ են, հիպոթետիկ սահմանում վերածվում են չնչին։
Անսահման մեծ հաջորդականություններ
Վերլուծելով կոնվերգենտ հաջորդականության սահմանումը, անցնենք հակաօրինակներին։ Դրանցից շատերը վաղնջական ժամանակներից հայտնի են եղել մարդուն։ Տարբեր հաջորդականությունների ամենապարզ տարբերակները բնական և զույգ թվերի շարքն են։ Նրանք այլ կերպ են կոչվում անսահման մեծ, քանի որ նրանց անդամները, անընդհատ ավելանալով, ավելի ու ավելի են մոտենում դրական անսահմանությանը:
Նման օրինակ կարող է լինել նաև թվաբանական և երկրաչափական առաջընթացներից որևէ մեկը՝ քայլով և հայտարարով, համապատասխանաբար, զրոյից մեծ: Բացի այդ, թվային շարքերը համարվում են դիվերգենտ հաջորդականություններ, որոնք ընդհանրապես սահման չունեն։ Օրինակ՝ X =(-2) -1.
Ֆիբոնաչիի հաջորդականություն
Նախկինում նշված թվային շարքի գործնական օգուտները մարդկության համար անհերքելի են: Բայց կան անթիվ այլ հիանալի օրինակներ: Դրանցից մեկը Ֆիբոնաչիի հաջորդականությունն է։ Նրա յուրաքանչյուր անդամ, որը սկսվում է մեկով, նախորդների գումարն է։ Նրա առաջին երկու ներկայացուցիչներն են 1 և 1։ Երրորդը՝ 1+1=2, չորրորդը՝ 1+2=3, հինգերորդը՝ 2+3=5։ Ավելին, նույն տրամաբանությամբ հետևում են 8, 13, 21 և այլն թվերը։
Թվերի այս շարքը մեծանում է անորոշ ժամանակով և չունիվերջնական սահմանաչափ. Բայց այն ունի մեկ այլ հրաշալի հատկություն. Յուրաքանչյուր նախորդ թվի և հաջորդ թվի հարաբերակցությունը գնալով մոտենում է իր արժեքով 0,618-ին:Այստեղ կարող եք հասկանալ կոնվերգենտ և դիվերգենտ հաջորդականության տարբերությունը, քանի որ եթե ստացված մասնակի բաժանումների շարք կատարեք, նշված թվային համակարգը կ ունեն վերջավոր սահման, որը հավասար է 0,618-ին։
Ֆիբոնաչիի գործակիցների հաջորդականություն
Վերևում նշված թվային շարքը լայնորեն օգտագործվում է շուկաների տեխնիկական վերլուծության գործնական նպատակներով: Բայց սա չի սահմանափակվում նրա հնարավորություններով, որոնք եգիպտացիներն ու հույները գիտեին և կարողացան գործնականում կիրառել հին ժամանակներում: Դա ապացուցում են իրենց կառուցած բուրգերն ու Պարթենոնը։ Ի վերջո, 0,618 թիվը հին ժամանակներում լավ հայտնի ոսկե հատվածի հաստատուն գործակիցն է։ Համաձայն այս կանոնի՝ ցանկացած կամայական հատված կարելի է բաժանել այնպես, որ դրա մասերի հարաբերակցությունը համընկնի հատվածներից ամենամեծի և ընդհանուր երկարության հարաբերակցության հետ։
Կառուցենք նշված հարաբերությունների մի շարք և փորձենք վերլուծել այս հաջորդականությունը։ Թվերի շարքը կլինի հետևյալը՝ 1; 0,5; 0,67; 0,6; 0,625; 0,615; 0, 619 և այլն: Շարունակելով այս կերպ՝ կարող ենք համոզվել, որ կոնվերգենտ հաջորդականության սահմանը իսկապես կլինի 0,618, սակայն հարկ է նշել այս օրինաչափության այլ հատկություններ։ Այստեղ թվերը կարծես թե գնում են պատահական, և ամենևին էլ ոչ աճման կամ նվազման կարգով: Սա նշանակում է, որ այս կոնվերգենտ հաջորդականությունը միատոն չէ։ Թե ինչու է դա այդպես, կքննարկվի հետագա:
միապաղաղություն և սահմանափակում
Թվերի շարքի անդամները կարող են հստակորեն նվազել թվի աճով (եթե x1>x2>x3>…>x >…) կամ աճում է (եթե x1<x2316323<…<x <…): Այս դեպքում հաջորդականությունն ասում են, որ խիստ միապաղաղ է: Կարելի է նաև դիտարկել այլ օրինաչափություններ, որտեղ թվային շարքը կլինի ոչ նվազող և ոչ աճող (x1≧x2≧x 3≧ …≧x ≧… կամ x1≦x2≦x 3 ≦…≦x ≦…), ապա հաջորդաբար կոնվերգենտը նույնպես միապաղաղ է, միայն թե ոչ խիստ իմաստով: Այս տարբերակներից առաջինի լավ օրինակն է հետևյալ բանաձևով տրված թվային շարքը։
Նկարելով այս շարքի համարները՝ դուք կարող եք տեսնել, որ նրա անդամներից որևէ մեկը, անորոշ ժամանակով մոտենալով 1-ին, երբեք չի գերազանցի այս արժեքը: Այս դեպքում կոնվերգենտ հաջորդականությունը համարվում է սահմանափակ: Դա տեղի է ունենում, երբ կա այդպիսի դրական M թիվ, որը միշտ մեծ է շարքի մոդուլի որևէ տերմինից: Եթե թվային շարքն ունի միապաղաղության նշաններ և ունի սահման, հետևաբար համընկնում է, ապա այն անպայմանորեն օժտված է նման հատկությամբ։ Եվ պարտադիր չէ, որ հակառակը լինի: Դա վկայում է կոնվերգենտ հաջորդականության սահմանների թեորեմը:
Նման դիտարկումների կիրառումը գործնականում շատ օգտակար է։ Եկեք կոնկրետ օրինակ բերենք՝ ուսումնասիրելով X =n/n+1, և ապացուցեք դրա մերձեցումը: Հեշտ է ցույց տալ, որ այն միատոն է, քանի որ (x +1 – x) դրական թիվ է ցանկացած n արժեքի համար: Հերթականության սահմանը հավասար է 1 թվին, ինչը նշանակում է, որ վերը նշված թեորեմի բոլոր պայմանները, որը նաև կոչվում է Վայերշտրասի թեորեմ, բավարարված են։ Կոնվերգենտ հաջորդականության սահմանափակության թեորեմն ասում է, որ եթե այն ունի սահման, ապա ամեն դեպքում ստացվում է, որ սահմանափակ է։ Այնուամենայնիվ, վերցնենք հետևյալ օրինակը. X =(-1) ներքևից սահմանափակված է -1-ով, իսկ վերևից 1-ով: Բայց այս հաջորդականությունը միապաղաղ չէ, չունի սահմանափակում, և հետևաբար չի համընկնում: Այսինքն՝ սահմանի և կոնվերգենցիայի առկայությունը միշտ չէ, որ բխում է սահմանափակումից։ Որպեսզի դա աշխատի, ստորին և վերին սահմանները պետք է համընկնեն, ինչպես Ֆիբոնաչիի գործակիցների դեպքում:
Տիեզերքի թվեր և օրենքներ
Կոնվերգենտ և դիվերգենտ հաջորդականության ամենապարզ տարբերակները, հավանաբար, թվային շարքերն են X =n և X =1/n: Դրանցից առաջինը թվերի բնական շարք է։ Այն, ինչպես արդեն նշվեց, անսահման մեծ է։ Երկրորդ կոնվերգենտ հաջորդականությունը սահմանափակված է, և դրա անդամները մեծությամբ մոտ են անվերջ փոքրի: Այս բանաձևերից յուրաքանչյուրը անձնավորում է բազմակողմանի Տիեզերքի կողմերից մեկը՝ օգնելով մարդուն պատկերացնել և հաշվարկել մի անհայտ, անհասանելի սահմանափակ ընկալման համար թվերի և նշանների լեզվով մի բան:
:
Տիեզերքի օրենքները, որոնք տատանվում են չնչինից մինչև աներևակայելի մեծ, նույնպես արտահայտում են 0,618 ոսկե հարաբերակցությունը: Գիտնականներընրանք կարծում են, որ դա իրերի էության հիմքն է և օգտագործվում է բնության կողմից դրա մասերը ձևավորելու համար: Ֆիբոնաչիի շարքի հաջորդ և նախորդ անդամների հարաբերությունները, որոնք մենք արդեն նշեցինք, չեն ավարտում այս եզակի շարքի զարմանալի հատկությունների ցուցադրումը։ Եթե հաշվի առնենք նախորդ անդամը հաջորդ անդամի վրա մեկի վրա բաժանելու գործակիցը, ապա կստանանք 0,5 շարք; 0,33; 0.4; 0,375; 0,384; 0,380; 0, 382 և այլն: Հետաքրքիր է, որ այս սահմանափակ հաջորդականությունը համընկնում է, միապաղաղ չէ, բայց որոշակի անդամից հարևան ծայրահեղ թվերի հարաբերակցությունը միշտ մոտավորապես հավասար է 0,382-ի, որը կարող է օգտագործվել նաև ճարտարապետության, տեխնիկական վերլուծության և այլ ոլորտներում։
Կան Ֆիբոնաչիի շարքի այլ հետաքրքիր գործակիցներ, դրանք բոլորն էլ առանձնահատուկ դեր են խաղում բնության մեջ, ինչպես նաև օգտագործվում են մարդու կողմից գործնական նպատակներով։ Մաթեմատիկոսները վստահ են, որ Տիեզերքը զարգանում է ըստ նշված գործակիցներից գոյացած որոշակի «ոսկե պարույրի»։ Նրանց օգնությամբ հնարավոր է հաշվարկել Երկրի վրա և տիեզերքում տեղի ունեցող բազմաթիվ երևույթներ՝ սկսած որոշակի բակտերիաների քանակի աճից մինչև հեռավոր գիսաստղերի շարժումը: Ինչպես պարզվում է, ԴՆԹ-ի կոդը ենթարկվում է նմանատիպ օրենքներին։
Նվազող երկրաչափական առաջընթաց
Կա թեորեմ, որը հաստատում է կոնվերգենտ հաջորդականության սահմանի եզակիությունը: Սա նշանակում է, որ այն չի կարող ունենալ երկու կամ ավելի սահմաններ, ինչը, անկասկած, կարևոր է նրա մաթեմատիկական բնութագրերը գտնելու համար։
Եկեք նայենք մի քանիսինդեպքեր. Թվաբանական առաջընթացի անդամներից կազմված ցանկացած թվային շարք տարբերվում է, բացառությամբ զրոյական քայլի դեպքի: Նույնը վերաբերում է երկրաչափական առաջընթացին, որի հայտարարը 1-ից մեծ է: Նման թվային շարքերի սահմաններն են անսահմանության «գումարած» կամ «մինուս»: Եթե հայտարարը -1-ից փոքր է, ապա ընդհանրապես սահման չկա: Այլ տարբերակներ հնարավոր են։
Դիտարկենք թվերի շարքը, որը տրված է X =(1/4) -1. Առաջին հայացքից հեշտ է տեսնել, որ այս կոնվերգենտ հաջորդականությունը սահմանափակված է, քանի որ այն խիստ նվազում է և ոչ մի կերպ չի կարող ընդունել բացասական արժեքներ։
Եկեք անընդմեջ գրենք նրա անդամների թիվը։
Կստացվի՝ 1; 0,25; 0,0625; 0,015625; 0, 00390625 և այլն: Բավականին պարզ հաշվարկները բավական են հասկանալու համար, թե որքան արագ է այս երկրաչափական պրոգրեսիան նվազում 0<q<1 հայտարարներից։ Մինչ տերմինների հայտարարն անորոշ ժամանակով մեծանում է, նրանք իրենք դառնում են անսահման փոքր։ Սա նշանակում է, որ թվերի շարքի սահմանը 0 է։ Այս օրինակը ևս մեկ անգամ ցույց է տալիս կոնվերգենտ հաջորդականության սահմանափակ բնույթը։
Հիմնական հաջորդականություններ
Ֆրանսիացի գիտնական Օգուստին Լուի Կոշին աշխարհին բացահայտել է մաթեմատիկական վերլուծության հետ կապված բազմաթիվ աշխատանքներ։ Նա տվել է այնպիսի հասկացությունների սահմանումներ, ինչպիսիք են դիֆերենցիալ, ինտեգրալ, սահման և շարունակականություն: Նա նաև ուսումնասիրել է կոնվերգենտ հաջորդականությունների հիմնական հատկությունները։ Նրա գաղափարների էությունը հասկանալու համար.որոշ կարևոր մանրամասներ պետք է ամփոփվեն։
Հոդվածի հենց սկզբում ցույց տվեցին, որ կան այնպիսի հաջորդականություններ, որոնց համար կա մի հարևանություն, որտեղ իրական գծի վրա որոշակի շարքի անդամներին ներկայացնող կետերը սկսում են հավաքվել՝ ավելի ու ավելի շարվելով։ խիտ. Միևնույն ժամանակ, նրանց միջև հեռավորությունը նվազում է, քանի որ հաջորդ ներկայացուցչի թիվը մեծանում է՝ վերածվելով անսահման փոքրի։ Այսպիսով, ստացվում է, որ տվյալ թաղամասում խմբավորված են տվյալ շարքի անվերջ թվով ներկայացուցիչներ, իսկ դրանից դուրս՝ վերջավոր թվով։ Նման հաջորդականությունները կոչվում են հիմնարար։
Կոշիի հայտնի չափանիշը, որը ստեղծվել է ֆրանսիացի մաթեմատիկոսի կողմից, հստակ ցույց է տալիս, որ նման հատկության առկայությունը բավարար է ապացուցելու, որ հաջորդականությունը համընկնում է: Ճիշտ է նաև հակառակը։
Հարկ է նշել, որ ֆրանսիացի մաթեմատիկոսի այս եզրակացությունը հիմնականում զուտ տեսական հետաքրքրություն է ներկայացնում։ Դրա կիրառումը գործնականում համարվում է բավականին բարդ խնդիր, հետևաբար, շարքերի սերտաճումը պարզաբանելու համար շատ ավելի կարևոր է ապացուցել հաջորդականության համար վերջավոր սահմանի առկայությունը։ Հակառակ դեպքում այն համարվում է տարբերվող։
Խնդիրներ լուծելիս պետք է հաշվի առնել նաև կոնվերգենտ հաջորդականությունների հիմնական հատկությունները։ Դրանք ներկայացված են ստորև։
Անսահման գումարներ
Անտիկ դարաշրջանի այնպիսի հայտնի գիտնականներ, ինչպիսիք են Արքիմեդը, Էվկլիդեսը, Եվդոքսոսը, օգտագործել են անվերջ թվերի շարքերի գումարները՝ հաշվարկելու կորերի երկարությունները, մարմինների ծավալները։և թվերի տարածքները: Մասնավորապես, այս կերպ հնարավոր եղավ պարզել պարաբոլիկ հատվածի տարածքը։ Դրա համար օգտագործվել է q=1/4 երկրաչափական պրոգրեսիայի թվային շարքի գումարը։ Նմանապես հայտնաբերվել են այլ կամայական թվերի ծավալներն ու տարածքները։ Այս տարբերակը կոչվում էր «հյուծում» մեթոդ։ Գաղափարն այն էր, որ ուսումնասիրված մարմինը, բարդ ձևով, բաժանված էր մասերի, որոնք հեշտությամբ չափվող պարամետրերով ֆիգուրներ էին: Այս պատճառով դժվար չէր հաշվարկել դրանց մակերեսներն ու ծավալները, հետո գումարեցին։
Ի դեպ, նմանատիպ առաջադրանքները շատ ծանոթ են ժամանակակից դպրոցականներին և հանդիպում են USE առաջադրանքներում։ Եզակի մեթոդը, որը գտել են հեռավոր նախնիները, ամենապարզ լուծումն է։ Նույնիսկ եթե կան միայն երկու կամ երեք մաս, որոնց թվային թիվը բաժանվում է, դրանց տարածքների գումարումը, այնուամենայնիվ, թվերի շարքի գումարն է։
Շատ ուշ, քան հին հույն գիտնականներ Լայբնիցը և Նյուտոնը, հիմնվելով իրենց իմաստուն նախորդների փորձի վրա, սովորեցին ինտեգրալ հաշվարկի օրինաչափությունները: Հերթականությունների հատկությունների իմացությունն օգնեց նրանց լուծել դիֆերենցիալ և հանրահաշվական հավասարումներ: Ներկայումս տաղանդավոր գիտնականների բազմաթիվ սերունդների ջանքերով ստեղծված շարքերի տեսությունը հնարավորություն է տալիս լուծել հսկայական թվով մաթեմատիկական և գործնական խնդիրներ։ Իսկ թվային հաջորդականությունների ուսումնասիրությունը մաթեմատիկական վերլուծության միջոցով լուծվող հիմնական խնդիրն է եղել իր սկզբնավորման օրվանից։
