Կոմպլեկտների օրինակով հարաբերությունների լայն շրջանակն ուղեկցվում է մեծ թվով հասկացություններով՝ սկսած դրանց սահմանումներից և վերջացրած պարադոքսների վերլուծական վերլուծությամբ։ Հավաքածուի մասին հոդվածում քննարկված հայեցակարգի բազմազանությունը անսահման է: Չնայած երկակի տեսակների մասին խոսելիս սա նշանակում է երկուական հարաբերություններ մի քանի արժեքների միջև։ Եվ նաև օբյեկտների կամ հայտարարությունների միջև:
Որպես կանոն, երկուական հարաբերությունները նշանակվում են R խորհրդանիշով, այսինքն, եթե xRx ցանկացած x արժեքի համար R դաշտից, նման հատկությունը կոչվում է ռեֆլեքսիվ, որում x և x-ը մտքի ընդունված առարկաներ են, իսկ R-ն ծառայում է որպես անհատների միջև փոխհարաբերությունների կամ այլ ձևի նշան: Միևնույն ժամանակ, եթե դուք արտահայտում եք xRy® կամ yRx, ապա սա ցույց է տալիս սիմետրիայի վիճակ, որտեղ ®-ը «եթե … ապա …» միության նման ենթատեքստային նշան է: Եվ, վերջապես, վերծանումը: մակագրությունը (xRy Ùy Rz) ®xRz-ը պատմում է անցումային հարաբերությունների մասին, իսկ Ù նշանը շաղկապ է։
Երկուական հարաբերությունը, որը և՛ ռեֆլեքսիվ է, և՛ սիմետրիկ, և՛ անցումային, կոչվում է համարժեք հարաբերություն: f հարաբերությունը ֆունկցիա է, իսկ y=z հավասարությունը բխում է Î f-ից և Î f-ից։ Պարզ երկուական ֆունկցիան կարող է հեշտությամբ կիրառվելերկու պարզ փաստարկներին որոշակի հերթականությամբ, և միայն այս դեպքում է այն տալիս այն իմաստով, որն ուղղված է կոնկրետ դեպքում վերցված այս երկու արտահայտություններին:
Պետք է ասել, որ f-ը ցույց է տալիս x-ը y-ին,
եթե f-ը x և y միջակայք ունեցող ֆունկցիա է: Այնուամենայնիվ, երբ f-ն էքստրապոլացնում է x-ին y-ին, և y Í z-ին, դա հանգեցնում է նրան, որ f-ը x-ը ցույց է տալիս z-ում: Պարզ օրինակ. եթե f(x)=2x-ը ճշմարիտ է ցանկացած x ամբողջ թվի համար, ապա f-ն ասում է, որ բոլոր հայտնի ամբողջ թվերի նշանավոր բազմությունը քարտեզագրում է նույն ամբողջ թվերի, բայց այս անգամ զույգ թվերի բազմությանը: Ինչպես նշվեց վերևում, երկուական հարաբերությունները, որոնք և՛ ռեֆլեքսային, և՛ սիմետրիկ, և՛ անցումային են, համարժեք հարաբերություններ են:
Ելնելով վերը նշվածից՝ երկուական հարաբերությունների համարժեք հարաբերությունները որոշվում են հատկություններով.
- ռեֆլեքսիվություն - հարաբերակցություն (M ~ N);
- սիմետրիա - եթե հավասարությունը M ~ N է, ապա կլինի N ~ M;
- անցանելիություն - եթե երկու հավասարություն M ~ N և N ~ P, ապա արդյունքում M ~ P.
Եկեք ավելի մանրամասն քննարկենք երկուական հարաբերությունների հայտարարված հատկությունները: Ռեֆլեքսիվությունը որոշակի կապերի բնութագրիչներից է, որտեղ ուսումնասիրվող բազմության յուրաքանչյուր տարր գտնվում է իրեն տրված հավասարության մեջ։ Օրինակ՝ a=c և a³ c թվերի միջև կան ռեֆլեքսային կապեր, քանի որ միշտ a=a, c=c, a³ a, c³ c։ Միևնույն ժամանակ, a>c անհավասարության կապը հակառեֆլեքսիվ է՝ a>a անհավասարության գոյության անհնարինության պատճառով։ Այս հատկության աքսիոմը կոդավորված է նշաններով՝ aRc®aRa Ù cRc, այստեղ ® նշանը նշանակում է «ներառում է» (կամ «նշանակում է») բառը, իսկ Ù նշանը «և» միավորումն է (կամ կապ): Այս պնդումից հետևում է, որ եթե aRc դատողությունը ճշմարիտ է, ապա aRa և cRc արտահայտությունները նույնպես ճշմարիտ են։
Սիմետրիան ենթադրում է հարաբերությունների առկայություն, նույնիսկ եթե մտավոր առարկաները փոխվում են, այսինքն՝ սիմետրիկ հարաբերության դեպքում առարկաների վերադասավորումը չի հանգեցնում «երկուական հարաբերությունների» տիպի փոխակերպման։ Օրինակ՝ a=c հավասարության հարաբերությունը սիմետրիկ է՝ c=a հարաբերության համարժեքության պատճառով; a¹c առաջարկը նույնպես նույնն է, քանի որ այն համապատասխանում է¹a-ի հետ կապին։
Անցումային բազմությունը հատկություն է, որը բավարարում է հետևյալ պահանջը. Բանաձևը բանավոր ընթերցվում է հետևյալ կերպ. «Եթե y-ը կախված է x-ից, z-ը պատկանում է y-ին, ապա z-ն նույնպես կախված է x-ից»:
