Այսօր ժամանակակից աշխարհում անհնար է անել առանց հետաքրքրության։ Նույնիսկ դպրոցում, սկսած 5-րդ դասարանից, երեխաները սովորում են այս հայեցակարգը և լուծում են խնդիրներ այս արժեքով։ Հետաքրքրություն կա ժամանակակից կառույցների յուրաքանչյուր ոլորտում: Վերցրեք, օրինակ, բանկերը. վարկի գերավճարի չափը կախված է պայմանագրում նշված գումարից. Տոկոսադրույքը նույնպես ազդում է շահույթի չափի վրա։ Հետևաբար, կարևոր է իմանալ, թե ինչ է տոկոսը:
Տոկոս հասկացությունը
Մի լեգենդի համաձայն՝ տոկոսն առաջացել է տառասխալ սխալի պատճառով։ Կոմպոզիտորը պետք է դներ 100 թիվը, բայց խառնեց այն և դրեց այսպես՝ 010: Դա հանգեցրեց նրան, որ առաջին զրոը մի փոքր բարձրացավ, իսկ երկրորդը՝ իջավ: Միավորը դարձել է թիկունք: Նման մանիպուլյացիաները բերեցին տոկոսային նշանի ի հայտ գալուն։ Իհարկե, կան այլ լեգենդներ այս արժեքի ծագման մասին։
Հնդկացիները տոկոսների մասին գիտեին 5-րդ դարում: Եվրոպայում տասնորդական կոտորակներ, հետորը մեր հայեցակարգը սերտորեն փոխկապակցված է, ի հայտ եկավ հազարամյակ անց։ Հին աշխարհում առաջին անգամ դատողությունը, թե որքան է տոկոսը, ներկայացրեց բելգիացի գիտնական Սայմոն Սթևինը: 1584 թվականին նույն գիտնականը առաջին անգամ հրապարակեց մեծությունների աղյուսակը։
«տոկոս» բառը լատիներեն ծագում է որպես pro centum: Եթե թարգմանեք արտահայտությունը, կստանաք «հարյուրից»։ Այսպիսով, տոկոսը հասկացվում է որպես արժեքի, թվի հարյուրերորդ մասը: Այս արժեքը նշվում է %.
նշանով
Տոկոսների շնորհիվ հնարավոր դարձավ առանց մեծ դժվարության համեմատել մեկ ամբողջության մասերը։ Բաժնետոմսերի ներդրումը զգալիորեն պարզեցրել է հաշվարկները, այդ իսկ պատճառով դրանք դարձել են այդքան տարածված։
Կոտորակների փոխարկում տոկոսների
Տասնորդական կոտորակը տոկոսի փոխարկելու համար ձեզ կարող է անհրաժեշտ լինել այսպես կոչված տոկոսային բանաձևը. կոտորակը բազմապատկվում է 100-ով, %.
Եթե Ձեզ անհրաժեշտ է կոտորակը վերածել տոկոսի, նախ անհրաժեշտ է այն դարձնել տասնորդական, այնուհետև օգտագործել վերը նշված բանաձևը:
Տոկոսների փոխարկում կոտորակների
Որպես այդպիսին, տոկոսային բանաձևը բավականին պայմանական է: Բայց դուք պետք է իմանաք, թե ինչպես փոխարկել այս արժեքը կոտորակային արտահայտության: Բաժնետոմսերը (տոկոսները) տասնորդական կոտորակների փոխարկելու համար անհրաժեշտ է հեռացնել % նշանը և ցուցիչը բաժանել 100-ի։
Թվի տոկոսը հաշվարկելու բանաձև
Քիմիայի թեստի համար ուսանողների 30%-ը ստացել է «գերազանց» գնահատական: Ընդհանուր առմամբ դասարանում սովորում է 40 աշակերտ։ Ինչքանուսանողները թեստ են գրել «5»-ի վրա. Այս առաջադրանքը հստակ ցույց է տալիս, թե ինչպես կարելի է պարզել թվի տոկոսը։
Լուծում՝
1) 40 x 30=1200.
2) 1200: 100=12 (ուսանողներ):
Պատասխան. 12 ուսանող գրել է թեստը «5»-ի համար:
Դուք կարող եք օգտագործել պատրաստի աղյուսակը, որը ցույց է տալիս դրանց համապատասխանող որոշ կոտորակներ և տոկոսներ։
Ստացվում է, որ տոկոսային բանաձևն ունի հետևյալ տեսքը. C=(A∙B)/100, որտեղ A-ն է. թիվը (կոնկրետ օրինակում, որը հավասար է 40-ի); B - տոկոսների թիվը (այս հարցում B=30%); С – ցանկալի արդյունք։
Տոկոսայինից թիվը հաշվելու բանաձև
Հետևյալ խնդիրը ցույց կտա, թե ինչ է տոկոսը և ինչպես գտնել թիվը տոկոսից:
Կարի ֆաբրիկան պատրաստել է 1200 զգեստ, որոնցից 32%-ը նոր ոճի զգեստներ են։ Քանի՞ նոր ոճի զգեստ է պատրաստել հագուստի գործարանը։
Լուծում՝
1. 1200: 100=12 (զգեստներ) - թողարկված բոլոր իրերի 1%-ը։
2. 12 x 32=384 (զգեստներ):
Պատասխան՝ գործարանը պատրաստել է 384 նոր ոճի զգեստ։
Եթե Ձեզ անհրաժեշտ է թիվ գտնել ըստ տոկոսի, կարող եք օգտագործել հետևյալ բանաձևը՝ C=(A∙100)/B, որտեղ A - ապրանքների ընդհանուր թիվը (այս դեպքում, A=1200); B - տոկոսների քանակը (կոնկրետ առաջադրանքում B=32%); C-ն ցանկալի արժեք է։
Ավելացնել, նվազեցնել թիվը տրվածովտոկոսներ
Աշակերտները պետք է սովորեն, թե քանի տոկոս են կազմում, ինչպես հաշվել դրանք և լուծել տարբեր խնդիրներ: Դա անելու համար դուք պետք է հասկանաք, թե ինչպես է թիվը մեծանում կամ նվազում N%-ով։
Հաճախ առաջադրանքներ են տրվում, իսկ կյանքում պետք է պարզել, թե ինչին է հավասարվելու այդ թիվը՝ ավելացված տոկոսով։ Օրինակ, հաշվի առնելով X թիվը: Պետք է պարզել, թե ինչ արժեք կունենա X-ը, եթե այն մեծացվի, ասենք, 40%-ով: Նախ անհրաժեշտ է 40%-ը վերածել կոտորակային թվի (40/100): Այսպիսով, X թիվը մեծացնելու արդյունքը կլինի՝ X + 40% ∙ X=(1+40/100100
) ∙ X=1, 4 ∙ X Եթե X-ի փոխարեն փոխարինենք ցանկացած թիվ, վերցնենք, օրինակ, 100, ապա ամբողջ արտահայտությունը հավասար կլինի՝ 1, 4 ∙ X=1, 4 ∙ 100=140։
Մոտավորապես նույն սկզբունքն է կիրառվում, երբ թիվը փոքրացնում ենք որոշակի տոկոսով։ Անհրաժեշտ է կատարել հաշվարկներ՝ X - X ∙ 40%=X ∙ (1-40/100100)=0.6 ∙ X. Եթե արժեքը 100 է, ապա 0,6 ∙ X=0,6.
100=60.
Կան առաջադրանքներ, որտեղ դուք պետք է պարզեք, թե քանի տոկոսով է ավելացել թիվը:
Օրինակ՝ տրված առաջադրանքը՝ վարորդը վազում էր երթուղու մի հատվածով 80 կմ/ժ արագությամբ: Մեկ այլ հատվածում գնացքի արագությունը հասել է 100 կմ/ժ-ի։ Քանի՞ տոկոսով ավելացավ գնացքի արագությունը:
Լուծում՝
Ենթադրենք 80 կմ/ժ արագությունը 100% է։ Այնուհետև կատարում ենք հաշվարկներ՝ (100% ∙ 100 կմ/ժ) / 80 կմ/ժ=1000: 8=125%։ Ստացվում է, որ 100 կմ/ժ արագությունը 125% է: Պարզելու համար, թե որքան է ավելացել արագությունը, պետք է հաշվարկել՝ 125% - 100%=25%.
Պատասխան՝ երկրորդ հատվածում գնացքի արագությունն աճել է 25%-ով.
համամասնություն
Հաճախ են լինում դեպքեր, երբ անհրաժեշտ է լինում տոկոսային խնդիրներ լուծել համամասնությամբ։ Փաստորեն, արդյունքը գտնելու այս մեթոդը մեծապես հեշտացնում է առաջադրանքը ուսանողների, ուսուցիչների և ոչ միայն:
Ուրեմն ի՞նչ է համամասնությունը: Այս տերմինը վերաբերում է երկու հարաբերությունների հավասարությանը, որը կարող է արտահայտվել հետևյալ կերպ. A/B =C / D.
Մաթեմատիկայի դասագրքերում կա այսպիսի կանոն՝ ծայրահեղ անդամների արտադրյալը հավասար է միջինների արտադրյալին։ Սա արտահայտվում է հետևյալ բանաձևով՝ A x D=B x C:
Այս ձևակերպման շնորհիվ ցանկացած թիվ կարելի է հաշվարկել, եթե հայտնի են համամասնության մյուս երեք անդամները։ Օրինակ՝ A-ն անհայտ թիվ է։ Նրան գտնելու համար անհրաժեշտ է
Համամասնության մեթոդով խնդիրներ լուծելիս պետք է հասկանալ, թե որ թվից տոկոսներ վերցնել: Լինում են ժամանակներ, երբ բաժնետոմսերը պետք է տարբեր արժեքներից վերցնել։ Համեմատել՝
1. Խանութում վաճառքի ավարտից հետո շապիկի արժեքն աճել է 25%-ով և կազմել 200 ռուբլի։ Որքա՞ն արժեր վաճառքի ժամանակ։
Լուծում՝
Այս դեպքում 200 ռուբլի արժեքը համապատասխանում է շապիկի սկզբնական (վաճառքի) գնի 125%-ին։ Այնուհետև վաճառքի ժամանակ դրա արժեքը պարզելու համար անհրաժեշտ է (200 x 100)՝ 125։ Դուք ստանում եք 160 ռուբլի։
2. Վիցենսիա մոլորակի վրա կա 200 000 բնակիչ՝ մարդիկ և Նաավի մարդանման ռասայի ներկայացուցիչներ։ Նաավին կազմում է ընդհանուր բնակչության 80%-ըՎիսենսիին։ Մարդկանցից 40%-ը աշխատում է հանքի սպասարկման ոլորտում, մնացածը արդյունահանվում է տետանի համար։ Քանի՞ մարդ է արդյունահանում տետանիում:
Լուծում՝
Նախ, դուք պետք է թվային տեսքով գտնեք մարդկանց թիվը և Նաավիների թիվը: Այսպիսով, 200,000-ի 80%-ը կկազմի 160,000 մարդակերպ ցեղի այդքան շատ ներկայացուցիչներ ապրում են Վիչենցիայում: Մարդկանց թիվը, համապատասխանաբար, 40000 է, որոնցից 40%-ը, այսինքն՝ 16000-ը սպասարկում է հանքը։ Այսպիսով, 24,000 մարդ տետան է արդյունահանում:
Թվի կրկնվող փոփոխություն որոշակի տոկոսով
Երբ արդեն հասկանաք, թե ինչ է տոկոսը, դուք պետք է ուսումնասիրեք բացարձակ և հարաբերական փոփոխության հայեցակարգը: Բացարձակ փոխակերպումը հասկացվում է որպես որոշակի թվով թվի աճ: Այսպիսով, X-ն աճել է 100-ով: Ինչ էլ որ մեկը փոխարինի X-ին, այդ թիվը դեռ կաճի 100-ով. 15 + 100; 99, 9 + 100; a + 100 և այլն:
Հարաբերական փոփոխությունը հասկացվում է որպես արժեքի աճ որոշակի քանակով տոկոսով: Ենթադրենք X-ն աճել է 20%-ով։ Սա նշանակում է, որ X-ը հավասար կլինի՝ X + X ∙ 20%: Հարաբերական փոփոխությունը ենթադրվում է, երբ խոսքը վերաբերում է կեսով կամ երրորդով ավելանալուն, քառորդով պակասելուն, 15%-ով ավելանալուն և այլն:
Կա ևս մեկ կարևոր կետ. եթե X-ի արժեքը ավելացվի 20%-ով, այնուհետև ևս 20%-ով, ապա ընդհանուր աճը կկազմի 44%, բայց ոչ 40%: Սա երևում է հետևյալ հաշվարկներից՝
1. X + 20% ∙ X=1, 2 ∙ X
2. 1, 2 ∙ X + 20% ∙ 1, 2 ∙ X=1, 2 ∙ X + 0, 24 ∙ X=1, 44 ∙ X
Ցույց է տալիսոր X-ն աճել է 44%-ով։
Հետաքրքրությունների խնդիրների օրինակներ
1. 36-ի քանի՞ տոկոսն է 9-ը:
Լուծում՝
Համաձայն թվի տոկոսը գտնելու բանաձևի, անհրաժեշտ է 9-ը բազմապատկել 100-ով և բաժանել 36-ի։
Պատասխան. 9-ը 36-ի 25%-ն է:
2. Հաշվե՛ք C թիվը, որը 40-ի 10%-ն է։
Լուծում՝
Համաձայն թիվն իր տոկոսով գտնելու բանաձևի, անհրաժեշտ է 40-ը բազմապատկել 10-ով և արդյունքը բաժանել 100-ի։
Պատասխան. 4-ը 40-ի 10%-ն է:
3. Առաջին գործընկերը բիզնեսում ներդրել է 4500 ռուբլի, երկրորդը՝ 3500 ռուբլի, երրորդը՝ 2000 ռուբլի։ Նրանք ստացել են 2400 ռուբլի շահույթ։ Նրանք հավասարապես կիսում էին շահույթը։ Որքա՞ն ռուբլով կորցրեց առաջին գործընկերը, համեմատած, թե որքա՞ն կստանար, եթե եկամուտը բաժանեին ըստ ներդրված միջոցների տոկոսի:
Լուծում՝
Այսպիսով, նրանք միասին ներդրել են 10000 ռուբլի։ Եկամուտը յուրաքանչյուրի համար կազմել է 800 ռուբլի հավասար բաժին։ Պարզելու համար, թե համապատասխանաբար որքան պետք է ստանար առաջին գործընկերը և որքան կորցրեց, անհրաժեշտ է պարզել ներդրված միջոցների տոկոսը։ Ապա դուք պետք է պարզեք, թե որքան շահույթ է այս ներդրումը ռուբլով: Եվ վերջին բանը արդյունքից հանելն է 800 ռուբլի։
Պատասխան. առաջին գործընկերը կորցրել է 280 ռուբլի շահույթը կիսելիս:
Մի քիչ տնտեսություն
Այսօր բավականին տարածված հարցը որոշակի ժամկետով վարկ ստանալն է։ Բայց ինչպե՞ս ընտրել շահավետ վարկ, որպեսզի չգերվճարեք: Նախ, դուք պետք է նայեքտոկոսադրույքը. Ցանկալի է, որ այդ ցուցանիշը հնարավորինս ցածր լինի։ Այնուհետև պետք է կիրառեք վարկի տոկոսների հաշվարկման բանաձևը։
Որպես կանոն, գերավճարի չափի վրա ազդում են պարտքի չափը, տոկոսադրույքը և մարման եղանակը։ Կան անուիտետային և տարբերակված վճարումներ։ Առաջին դեպքում վարկը մարվում է ամեն ամիս հավասար մասով։ Միանգամից մեծանում է այն գումարը, որը ծածկում է հիմնական վարկը, իսկ տոկոսների արժեքը աստիճանաբար նվազում է։ Երկրորդ դեպքում վարկառուն վարկը մարելու համար վճարում է ֆիքսված գումարներ, որոնց գումարվում է տոկոսագումարը մայր պարտքի մնացորդի վրա: Ամսական վճարումների ընդհանուր գումարը կնվազի։
Այժմ մենք պետք է դիտարկենք վարկի մարման երկու ուղիները: Այսպիսով, անուիտետի տարբերակով գերավճարի չափն ավելի մեծ կլինի, իսկ դիֆերենցիալ տարբերակով՝ առաջին վճարումների չափը։ Բնականաբար, վարկի պայմանները երկու դեպքում էլ նույնն են։
Եզրակացություն
Այնպես որ, հետաքրքրություն։ Ինչպե՞ս հաշվել դրանք: Բավականին պարզ: Այնուամենայնիվ, երբեմն դրանք կարող են խնդրահարույց լինել: Այս թեման սկսում է ուսումնասիրվել դպրոցում, բայց այն բռնում է բոլորին վարկերի, ավանդների, հարկերի և այլնի ոլորտում։ Ուստի խորհուրդ է տրվում խորանալ այս հարցի էության մեջ։ Եթե դեռ չեք կարողանում հաշվարկներ կատարել, կան բազմաթիվ առցանց հաշվիչներ, որոնք կօգնեն ձեզ հաղթահարել առաջադրանքը:
