Միջին և ավագ դպրոցի աշակերտները սովորում էին «Կտորակներ» թեման։ Այնուամենայնիվ, այս հայեցակարգը շատ ավելի լայն է, քան տրված է ուսումնական գործընթացում: Այսօր կոտորակ հասկացությունը բավականին հաճախ է հանդիպում, և ոչ բոլորը կարող են հաշվարկել որևէ արտահայտություն, օրինակ՝ կոտորակների բազմապատկում։
Ի՞նչ է կոտորակը:
Պատմականորեն այնպես է պատահել, որ կոտորակային թվերը հայտնվել են չափման անհրաժեշտության պատճառով: Ինչպես ցույց է տալիս պրակտիկան, հաճախ կան հատվածի երկարությունը, ուղղանկյուն զուգահեռանիպի ծավալը, ուղղանկյան մակերեսը որոշելու օրինակներ:
Սկզբում ուսանողներին ներկայացվում է բաժնետոմս հասկացությունը: Օրինակ, եթե ձմերուկը բաժանեք 8 մասի, ապա յուրաքանչյուրին կստանա ձմերուկի մեկ ութերորդ մասը։ Ութի այս մի մասը կոչվում է բաժնետոմս։
Ցանկացած արժեքի ½-ին հավասար բաժնետոմս կոչվում է կես; ⅓ - երրորդ; ¼ - քառորդ. Գրառումներ, ինչպիսիք են 5/8, 4/5, 2/4 կոչվում են սովորական կոտորակներ: Ընդհանուր կոտորակը բաժանվում էհամարիչ և հայտարար. Նրանց միջև կա կոտորակային գիծ կամ կոտորակային գիծ: Կոտորակի շերտը կարող է գծվել ինչպես հորիզոնական, այնպես էլ թեք գծի տեսքով: Այս դեպքում դա նշանակում է բաժանման նշան:
Հայտարարը ներկայացնում է, թե քանի հավասար բաժնետոմսի է բաժանված արժեքը, օբյեկտը. իսկ համարիչն այն է, թե քանի հավասար բաժին է վերցվում: Համարիչը գրված է կոտորակային գծի վերևում, հայտարարը՝ դրա տակ։
Առավել հարմար է սովորական կոտորակները ցույց տալ կոորդինատային ճառագայթի վրա: Եթե մեկ հատվածը բաժանված է 4 հավասար մասերի, յուրաքանչյուր մասը նշանակված է լատինատառով, ապա արդյունքում դուք կարող եք ստանալ հիանալի տեսողական օգնություն: Այսպիսով, A կետը ցույց է տալիս ամբողջ միավորի հատվածի 1/4-ին հավասար բաժին, իսկ B կետը նշում է 2/8 այս հատվածից։
Կոտորակների տարատեսակներ
Կոտորակները սովորական, տասնորդական և նաև խառը թվեր են: Բացի այդ, կոտորակները կարելի է բաժանել պատշաճ և ոչ պատշաճ: Այս դասակարգումն ավելի հարմար է սովորական կոտորակների համար։
Պատշական կոտորակը այն թիվն է, որի համարիչը փոքր է հայտարարից: Ըստ այդմ, ոչ պատշաճ կոտորակ է համարվում այն թիվը, որի համարիչը մեծ է հայտարարից: Երկրորդ տեսակը սովորաբար գրվում է որպես խառը թիվ։ Նման արտահայտությունը բաղկացած է ամբողջ թվից և կոտորակային մասից։ Օրինակ՝ 1½։ 1 - ամբողջ թիվ, ½ - կոտորակային: Այնուամենայնիվ, եթե դուք պետք է որոշ մանիպուլյացիաներ կատարեք արտահայտությամբ (կոտորակների բաժանում կամ բազմապատկում, դրանք կրճատում կամ փոխակերպում), խառը թիվը թարգմանվում է.ոչ պատշաճ կոտորակ.
Ճիշտ կոտորակային արտահայտությունը միշտ փոքր է մեկից, իսկ սխալը միշտ մեծ է կամ հավասար է 1-ի:
Ինչ վերաբերում է տասնորդական կոտորակներին, ապա այս արտահայտությունը հասկացվում է որպես ռեկորդ, որում ներկայացված է ցանկացած թիվ, որի կոտորակային արտահայտության հայտարարը կարող է արտահայտվել մի քանի զրո ունեցող մեկի միջոցով: Եթե կոտորակը ճիշտ է, ապա տասնորդական նշման ամբողջ թվային մասը կլինի զրո։
Տասնորդական թիվը գրելու համար նախ պետք է գրել ամբողջ մասը, այն բաժանել կոտորակայինից ստորակետով, ապա գրել կոտորակային արտահայտությունը: Պետք է հիշել, որ ստորակետից հետո համարիչը պետք է պարունակի այնքան թվային նիշ, որքան զրո կա հայտարարի մեջ։
Օրինակ. Ներկայացրե՛ք 7 կոտորակը 21/1000 տասնորդական նշումով:
Անպատշաճ կոտորակը խառը թվի և հակառակը փոխարկելու ալգորիթմ
Խնդիրի պատասխանում սխալ կոտորակ գրելը սխալ է, ուստի այն պետք է վերածվի խառը թվի:
- բաժանել համարիչը հասանելի հայտարարի վրա;
- հատուկ օրինակում թերի քանորդը ամբողջ թիվ է;
- և մնացորդը կոտորակային մասի համարիչն է, իսկ հայտարարը մնում է անփոփոխ։
Օրինակ. Անպատշաճ կոտորակը փոխարկեք խառը թվի՝ 47/5.
Որոշում. 47: 5. Մասնակի գործակիցը 9 է, մնացորդը=2: Այսպիսով, 47/5 =92/5.
Երբեմն անհրաժեշտ է խառը թիվը ներկայացնել որպես ոչ պատշաճ կոտորակ: Ապա դուք պետք է օգտագործեքհետևյալ ալգորիթմը՝
- ամբողջ թվային մասը բազմապատկվում է կոտորակային արտահայտության հայտարարով;
- ստացված արտադրանքը ավելացվում է համարիչին;
- արդյունքը գրվում է համարիչով, հայտարարը մնում է անփոփոխ։
Օրինակ. Արտահայտե՛ք խառը թիվը որպես ոչ պատշաճ կոտորակ՝ 98/10.
Որոշում. 9 x 10 + 8=90 + 8=98 համարիչն է։
Պատասխան՝ 98/10.
Ընդհանուր կոտորակների բազմապատկում
Սովորական կոտորակների վրա կարելի է կատարել տարբեր հանրահաշվական գործողություններ: Երկու թվեր բազմապատկելու համար անհրաժեշտ է համարիչը բազմապատկել համարիչով, իսկ հայտարարը՝ հայտարարով։ Ավելին, տարբեր հայտարարներով կոտորակների բազմապատկումը չի տարբերվում նույն հայտարարներով կոտորակային թվերի արտադրյալից։
Պատահում է, որ արդյունքը գտնելուց հետո պետք է կրճատել կոտորակը։ Ստացված արտահայտությունը հնարավորինս պարզեցնելը հրամայական է։ Իհարկե, չի կարելի ասել, որ պատասխանում ոչ պատշաճ կոտորակը սխալ է, բայց նաև դժվար է այն ճիշտ պատասխան անվանել։
Օրինակ. Գտեք երկու ընդհանուր կոտորակի արտադրյալը՝ ½ և 20/18.
Ինչպես երևում է օրինակից, արտադրյալը գտնելուց հետո մենք ստանում ենք կրճատված կոտորակային նշում: Այս դեպքում և՛ համարիչը, և՛ հայտարարը բաժանվում են 4-ի, և ստացվում է 5/9.5.
Տասնորդական կոտորակների բազմապատկում
Արվեստի գործտասնորդական կոտորակները բավականին տարբերվում են սովորական կոտորակների արտադրյալից իր սկզբունքով: Այսպիսով, կոտորակները բազմապատկելը հետևյալն է՝
- երկու տասնորդական կոտորակ պետք է գրվեն միմյանց տակ, որպեսզի ամենաաջ թվանշանները լինեն մեկը մյուսի տակ;
- պետք է բազմապատկել գրված թվերը, չնայած ստորակետներին, այսինքն՝ որպես բնական թվեր;
- հաշվարկել յուրաքանչյուր թվի ստորակետից հետո թվանշանների քանակը;
- Բազմապատկելուց հետո ստացված արդյունքում անհրաժեշտ է աջ կողմում հաշվել այնքան թվային նիշ, որքան գումարում կա երկու գործակիցների գումարում տասնորդական կետից հետո և դնել բաժանարար նշան;
- եթե արտադրյալում ավելի քիչ թվանշաններ կան, ապա պետք է դրանց դիմաց գրել այնքան զրո, որպեսզի ծածկվի այս թիվը, դնել ստորակետ և նշանակել զրոյի հավասար ամբողջ մաս:
Օրինակ. Հաշվե՛ք երկու տասնորդականների արտադրյալը՝ 2, 25 և 3, 6։
Որոշում.
Խառը կոտորակների բազմապատկում
Երկու խառը կոտորակների արտադրյալը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է օգտագործել կոտորակների բազմապատկման կանոնը՝
- փոխարկել խառը թվերը ոչ պատշաճ կոտորակների;
- գտեք համարիչների արտադրյալը;
- գտեք հայտարարների արտադրյալը;
- գրեք արդյունքը;
- հեշտացնել արտահայտությունը որքան հնարավոր է:
Օրինակ. Գտեք 4½ և 62/5.
Թիվը բազմապատկել կոտորակի վրա(կոտորակներ մեկ թվի համար)
Բացի երկու կոտորակների, խառը թվերի արտադրյալը գտնելուց, կան առաջադրանքներ, որտեղ անհրաժեշտ է բնական թիվը բազմապատկել կոտորակի վրա:
Այսպիսով, տասնորդական կոտորակի և բնական թվի արտադրյալը գտնելու համար անհրաժեշտ է՝
- գրեք թիվը կոտորակի տակ այնպես, որ ամենաաջ թվանշանները մեկը մյուսից վեր լինեն;
- գտնել ապրանքը չնայած ստորակետին;
- Արդյունքում ստորակետով անջատեք ամբողջ մասը կոտորակայինից՝ աջ հաշվելով նիշերի թիվը, որը գտնվում է կոտորակի տասնորդական կետից հետո։
Սովորական կոտորակը թվով բազմապատկելու համար պետք է գտնել համարիչի և բնական գործոնի արտադրյալը: Եթե պատասխանը կրճատված կոտորակ է, այն պետք է փոխարկվի։
Օրինակ. Հաշվեք 5/8 և 12.-ի արտադրյալը:
Որոշում. 5/812=(512)/8=60/8 =30/4 =15/2 =71/2.
Պատասխան՝ 71/2.
Ինչպես տեսնում եք նախորդ օրինակից, անհրաժեշտ էր կրճատել ստացված արդյունքը և սխալ կոտորակային արտահայտությունը վերածել խառը թվի։
Նաև կոտորակների բազմապատկումը վերաբերում է նաև խառը ձևով և բնական գործակից թվի արտադրյալը գտնելուն։ Այս երկու թվերը բազմապատկելու համար պետք է խառը գործակիցի ամբողջ մասը բազմապատկել թվով, համարիչը բազմապատկել նույն արժեքով և հայտարարը թողնել անփոփոխ։ Անհրաժեշտության դեպքում հնարավորինս պարզեցրեք արդյունքը։
Օրինակ. Գտնել95/6 և 9.-ի արտադրյալը
Որոշում. 95/6 x 9=9 x 9 + (5 x 9)/ 6 =81 + 45/6 =81 + 73/ 6 =881/2.
Պատասխան՝ 881/2.
Բազմապատկել 10, 100, 1000 կամ 0, 1 գործակիցներով; 0,01; 0, 001
Հետևյալ կանոնը բխում է նախորդ պարբերությունից. Տասնորդական կոտորակը 10-ով, 100-ով, 1000-ով, 10000-ով և այլնով բազմապատկելու համար հարկավոր է ստորակետը աջ տեղափոխել այնքան թվանշաններով, որքան զրոները մեկից հետո բազմապատկիչում:
Օրինակ 1. Գտե՛ք 0, 065 և 1000 թվերի արտադրյալը։
Որոշում. 0,065 x 1000=0065=65.
Պատասխան՝ 65.
Օրինակ 2. Գտեք 3-ի, 9-ի և 1000-ի արտադրյալը։
Որոշում. 3,9 x 1000=3,900 x 1000=3900:
Պատասխան՝ 3900.
Եթե Ձեզ անհրաժեշտ է բազմապատկել բնական թիվ և 0, 1; 0,01; 0,001; 0, 0001 և այլն, ստացված արդյունքում ստորակետը պետք է ձախ տեղափոխեք այնքան թվանշաններով, որքան մեկից առաջ զրոներ կան: Անհրաժեշտության դեպքում բնական թվից առաջ գրվում են բավարար թվով զրոներ։
Օրինակ 1. Գտեք 56-ի և 0-ի, 01-ի արտադրյալը։
Որոշում. 56 x 0.01=0056=0.56.
Պատասխան՝ 0, 56.
Օրինակ 2. Գտեք 4-ի և 0-ի արտադրյալը 001:
Որոշում. 4 x 0,001=0004=0,004.
Պատասխան՝ 0, 004.
Այնպես որ, տարբեր կոտորակների արտադրյալը գտնելը չպետք է դժվար լինի, բացի միգուցե արդյունքի հաշվարկից. Այս դեպքում դուք պարզապես չեք կարող անել առանց հաշվիչի:
