Ընթերցողի համար ավելի հեշտ պատկերացնելու համար, թե ինչ է հիպերբոլոիդը՝ եռաչափ օբյեկտ, նախ պետք է դիտարկել համանուն կոր հիպերբոլան, որը տեղավորվում է երկչափ տարածության մեջ:
Հիպերբոլան ունի երկու առանցք՝ իրականը, որն այս նկարում համընկնում է աբսցիսայի առանցքի հետ, և երևակայականը՝ y առանցքի հետ: Եթե դուք մտովի սկսեք պտտել հիպերբոլայի հավասարումը նրա երևակայական առանցքի շուրջ, ապա կորի կողմից «տեսնված» մակերեսը կլինի միաշերտ հիպերբոլոիդ:
Եթե, այնուամենայնիվ, սկսենք հիպերբոլան պտտել իր իրական առանցքի շուրջ այս կերպ, ապա կորի երկու «կեսերից» յուրաքանչյուրը կկազմի իր առանձին մակերեսը, և այն միասին կկոչվի երկու. թիթեղավոր հիպերբոլոիդ։
Ստացվում է համապատասխան հարթ կորը պտտելով, դրանք համապատասխանաբար կոչվում են պտտման հիպերբոլոիդներ։ Նրանք ունեն պարամետրեր բոլոր ուղղություններով, որոնք ուղղահայաց են պտտման առանցքին,պտտվող կորին պատկանող. Ընդհանուր առմամբ, դա այդպես չէ:
Հիպերբոլոիդ հավասարում
Ընդհանուր առմամբ, մակերեսը կարելի է սահմանել հետևյալ հավասարումներով դեկարտյան կոորդինատներով (x, y, z):
Հեղափոխության հիպերբոլոիդի դեպքում նրա սիմետրիան այն առանցքի նկատմամբ, որի շուրջ այն պտտվել է, արտահայտվում է a=b գործակիցների հավասարությամբ։
Հիպերբոլոիդի բնութագրեր
Նա մի հնարք ունի. Մենք գիտենք, որ հարթության վրա կորերն ունեն կիզակետեր. միավորներ։
Եռաչափ տարածություն տեղափոխվելիս սահմանումը գործնականում չի փոխվում. օջախները կրկին երկու կետ են, և դրանցից հիպերբոլոիդ մակերեսին պատկանող կամայական կետ հեռավորությունների տարբերությունը հաստատուն է: Ինչպես տեսնում եք, բոլոր հնարավոր կետերի փոփոխություններից հայտնվեց միայն երրորդ կոորդինատը, քանի որ այժմ դրանք դրված են տարածության մեջ: Ընդհանրապես, ֆոկուսի սահմանումը համարժեք է կորի կամ մակերևույթի տիպի նույնականացմանը. խոսելով այն մասին, թե ինչպես են մակերեսի կետերը գտնվում կիզակետերի համեմատ, մենք իրականում պատասխանում ենք այն հարցին, թե ինչ է հիպերբոլոիդը և ինչպես է այն տեսքը:
Հարկ է հիշել, որ հիպերբոլան ունի ասիմպտոտներ՝ ուղիղ գծեր, որոնց ճյուղերը հակված են դեպի անսահմանություն: Եթե հեղափոխության հիպերբոլոիդ կառուցելիս մտավոր պտտվում են ասիմպտոտները հիպերբոլայի հետ միասին, ապա հիպերբոլոիդից բացի կստացվի նաև ասիմպտոտիկ կոչվող կոն։ Ասիմպտոտ կոնն էմեկ թերթիկ և երկու թերթ հիպերբոլոիդների համար։
Մեկ այլ կարևոր հատկանիշ, որն ունի միայն մեկ թերթիկ հիպերբոլոիդը, ուղղագիծ գեներատորներն են: Ինչպես անունն է ենթադրում, դրանք գծեր են, և դրանք ամբողջությամբ ընկած են տվյալ մակերեսի վրա: Մեկ թերթիկ հիպերբոլոիդի յուրաքանչյուր կետով անցնում է երկու ուղղագիծ գեներատոր: Նրանք համապատասխանաբար պատկանում են տողերի երկու ընտանիքին, որոնք նկարագրված են հետևյալ հավասարումների համակարգերով.
Այսպիսով, մի թերթիկ հիպերբոլոիդը կարող է ամբողջությամբ կազմված լինել երկու ընտանիքների անսահման թվով ուղիղ գծերից, և դրանցից մեկի յուրաքանչյուր տողը հատվելու է մյուսի բոլոր գծերի հետ: Նման հատկություններին համապատասխանող մակերեսները կոչվում են կանոնավոր. դրանք կարող են կառուցվել՝ օգտագործելով մեկ ուղիղ գծի ռոտացիա: Տիեզերքում գծերի (ուղղագիծ գեներատորների) փոխադարձ դասավորության միջոցով սահմանումը կարող է նաև ծառայել որպես հիպերբոլոիդի միանշանակ նշանակում:
Հիպերբոլոիդի հետաքրքիր հատկություններ
Երկրորդ կարգի կորերը և դրանց համապատասխան պտտման մակերեսները ունեն հետաքրքիր օպտիկական հատկություններ, որոնք կապված են օջախների հետ: Հիպերբոլոիդի դեպքում սա ձևակերպվում է հետևյալ կերպ. եթե ճառագայթը արձակվում է մեկ կիզակետից, ապա, անդրադառնալով մոտակա «պատից», այն կվերցնի այնպիսի ուղղություն, ասես երկրորդ կիզակետից գա։
Հիպերբոլոիդները կյանքում
Ամենայն հավանականությամբ, ընթերցողների մեծամասնությունը սկսել է իր ծանոթությունը վերլուծական երկրաչափության և երկրորդ կարգի մակերեսների հետ Ալեքսեյ Տոլստոյի գիտաֆանտաստիկ վեպից։«Հիպերբոլոիդ ինժեներ Գարին». Այնուամենայնիվ, գրողն ինքը կա՛մ լավ չգիտեր, թե ինչ է հիպերբոլոիդը, կա՛մ զոհաբերել է ճշգրտությունը հանուն արվեստագիտության. նկարագրված գյուտը, ֆիզիկական բնութագրերի առումով, ավելի շուտ պարաբոլոիդ է, որը հավաքում է բոլոր ճառագայթները մեկ ուշադրության կենտրոնում (մինչդեռ հիպերբոլոիդի օպտիկական հատկությունները կապված են ճառագայթների ցրման հետ) ։
Այսպես կոչված հիպերբոլոիդ կառույցները շատ տարածված են ճարտարապետության մեջ. դրանք կառուցվածքներ են, որոնք ունեն մեկ թերթիկ հիպերբոլոիդ կամ հիպերբոլիկ պարաբոլոիդ: Փաստն այն է, որ երկրորդ կարգի հեղափոխության միայն այս մակերեսներն ունեն ուղղագիծ գեներատորներ. հետևաբար, կոր կառուցվածքը կարելի է կառուցել միայն ուղիղ ճառագայթներից: Նման կառույցների առավելությունները ծանր բեռներին դիմակայելու ունակության մեջ են, օրինակ՝ քամուց.
