Բերտրանի պարադոքսը խնդիր է հավանականությունների տեսության դասական մեկնաբանության մեջ: Ջոզեֆը այն ներկայացրել է իր «Հավանականությունների հաշվարկ» աշխատության մեջ (1889), որպես օրինակ, որ հավանականությունները չեն կարող լավ սահմանվել, եթե մեխանիզմը կամ մեթոդը արտադրում է պատահական փոփոխական:
Խնդրի հայտարարություն
Բերտրանի պարադոքսը հետևյալն է.
Նախ, դիտարկեք շրջանագծի մեջ ներգծված հավասարակողմ եռանկյուն: Այս դեպքում տրամագիծը ընտրվում է պատահականորեն: Որքա՞ն է հավանականությունը, որ այն երկար է եռանկյան կողմից:
Բերտրանը երեք փաստարկ բերեց, որոնք բոլորն էլ ճիշտ են թվում, բայց տարբեր արդյունքներ են տալիս:
Պատահական վերջնակետի մեթոդ
Դուք պետք է ընտրեք երկու տեղ շրջանագծի վրա և գծեք դրանք միացնող աղեղ: Հաշվարկի համար դիտարկվում է Բերտրանի հավանականության պարադոքսը։ Պետք է պատկերացնել, որ եռանկյունը պտտվում է այնպես, որ նրա գագաթը համընկնում է ակորդի ծայրակետերից մեկի հետ։ Արժե վճարելՈւշադրություն դարձրեք, որ եթե մյուս մասը գտնվում է երկու տեղերի միջև ընկած աղեղի վրա, ապա շրջանագիծն ավելի երկար է, քան եռանկյան կողմը: Աղեղի երկարությունը շրջանագծի մեկ երրորդն է, ուստի պատահական ակորդի ավելի երկար լինելու հավանականությունը 1/3 է։
Ընտրության եղանակ
Անհրաժեշտ է ընտրել շրջանագծի շառավիղը և դրա վրա գտնվող կետը։ Դրանից հետո դուք պետք է ակորդ կառուցեք այս վայրի միջով, տրամագծին ուղղահայաց: Հավանականությունների տեսության Բերտրանի դիտարկվող պարադոքսը հաշվարկելու համար պետք է պատկերացնել, որ եռանկյունը պտտվում է այնպես, որ կողմը ուղղահայաց լինի շառավղին։ Ակորդն ավելի երկար է, քան ոտքը, եթե ընտրված կետն ավելի մոտ է շրջանագծի կենտրոնին: Եվ այս դեպքում եռանկյան կողմը կիսում է շառավիղը: Հետևաբար, հավանականությունը, որ ակորդն ավելի երկար է, քան մակագրված պատկերի կողմը, 1/2 է։
Պատահական ակորդներ
Միջնակետ մեթոդ. Շրջանակի վրա պետք է տեղ ընտրել և տրված միջինով ակորդ ստեղծել։ Առանցքն ավելի երկար է, քան ներգծված եռանկյան եզրը, եթե ընտրված տեղը գտնվում է 1/2 շառավղով համակենտրոն շրջանագծի մեջ: Փոքր շրջանի մակերեսը մեծ թվի մեկ չորրորդն է: Հետևաբար, պատահական ակորդի հավանականությունն ավելի երկար է, քան ներգծված եռանկյան կողմը և հավասար է 1/4-ի։
Ինչպես ներկայացվեց վերևում, ընտրության մեթոդները տարբերվում են տրամագծով որոշակի ակորդներին տրվող քաշով: Մեթոդ 1-ում յուրաքանչյուր ակորդ կարող է ընտրվել ճիշտ մեկ ձևով, անկախ նրանից՝ տրամագիծ է, թե ոչ:
Մեթոդ 2-ում յուրաքանչյուր ուղիղ գիծ կարելի է ընտրել երկու եղանակով: Մինչդեռ կընտրվի ցանկացած այլ ակորդհնարավորություններից միայն մեկը։
Մեթոդ 3-ում յուրաքանչյուր միջնակետի ընտրություն ունի մեկ պարամետր: Բացառությամբ շրջանագծի կենտրոնի, որը բոլոր տրամագծերի միջնակետն է: Այս խնդիրներից կարելի է խուսափել՝ «պատվիրելով» բոլոր հարցերը՝ բացառելու պարամետրերը՝ չազդելով ստացված հավանականությունների վրա:
Ընտրեք մեթոդները կարող են նաև պատկերացվել հետևյալ կերպ. Այն ակորդը, որը տրամագիծ չէ, եզակիորեն նույնացվում է իր միջնակետով: Վերևում ներկայացված երեք ընտրության մեթոդներից յուրաքանչյուրը արտադրում է միջինի տարբեր բաշխում: Իսկ 1-ին և 2-րդ տարբերակները ապահովում են երկու տարբեր ոչ միատեսակ բաժանումներ, մինչդեռ 3-րդ մեթոդը տալիս է միատեսակ բաշխում:
Բերտրանի խնդրի լուծման դասական պարադոքսը կախված է այն մեթոդից, որով ակորդն ընտրվում է «պատահական» սկզբունքով։ Ստացվում է, որ եթե նախապես նշվում է պատահական ընտրության մեթոդ, խնդիրն ունի հստակ սահմանված լուծում։ Դա պայմանավորված է նրանով, որ յուրաքանչյուր առանձին մեթոդ ունի ակորդների իր բաշխումը: Բերտրանի ցուցադրած երեք որոշումները համապատասխանում են ընտրության տարբեր եղանակներին, և լրացուցիչ տեղեկությունների բացակայության դեպքում որևէ պատճառ չկա մեկը մյուսի նկատմամբ գերադասելու: Ըստ այդմ, նշված խնդիրը չունի մեկ լուծում։
Օրինակ, թե ինչպես կարելի է ընդհանուր պատասխանը եզակի դարձնել, պետք է նշել, որ ակորդի վերջնակետերը հավասարապես տեղակայված են 0-ի և c-ի միջև, որտեղ c-ն շրջանագծի շրջագիծն է: Այս բաշխումը նույնն է, ինչ Բերտրանի առաջին արգումենտում, և արդյունքում եզակի հավանականությունը կլինի 1/3:
Բերտրան Ռասելի այս պարադոքսը և դասականի այլ յուրահատկություններըհնարավորության մեկնաբանությունները արդարացնում են ավելի խիստ ձևակերպումները: Ներառյալ հավանականության հաճախականությունը և սուբյեկտիվիստական Բայեսյան տեսությունը:
Ի՞նչն է ընկած Բերտրանի պարադոքսի հիմքում
Իր 1973 թվականի «Լավ դրված խնդիրը» հոդվածում Էդվին Ջեյնսն առաջարկեց իր եզակի լուծումը։ Նա նշեց, որ Բերտրանի պարադոքսը հիմնված է «առավելագույն անտեղյակության» սկզբունքի վրա հիմնված նախադրյալի վրա։ Սա նշանակում է, որ դուք չպետք է օգտագործեք որևէ տեղեկատվություն, որը նշված չէ խնդրի հայտարարության մեջ: Ջեյնսը նշել է, որ Բերտրանի խնդիրը չի որոշում շրջանի դիրքը կամ չափը։ Եվ պնդում էր, որ, հետևաբար, ցանկացած հստակ և օբյեկտիվ որոշում պետք է «անտարբեր» լինի չափի և դիրքի նկատմամբ։
Պատկերազարդման նպատակով
Ենթադրենք, որ բոլոր ակորդները պատահականորեն տեղադրված են 2 սմ շրջանագծի վրա, այժմ պետք է հեռվից ծղոտներ նետել դրա վրա։
Այնուհետև պետք է վերցնել ավելի փոքր տրամագծով մեկ այլ շրջան (օրինակ՝ 1 սանտիմետր), որը տեղավորվում է ավելի մեծ պատկերի մեջ։ Այնուհետև այս փոքր շրջանի վրա ակորդների բաշխումը պետք է լինի նույնը, ինչ առավելագույնի վրա: Եթե երկրորդ ցուցանիշը նույնպես շարժվում է առաջինի ներսում, ապա հավանականությունը, սկզբունքորեն, չպետք է փոխվի: Շատ հեշտ է տեսնել, որ 3-րդ մեթոդի դեպքում տեղի կունենա հետևյալ փոփոխությունը. փոքր կարմիր շրջանակի վրա ակորդների բաշխումը որակապես տարբեր կլինի մեծ շրջանի բաշխումից:
Նույնը տեղի է ունենում 1-ին մեթոդի դեպքում: Չնայած այն ավելի դժվար է տեսնել գրաֆիկական տեսքով:
Մեթոդ 2-ը միակն էորը և՛ սանդղակ է, և՛ թարգմանության անփոփոխ:
Մեթոդ թիվ 3 կարծես թե պարզապես ընդարձակելի է:
Մեթոդ 1-ը ոչ մեկը չէ:
Սակայն Ջեյնսը հեշտությամբ չօգտագործեց ինվարիանտներ՝ ընդունելու կամ մերժելու այս մեթոդները: Սա հնարավորություն կթողնի, որ կա մեկ այլ չնկարագրված մեթոդ, որը կհամապատասխանի դրա ողջամիտ իմաստի ասպեկտներին: Ջեյնսը կիրառել է անփոփոխությունները նկարագրող ինտեգրալ հավասարումներ։ Ուղղակիորեն որոշելու հավանականության բաշխումը: Նրա խնդրի մեջ ինտեգրալ հավասարումները իսկապես ունեն եզակի լուծում, և դա հենց այն է, ինչ կոչվում էր երկրորդ պատահական շառավիղի մեթոդ վերևում:
2015 թվականի աշխատության մեջ Ալոն Դրորին պնդում է, որ Ջեյնսի սկզբունքը կարող է տալ նաև երկու այլ Բերտրան լուծումներ: Հեղինակը վստահեցնում է, որ ինվարիանտության վերոնշյալ հատկությունների մաթեմատիկական իրականացումը եզակի չէ, այլ կախված է այն հիմնական պատահական ընտրության ընթացակարգից, որը մարդը որոշում է օգտագործել: Նա ցույց է տալիս, որ երեք Բերտրանդի լուծումներից յուրաքանչյուրը կարելի է ստանալ՝ օգտագործելով պտտվող, մասշտաբային և թարգմանական անփոփոխություն։ Միևնույն ժամանակ, եզրակացնելով, որ Ջեյնսի սկզբունքը նույնքան ենթակա է մեկնաբանության, որքան բուն անտարբերության եղանակը:
Ֆիզիկական փորձեր
Մեթոդ 2-ը միակ լուծումն է, որը բավարարում է փոխակերպման ինվարիանտները, որոնք առկա են հատուկ ֆիզիոլոգիական հասկացություններում, ինչպիսիք են վիճակագրական մեխանիկան և գազի կառուցվածքը: Նաև առաջարկվողՋեյնսի փորձը՝ փոքր շրջանից ծղոտներ նետելու մասին։
Սակայն կարող են նախագծվել այլ գործնական փորձեր, որոնք պատասխաններ են տալիս այլ մեթոդների համաձայն: Օրինակ, առաջին պատահական վերջնակետի մեթոդի լուծմանը հասնելու համար կարող եք հաշվիչը կցել տարածքի կենտրոնում: Եվ թող երկու անկախ պտույտի արդյունքները ընդգծեն ակորդի վերջնական տեղերը։ Երրորդ մեթոդի լուծմանը հասնելու համար կարելի է շրջանը ծածկել, օրինակ, մելասով, և որպես միջին ակորդ նշել առաջին կետը, որի վրա իջնում է ճանճը։ Մի քանի խորհրդածողներ ստեղծել են ուսումնասիրություններ՝ տարբեր եզրակացություններ անելու համար և արդյունքները հաստատել են էմպիրիկ եղանակով:
Վերջին իրադարձություններ
Իր 2007 թվականի «Բերտրանի պարադոքսը և անտարբերության սկզբունքը» հոդվածում Նիկոլաս Շաքելը պնդում է, որ ավելի քան մեկ դար անց խնդիրը դեռևս մնում է չլուծված։ Նա շարունակում է հերքել անտարբերության սկզբունքը։ Ավելին, Դարել Ռ. Ռոբոթոմը իր 2013 թվականի «Բերտրան Ռասելի պարադոքսը վերանայված. ինչու բոլոր լուծումները գործնական չեն» աշխատության մեջ ցույց է տալիս, որ բոլոր առաջարկված որոշումները կապ չունեն իր հարցի հետ: Այսպիսով, պարզվեց, որ պարադոքսը լուծելը շատ ավելի դժվար կլինի, քան նախկինում կարծում էին։
Շաքելն ընդգծում է, որ մինչ այժմ բազմաթիվ գիտնականներ և գիտությունից հեռու մարդիկ փորձել են լուծել Բերտրանի պարադոքսը։ Այն դեռ հաղթահարվում է երկու տարբեր մոտեցումների օգնությամբ։
Նրանք, որոնցում դիտարկվել է ոչ համարժեք խնդիրների տարբերությունը, և նրանք, որոնցում խնդիրը միշտ ճիշտ է համարվել: Շաքելը մեջբերում է Լուիին իր գրքերումՄարինոֆը (որպես տարբերակման ռազմավարության բնորոշ արտահայտիչ) և Էդվին Ջեյնսը (որպես լավ մտածված տեսության հեղինակ):
Սակայն իրենց վերջին աշխատության մեջ «Լուծելով բարդ խնդիր» Դիեդերիկ Աերցը և Մասիմիլիանո Սասոլի դե Բյանկին կարծում են, որ Բերտրանի պարադոքսը լուծելու համար նախադրյալները պետք է փնտրել խառը ռազմավարության մեջ: Ըստ այս հեղինակների, առաջին քայլը խնդիրը շտկելն է՝ հստակ նշելով պատահականացված կազմակերպության բնույթը: Եվ միայն դա անելուց հետո ցանկացած խնդիր կարելի է ճիշտ համարել։ Ահա թե ինչ է մտածում Ջեյնսը։
Ուրեմն առավելագույն անտեղյակության սկզբունքով կարելի է լուծել այն։ Այդ նպատակով, և քանի որ խնդիրը չի հստակեցնում, թե ինչպես պետք է ընտրել ակորդը, սկզբունքը կիրառվում է ոչ թե տարբեր հնարավորությունների մակարդակով, այլ շատ ավելի խորը:
Մասերի ընտրություն
Խնդիրի այս մասը պահանջում է մետամիջինի հաշվարկ բոլոր հնարավոր եղանակներով, որը հեղինակներն անվանում են համընդհանուր միջին: Դրանով զբաղվելու համար նրանք օգտագործում են դիսկրետացման մեթոդը։ Ոգեշնչված նրանից, թե ինչ է արվում Վիների գործընթացներում հավանականության օրենքի սահմանման հարցում։ Նրանց արդյունքը համահունչ է Ջեյնսի թվային հետևությանը, թեև նրանց լավ դրված խնդիրը տարբերվում է սկզբնական հեղինակի խնդրից:
Տնտեսագիտության և առևտրի մեջ Բերտրան պարադոքսը, որն անվանվել է իր ստեղծող Ջոզեֆ Բերտրանի անունով, նկարագրում է մի իրավիճակ, երբ երկու խաղացողներ (ընկերություններ) հասնում են Նեշի հավասարակշռության: Երբ երկու ընկերությունները սահմանում են սահմանային արժեքին հավասար գին(MS).
Բերտրանի պարադոքսը հիմնված է մի նախադրյալի վրա: Այն կայանում է նրանում, որ այնպիսի մոդելներում, ինչպիսին է Cournot-ի մրցակցությունը, ֆիրմաների թվի աճը կապված է սահմանային ծախսերի հետ գների մերձեցման հետ: Այս այլընտրանքային մոդելներում Բերտրանի պարադոքսը գտնվում է փոքր թվով ընկերությունների օլիգոպոլիայի մեջ, որոնք դրական շահույթ են ստանում՝ գները ինքնարժեքից բարձր գանձելով:
Սկզբից արժե ենթադրել, որ երկու A և B ընկերությունները վաճառում են միատարր արտադրանք, որոնցից յուրաքանչյուրն ունի արտադրության և բաշխման նույն արժեքը: Այստեղից հետևում է, որ գնորդները ապրանքն ընտրում են բացառապես գնի հիման վրա։ Սա նշանակում է, որ պահանջարկը անսահման գնային առաձգական է: Ոչ A-ն, ոչ B-ն ավելի բարձր գին չեն սահմանի, քան մյուսները, քանի որ դա կհանգեցնի Բերտրանի ողջ պարադոքսի փլուզմանը: Շուկայի մասնակիցներից մեկը կզիջի իր մրցակցին։ Եթե նրանք սահմանեն նույն գինը, ընկերությունները կկիսեն շահույթը։
Մյուս կողմից, եթե որևէ ընկերություն թեկուզ մի փոքր իջեցնի իր գինը, նա կստանա ամբողջ շուկան և զգալիորեն ավելի բարձր եկամտաբերություն: Քանի որ A-ն և B-ն գիտեն դա, նրանք յուրաքանչյուրը կփորձի զիջել մրցակցին, մինչև ապրանքը վաճառվի զրոյական տնտեսական շահույթով:
Վերջին աշխատանքը ցույց է տվել, որ Բերտրանի խառը ռազմավարության պարադոքսի մեջ կարող է լինել հավելյալ հավասարակշռություն՝ դրական տնտեսական շահույթով, պայմանով, որ մենաշնորհի գումարն անսահման է: Վերջնական շահույթի դեպքում ցույց է տրվել, որ գների մրցակցության պայմաններում դրական աճն անհնար է խառը հավասարակշռության և նույնիսկ ավելի ընդհանուր դեպքում.փոխկապակցված համակարգեր։
Իրականում, Բերտրանի պարադոքսը տնտեսագիտության մեջ հազվադեպ է նկատվում պրակտիկայում, քանի որ իրական արտադրանքը գրեթե միշտ տարբերվում է այլ կերպ, քան գինը (օրինակ՝ պիտակի համար գերավճարը): Ընկերություններն ունեն արտադրելու և բաշխելու իրենց կարողության սահմանափակումներ: Ահա թե ինչու երկու ձեռնարկություններ հազվադեպ են ունենում նույն ծախսերը:
Բերտրանի արդյունքը պարադոքսալ է, քանի որ եթե ընկերությունների թիվն ավելանում է մեկից երկուսի, գինը մենաշնորհից իջնում է մրցակցային և մնում է նույն մակարդակի վրա, ինչ դրանից հետո ավելանում է ընկերությունների թիվը: Սա այնքան էլ իրատեսական չէ, քանի որ իրականում շուկայական հզորությամբ քիչ ընկերություններ ունեցող շուկաները հակված են գները գանձել սահմանային արժեքից բարձր: Էմպիրիկ վերլուծությունը ցույց է տալիս, որ երկու մրցակից ունեցող արդյունաբերությունների մեծ մասը դրական շահույթ է ստեղծում:
Ժամանակակից աշխարհում գիտնականները փորձում են պարադոքսի համար լուծումներ գտնել, որոնք ավելի համահունչ են մրցակցության Cournot մոդելին: Երբ շուկայում երկու ընկերություններ դրական շահույթներ են ստանում, որոնք գտնվում են կատարյալ մրցակցային և մենաշնորհային մակարդակների միջև:
Որոշ պատճառներ, թե ինչու Բերտրանի պարադոքսն ուղղակիորեն կապված չէ տնտեսագիտության հետ.
- Հզորությունների սահմանափակում. Երբեմն ձեռնարկությունները բավարար կարողություններ չունեն ամբողջ պահանջարկը բավարարելու համար: Այս կետը առաջին անգամ բարձրացրեց Ֆրենսիս Էջվորթը և առաջ բերեց Բերտրան-Էջվորթ մոդելը:
- Ամբողջ թվային գներ. ԲԿ-ից բարձր գները բացառվում են, քանի որ մի ընկերություն կարող է պատահականորեն ցածր գներ մյուսից:փոքր քանակությամբ: Եթե գները դիսկրետ են (օրինակ, դրանք պետք է ընդունեն ամբողջ արժեքներ), ապա մի ընկերություն պետք է նվազի մյուսին առնվազն մեկ ռուբլով: Սա ենթադրում է, որ մանր արժույթի արժեքը MC-ից բարձր է: Եթե մեկ այլ ընկերություն դրա համար ավելի բարձր գին է սահմանում, մեկ այլ ընկերություն կարող է իջեցնել այն և գրավել ամբողջ շուկան, Բերտրանի պարադոքսը հենց դրանում է կայանում: Դա նրան ոչ մի շահույթ չի բերի: Այս բիզնեսը կգերադասի 50/50 վաճառքները կիսել մեկ այլ ընկերության հետ և ստանալ զուտ դրական եկամուտ:
- Ապրանքի տարբերակում. Եթե տարբեր ֆիրմաների ապրանքները տարբերվում են միմյանցից, ապա սպառողները կարող են ամբողջությամբ չանցնել ավելի ցածր գնով ապրանքների։
- Դինամիկ մրցույթ. Կրկնվող փոխազդեցությունը կամ կրկնվող գնային մրցակցությունը կարող է հանգեցնել արժեքի հավասարակշռության:
- Ավելի շատ ապրանքներ ավելի բարձր գումարի դիմաց: Սա հետևում է կրկնվող փոխազդեցությունից: Եթե մի ընկերություն իր գինը սահմանի մի փոքր ավելի բարձր, այն դեռ կստանա մոտավորապես նույն քանակությամբ գնումներ, բայց ավելի շատ շահույթ մեկ ապրանքի համար: Հետևաբար մյուս ընկերությունը կավելացնի իր նշագրումը և այլն (միայն կրկնությունների դեպքում, հակառակ դեպքում դինամիկան գնում է այլ ուղղությամբ):
Օլիգոպոլիա
Եթե երկու ընկերություններ կարող են պայմանավորվել գնի շուրջ, ապա նրանց երկարաժամկետ շահերից է բխում համաձայնագրի պահպանմանը. սեփական գներ.
Տեսությունհավանականությունները (ինչպես մնացած մաթեմատիկան) իրականում վերջերս գյուտ է: Իսկ զարգացումը հարթ չի եղել։ Հավանականության հաշվարկը պաշտոնականացնելու առաջին փորձերն արվել են մարկիզ դե Լապլասի կողմից, ով առաջարկել է հասկացությունը սահմանել որպես արդյունքի տանող իրադարձությունների քանակի հարաբերակցություն:
:
Սա, իհարկե, իմաստ ունի միայն այն դեպքում, եթե բոլոր հնարավոր իրադարձությունների թիվը վերջավոր է: Եվ բացի այդ, բոլոր իրադարձությունները հավասարապես հավանական են։
Այսպիսով, այն ժամանակ այդ հասկացությունները կարծես ամուր հիմքեր չունեին: Սահմանումը ընդլայնելու փորձերը անսահման թվով իրադարձությունների դեպքում հանգեցրել են ավելի մեծ դժվարությունների: Բերտրանի պարադոքսը նման բացահայտումներից մեկն է, որը ստիպել է մաթեմատիկոսներին զգուշանալ հավանականության ողջ հայեցակարգից:
