2-րդ կարգի մակերեսներ. օրինակներ

2024 Հեղինակ: Angel Austin | [email protected]. Վերջին փոփոխված: 2024-01-02 17:49

Աշակերտը ամենից հաճախ հանդիպում է 2-րդ կարգի մակերեսների առաջին կուրսում։ Սկզբում այս թեմայի առաջադրանքները կարող են պարզ թվալ, բայց երբ դուք ուսումնասիրում եք բարձրագույն մաթեմատիկա և խորանում եք գիտական կողմի մեջ, վերջապես կարող եք դադարել կողմնորոշվել այն ամենի մեջ, ինչ կատարվում է: Որպեսզի դա տեղի չունենա, անհրաժեշտ է ոչ միայն անգիր անել, այլև հասկանալ, թե ինչպես է ստացվում այս կամ այն մակերևույթը, ինչպես է գործակիցների փոփոխությունն ազդում դրա վրա և դրա գտնվելու վայրի վրա՝ բնօրինակ կոորդինատային համակարգի համեմատ, և ինչպես գտնել նոր համակարգ։ (մեկը, որի կենտրոնը համընկնում է սկզբնական կոորդինատների հետ, իսկ համաչափության առանցքը զուգահեռ է կոորդինատային առանցքներից մեկին)։ Սկսենք սկզբից։

Սահմանում

GMT կոչվում է 2-րդ կարգի մակերես, որի կոորդինատները բավարարում են հետևյալ ձևի ընդհանուր հավասարումը.

F(x, y, z)=0.

Հասկանալի է, որ մակերեսին պատկանող յուրաքանչյուր կետ պետք է ունենա երեք կոորդինատ՝ որոշակի նշանակված հիմքով: Թեև որոշ դեպքերում կետերի տեղը կարող է այլասերվել, օրինակ, հարթության մեջ: Դա միայն նշանակում է, որ կոորդինատներից մեկը հաստատուն է և հավասար է զրոյի ընդունելի արժեքների ողջ տիրույթում:

Վերոնշյալ հավասարության ամբողջական ներկված ձևն ունի հետևյալ տեսքը՝

A₁₁x²+A₂₂y² +A₃₃z²+2A₁₂xy+2A₂₃ yz+2A₁₃xz+2A₁₄x+2A₂₄y+2A ₃₄z+A_44=0.

A_{nm – որոշ հաստատուններ, x, y, z – փոփոխականներ, որոնք համապատասխանում են որոշակի կետի աֆինային կոորդինատներին։ Այս դեպքում հաստատուն գործակիցներից առնվազն մեկը չպետք է հավասար լինի զրոյի, այսինքն՝ ոչ մի կետ չի համապատասխանի հավասարմանը։}

Օրինակների ճնշող մեծամասնության մեջ շատ թվային գործոններ դեռ նույնականորեն հավասար են զրոյի, և հավասարումը շատ պարզեցված է: Գործնականում դժվար չէ որոշել, թե արդյոք կետը պատկանում է մակերեսին (բավական է փոխարինել դրա կոորդինատները հավասարման մեջ և ստուգել, թե արդյոք նույնականությունը պահպանված է): Նման աշխատանքի առանցքային կետը վերջինիս կանոնական ձևի բերելն է։

Վերևում գրված հավասարումը սահմանում է 2-րդ կարգի ցանկացած (ներքևում նշված բոլոր) մակերեսները: Օրինակները կքննարկենք ստորև։

2-րդ կարգի մակերեսների տեսակներ

2-րդ կարգի մակերևույթների հավասարումները տարբերվում են միայն A_{nm գործակիցների արժեքներով: Ընդհանուր տեսակետից հաստատունների որոշակի արժեքների համար կարելի է ձեռք բերել տարբեր մակերեսներ, որոնք դասակարգվում են հետևյալ կերպ՝}

1. Բալոններ.
2. Էլիպտիկ տեսակ։
3. Հիպերբոլիկ տեսակ։
4. Կոնիկ տեսակ։
5. Պարաբոլիկ տեսակ։
6. Ինքնաթիռներ.

Թվարկված տեսակներից յուրաքանչյուրն ունի բնական և երևակայական ձև. երևակայական ձևով իրական կետերի տեղը կամ վերածվում է ավելի պարզ պատկերի, կամ ընդհանրապես բացակայում է:

Բալոններ

Սա ամենապարզ տեսակն է, քանի որ համեմատաբար բարդ կորը գտնվում է միայն հիմքում և հանդես է գալիս որպես ուղեցույց: Գեներատորները ուղիղ գծեր են, որոնք ուղղահայաց են այն հարթությանը, որում գտնվում է հիմքը։

Գծանկարը ցույց է տալիս շրջանաձև գլան, էլիպսաձև գլան: XY հարթությունում դրա պրոյեկցիան կլինի էլիպս (մեր դեպքում՝ շրջան)՝ ուղեցույց, իսկ XZ-ում՝ ուղղանկյուն, քանի որ գեներատորները զուգահեռ են Z առանցքին: Ընդհանուր հավասարումից ստանալու համար անհրաժեշտ է. գործակիցներին տալ հետևյալ արժեքները՝

Սովորական նշանների փոխարեն օգտագործվում է x, y, z, x սերիական համարով - դա նշանակություն չունի:

Իրականում, 1/a2և այստեղ նշված մյուս հաստատունները նույն գործակիցներն են, որոնք նշված են ընդհանուր հավասարման մեջ, բայց ընդունված է գրել դրանք այս ձևով. կանոնական ներկայացուցչությունը. Ավելին, կօգտագործվի միայն նման նշում:

Այսպես է սահմանվում հիպերբոլիկ գլան: Սխեման նույնն է. հիպերբոլը կլինի ուղեցույցը:

y2=2px

Պարաբոլիկ մխոցը որոշվում է մի փոքր այլ կերպ. նրա կանոնական ձևը ներառում է p գործակից, որը կոչվում է պարամետր: Փաստորեն, գործակիցը հավասար է q=2p, սակայն ընդունված է այն բաժանել ներկայացված երկու գործոնի։

Կա մեկ այլ տեսակի գլան՝ երևակայական: Ոչ մի իրական կետ նման գլանին չի պատկանում։ Այն նկարագրված է հավասարմամբէլիպսաձև գլան, բայց միավորի փոխարեն -1 է։

Էլիպտիկ տեսակ

Էլիպսոիդը կարող է ձգվել առանցքներից մեկի երկայնքով (որի երկայնքով դա կախված է վերևում նշված a, b, c հաստատունների արժեքներից. ակնհայտ է, որ ավելի մեծ գործակիցը կհամապատասխանի ավելի մեծ առանցքին.).

Կա նաև երևակայական էլիպսոիդ - պայմանով, որ կոորդինատների գումարը գործակիցներով բազմապատկած լինի -1:

Հիպերբոլոիդներ

Երբ հաստատուններից մեկում հայտնվում է մինուս, էլիպսոիդ հավասարումը վերածվում է միաշերտ հիպերբոլոիդի հավասարման: Պետք է հասկանալ, որ այս մինուսը պարտադիր չէ, որ գտնվի x₃ կոորդինատից առաջ: Այն միայն որոշում է, թե առանցքներից որն է լինելու հիպերբոլոիդի պտտման առանցքը (կամ դրան զուգահեռ, քանի որ այն ժամանակվանից, երբ լրացուցիչ տերմիններ հայտնվեն քառակուսու վրա (օրինակ՝ (x-2)^{2 Նկարի կենտրոնը տեղաշարժվում է, արդյունքում մակերեսը շարժվում է կոորդինատային առանցքներին զուգահեռ): Սա վերաբերում է բոլոր 2-րդ կարգի մակերեսներին:}

Բացի այդ, դուք պետք է հասկանաք, որ հավասարումները ներկայացված են կանոնական տեսքով և դրանք կարող են փոփոխվել հաստատունները փոխելով (նշանը պահպանված է): մինչդեռ դրանց ձևը (հիպերբոլոիդ, կոն և այլն) կմնա նույնը։

Այս հավասարումն արդեն տրված է երկշերտ հիպերբոլոիդով։

Կոնիկ մակերես

Կոնի հավասարման մեջ միավոր չկա՝ հավասարություն զրոյի:

Միայն սահմանափակված կոնաձև մակերեսն է կոչվում կոն: Ստորև նկարը ցույց է տալիս, որ իրականում գծապատկերում կլինեն երկու այսպես կոչված կոն։

Կարևոր նշում. բոլոր դիտարկված կանոնական հավասարումներում հաստատունները լռելյայն ընդունվում են դրական: Հակառակ դեպքում նշանը կարող է ազդել վերջնական գծապատկերի վրա:

Կորդինատային հարթությունները դառնում են կոնի համաչափության հարթություններ, համաչափության կենտրոնը գտնվում է սկզբնակետում։

Երևակայական կոն հավասարման մեջ կան միայն պլյուսներ. այն ունի մեկ իրական միավոր:

Պարաբոլոիդներ

Տիեզերքում 2-րդ կարգի մակերեսները կարող են տարբեր ձևեր ունենալ նույնիսկ նմանատիպ հավասարումների դեպքում: Օրինակ՝ պարաբոլոիդների երկու տեսակ կա։

x²/a²+y²/b^2=2z

Էլիպսաձև պարաբոլոիդը, երբ Z առանցքը ուղղահայաց է գծագրին, դուրս կգա էլիպսի ձևով:

x²/a²-y²/b^2=2z

Հիպերբոլիկ պարաբոլոիդ. ZY-ին զուգահեռ հարթություններով հատվածները կառաջացնեն պարաբոլներ, իսկ XY-ին զուգահեռ հարթություններով հատվածները՝ հիպերբոլաներ:

Հատվող հարթություններ

Լինում են դեպքեր, երբ 2-րդ կարգի մակերեսները վերածվում են հարթության։ Այս ինքնաթիռները կարող են դասավորվել տարբեր ձևերով:

Նախ հաշվի առեք հատվող հարթությունները.

x²/a²-y²/b²⁼⁰

Կանոնական հավասարման այս փոփոխությունը հանգեցնում է ընդամենը երկու հատվող հարթությունների (երևակայական!); բոլոր իրական կետերը գտնվում են կոորդինատի առանցքի վրա, որը բացակայում է հավասարման մեջ (կանոնականում՝ Z առանցքը):

Զուգահեռ հարթություններ

y²=a²

Երբ կա միայն մեկ կոորդինատ, 2-րդ կարգի մակերեսները վերածվում են զուգահեռ հարթությունների զույգի: Հիշեք, որ ցանկացած այլ փոփոխական կարող է զբաղեցնել Y-ի տեղը; այնուհետև կստացվեն այլ առանցքներին զուգահեռ հարթություններ։

y²=−a²

Այս դեպքում դրանք դառնում են երևակայական։

Համընկնող ինքնաթիռներ

y2=0

Այսպիսի պարզ հավասարման դեպքում զույգ հարթություններն այլասերվում են մեկի մեջ. դրանք համընկնում են:

Մի մոռացեք, որ եռաչափ հիմքի դեպքում վերը նշված հավասարումը չի սահմանում y=0 ուղիղ գիծը: Այն չունի մյուս երկու փոփոխականները, բայց դա պարզապես նշանակում է, որ դրանց արժեքը հաստատուն է և հավասար է զրոյի:

շենք

Աշակերտի համար ամենադժվար գործերից մեկը 2-րդ կարգի մակերեսների կառուցումն է։ Նույնիսկ ավելի դժվար է մեկ կոորդինատային համակարգից մյուսը անցնելը, հաշվի առնելով կորի անկյունները առանցքների և կենտրոնի շեղումների նկատմամբ: Եկեք կրկնենք, թե ինչպես կարելի է հետևողականորեն որոշել գծագրի ապագա տեսքը վերլուծականովճանապարհ.

2-րդ կարգի մակերես կառուցելու համար անհրաժեշտ է՝

• հավասարումը բերել կանոնական ձևի;
• որոշել ուսումնասիրվող մակերեսի տեսակը;
• կառուցում` հիմնված գործակիցների արժեքների վրա:

Ստորև ներկայացված են դիտարկված բոլոր տեսակները՝

Համախմբելու համար եկեք մանրամասն նկարագրենք այս տեսակի առաջադրանքների մեկ օրինակ:

Օրինակներ

Ենթադրենք կա հավասարում.

3(x²-2x+1)+6y²+2z^{2+ 60տ+144=0}

Բերենք այն կանոնական ձևի։ Առանձնացնենք լրիվ քառակուսիները, այսինքն՝ հասանելի տերմինները դասավորենք այնպես, որ դրանք լինեն գումարի կամ տարբերության քառակուսու ընդլայնումը։ Օրինակ՝ եթե (a+1)²=a²+2a+1 ապա a²+2a +1=(a+1)^{2. Երկրորդ օպերացիան կիրականացնենք. Այս դեպքում անհրաժեշտ չէ բացել փակագծերը, քանի որ դա միայն կբարդացնի հաշվարկները, այլ անհրաժեշտ է հանել ընդհանուր գործակիցը 6-ը (փակագծերում Y-ի լրիվ քառակուսիով)՝:}

3(x-1)²+6(y+5)²+2z²⁼⁶

Z փոփոխականն այս դեպքում հայտնվում է միայն մեկ անգամ. առայժմ կարող եք հանգիստ թողնել այն:

Մենք վերլուծում ենք հավասարումը այս փուլում. բոլոր անհայտներին նախորդում է գումարած նշանը; երբ բաժանվում է վեցի, մնում է մեկը: Հետևաբար, մենք ունենք հավասարում, որը սահմանում է էլիպսոիդը։

Նշեք, որ 144-ը գործակցվեց 150-6-ի մեջ, որից հետո -6-ը տեղափոխվեց աջ: Ինչու՞ դա պետք է արվեր այս կերպ: Ակնհայտ է, որ այս օրինակում ամենամեծ բաժանարարը -6 է, այնպես որ նրա վրա բաժանելուց հետոմեկը մնացել է աջ կողմում, անհրաժեշտ է «հետաձգել» 144-ից ուղիղ 6-ը (այն փաստը, որ մեկը պետք է լինի աջ կողմում, նշվում է ազատ անդամի առկայությամբ՝ անհայտով չբազմապատկված հաստատուն):

Բաժանեք ամեն ինչ վեցի և ստացեք էլիպսոիդի կանոնական հավասարումը.

(x-1)²/2+(y+5)²/1+z^{2 /3=1}

2-րդ կարգի մակերևույթների նախկինում օգտագործված դասակարգման մեջ դիտարկվում է հատուկ դեպք, երբ պատկերի կենտրոնը գտնվում է կոորդինատների սկզբնակետում: Այս օրինակում այն շեղված է։

Մենք ենթադրում ենք, որ անհայտներով յուրաքանչյուր փակագիծ նոր փոփոխական է: Այսինքն՝ a=x-1, b=y+5, c=z: Նոր կոորդինատներում էլիպսոիդի կենտրոնը համընկնում է (0, 0, 0) կետի հետ, հետևաբար՝ a=b=c=0, որտեղից՝ x=1, y=-5, z=0։ Սկզբնական կոորդինատներում նկարի կենտրոնը գտնվում է (1, -5, 0) կետում։

Էլիպսոիդը կստացվի երկու էլիպսներից՝ առաջինը XY հարթությունում, իսկ երկրորդը՝ XZ հարթությունում (կամ YZ - դա նշանակություն չունի): Գործակիցները, որոնցով փոփոխականները բաժանվում են, քառակուսի են տրվում կանոնական հավասարման մեջ: Հետևաբար, վերը նշված օրինակում ավելի ճիշտ կլինի բաժանել երկուսի, մեկի և երեքի արմատի վրա։

Առաջին էլիպսի փոքր առանցքը, Y առանցքին զուգահեռ, երկու է: Խոշոր առանցքը, որը զուգահեռ է x-ի առանցքին, երկու արմատն է: Երկրորդ էլիպսի փոքր առանցքը՝ Y առանցքին զուգահեռ, մնում է նույնը՝ հավասար է երկուսի։ Իսկ գլխավոր առանցքը, Z առանցքին զուգահեռ, հավասար է երեքի երկու արմատներին։

Բնօրինակի հավասարումից ստացված տվյալների օգնությամբ՝ վերածելով կանոնական ձևի, կարող ենք նկարել էլիպսոիդ։

Ամփոփում

Նշված է այս հոդվածումթեման բավականին ծավալուն է, բայց, ըստ էության, ինչպես հիմա տեսնում եք, այնքան էլ բարդ չէ։ Դրա զարգացումը, ըստ էության, ավարտվում է այն պահին, երբ դուք անգիր եք անում մակերեսների անվանումներն ու հավասարումները (և, իհարկե, ինչպես են դրանք տեսք ունենում): Վերևի օրինակում մենք մանրամասն քննարկել ենք յուրաքանչյուր քայլը, սակայն հավասարումը կանոնական ձևի բերելը պահանջում է բարձրագույն մաթեմատիկայի նվազագույն գիտելիքներ և չպետք է որևէ դժվարություն առաջացնի ուսանողի համար:

Գոյություն ունեցող հավասարության վերաբերյալ ապագա ժամանակացույցի վերլուծությունն արդեն ավելի բարդ խնդիր է։ Բայց դրա հաջող լուծման համար բավական է հասկանալ, թե ինչպես են կառուցված համապատասխան երկրորդ կարգի կորերը՝ էլիպսներ, պարաբոլներ և այլն։

Դեգեներացիայի դեպքեր՝ էլ ավելի պարզ բաժին։ Որոշ փոփոխականների բացակայության պատճառով պարզեցված են ոչ միայն հաշվարկները, ինչպես նշվեց ավելի վաղ, այլ նաև բուն կառուցումը։

Հենց որ դուք կարող եք վստահորեն անվանել բոլոր տեսակի մակերեսները, փոփոխեք հաստատունները՝ գրաֆիկը դարձնելով այս կամ այն ձևի. թեման կյուրացվի:

Հաջողություն ձեր ուսման մեջ: