Համալսարանական մաթեմատիկայի ամենադժվար և անհասկանալի թեմաներից մեկը ինտեգրումն է և դիֆերենցիալ հաշվարկը: Դուք պետք է իմանաք և հասկանաք այս հասկացությունները, ինչպես նաև կարողանաք կիրառել դրանք: Շատ համալսարանական տեխնիկական առարկաներ կապված են դիֆերենցիալների և ինտեգրալների հետ:
Համառոտ տեղեկատվություն հավասարումների մասին
Այս հավասարումները կրթական համակարգի մաթեմատիկական ամենակարևոր հասկացություններից են։ Դիֆերենցիալ հավասարումը հավասարում է, որը կապում է անկախ փոփոխականները, գտնելու գործառույթը և այդ ֆունկցիայի ածանցյալները այն փոփոխականների հետ, որոնք ենթադրվում են, որ անկախ են: Մեկ փոփոխականի ֆունկցիան գտնելու դիֆերենցիալ հաշվարկը կոչվում է սովորական: Եթե ցանկալի ֆունկցիան կախված է մի քանի փոփոխականներից, ապա խոսվում է մասնակի դիֆերենցիալ հավասարման մասին։
Իրականում, հավասարման որոշակի պատասխան գտնելը հանգում է ինտեգրմանը, իսկ լուծման մեթոդը որոշվում է ըստ հավասարման տեսակի։
Առաջին կարգի հավասարումներ
Առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումը հավասարում է, որը կարող է նկարագրել փոփոխական, ցանկալի ֆունկցիա և դրա առաջին ածանցյալը: Նման հավասարումները կարող են տրվել երեք ձևով՝ բացահայտ, իմպլիցիտ, դիֆերենցիալ։
Հասկացություններ, որոնք անհրաժեշտ են լուծելու համար
Սկզբնական պայման - ցանկալի ֆունկցիայի արժեքը սահմանել անկախ փոփոխականի տվյալ արժեքի համար:
Դիֆերենցիալ հավասարման լուծում. ցանկացած դիֆերենցիալ ֆունկցիա, որը ճիշտ փոխարինված է սկզբնական հավասարման մեջ, այն վերածում է նույնական հավասարի: Ստացված լուծումը, որը հստակ չէ, հավասարման ինտեգրալն է։
Դիֆերենցիալ հավասարումների ընդհանուր լուծումը y=y(x;C) ֆունկցիան է, որը կարող է բավարարել հետևյալ դատողությունները.
- Ֆունկցիան կարող է ունենալ միայն մեկ կամայական հաստատուն С.
- Ստացված ֆունկցիան պետք է լինի կամայական հաստատունի ցանկացած կամայական արժեքների հավասարման լուծում:
- Տրված սկզբնական պայմանով կամայական հաստատունը կարող է սահմանվել յուրահատուկ ձևով, որպեսզի ստացված կոնկրետ լուծումը համապատասխանի տվյալ սկզբնական պայմանին:
Գործնականում հաճախ օգտագործվում է Կոշիի խնդիրը. գտնել լուծում, որը հատուկ է և կարելի է համեմատել սկզբում սահմանված պայմանի հետ:
Կոշիի թեորեմը թեորեմ է, որն ընդգծում է դիֆերենցիալ հաշվարկում որոշակի լուծման գոյությունն ու եզակիությունը:
Երկրաչափական իմաստ՝
- Ընդհանուր լուծում y=y(x;C)հավասարումը ինտեգրալ կորերի ընդհանուր թիվն է։
- Դիֆերենցիալ հաշվարկը թույլ է տալիս միացնել XOY հարթության կետի կոորդինատները և ինտեգրալ կորի վրա գծված շոշափողը:
- Նախնական պայմանը սահմանելը նշանակում է հարթության վրա կետ դնել։
- Կոշիի խնդիրը լուծելու համար նշանակում է, որ հավասարման նույն լուծումը ներկայացնող ինտեգրալ կորերի ամբողջությունից անհրաժեշտ է ընտրել միակը, որն անցնում է միակ հնարավոր կետով:
- Կոշիի թեորեմի պայմանների կատարումը մի կետում նշանակում է, որ հարթության ընտրված կետով անպայման անցնում է ինտեգրալ կորը (ավելին, միայն մեկը):
բաժանելի փոփոխական հավասարում
Ըստ սահմանման, դիֆերենցիալ հավասարումը այն հավասարումն է, որտեղ նրա աջ կողմը նկարագրում կամ արտացոլվում է որպես երկու ֆունկցիաների արտադրյալ (երբեմն հարաբերակցություն), մեկը կախված է միայն «x»-ից, իսկ մյուսը՝ միայն «y»-ից: «. Այս տեսակի հստակ օրինակ՝ y'=f1(x)f2(y).
Որոշակի ձևի հավասարումներ լուծելու համար նախ պետք է փոխակերպել y'=dy/dx ածանցյալը: Այնուհետև, մանիպուլյացիայի ենթարկելով հավասարումը, դուք պետք է այն հասցնեք մի ձևի, որտեղ կարող եք ինտեգրել հավասարման երկու մասերը: Անհրաժեշտ փոխակերպումներից հետո մենք ինտեգրում ենք երկու մասերը և պարզեցնում արդյունքը։
Համասեռ հավասարումներ
Ըստ սահմանման, դիֆերենցիալ հավասարումը կարելի է անվանել միատարր, եթե այն ունի հետևյալ ձևը. y'=g(y/x):
Այս դեպքում ամենից հաճախ օգտագործվում է փոխարինող y/x=t(x).
Այսպիսի հավասարումներ լուծելու համար անհրաժեշտ է միատարր հավասարումը վերածել բաժանելի փոփոխականներով ձևի: Դա անելու համար դուք պետք է կատարեք հետևյալ գործողությունները՝
- Ցուցադրել սկզբնական ֆունկցիայի ածանցյալը ցանկացած բնօրինակ ֆունկցիայից որպես նոր հավասարում:
- Հաջորդ քայլը ստացված ֆունկցիայի փոխակերպումն է f(x;y)=g(y/x) ձևի: Ավելի պարզ բառերով, այնպես արեք, որ հավասարումը պարունակի միայն y/x հարաբերակցությունը և հաստատունները:
- Կատարեք հետևյալ փոխարինումը. y/x=t(x); y=t(x)x; y'=t'x + t. Կատարված փոխարինումը կօգնի բաժանել փոփոխականները հավասարման մեջ՝ աստիճանաբար այն դարձնելով ավելի պարզ ձևի:
Գծային հավասարումներ
Նման հավասարումների սահմանումը հետևյալն է. գծային դիֆերենցիալ հավասարումը հավասարում է, որտեղ նրա աջ կողմը արտահայտվում է որպես գծային արտահայտություն՝ սկզբնական ֆունկցիայի նկատմամբ: Ցանկալի ֆունկցիան այս դեպքում՝ y'=a(x)y + b(x).
Եկեք վերափոխենք սահմանումը հետևյալ կերպ. 1-ին կարգի ցանկացած հավասարում իր տեսքով կդառնա գծային, եթե սկզբնական ֆունկցիան և նրա ածանցյալը ներառվեն առաջին աստիճանի հավասարման մեջ և չբազմապատկվեն միմյանցով: Գծային դիֆերենցիալ հավասարման «դասական ձևն» ունի հետևյալ կառուցվածքը՝ y' + P(x)y=Q(x).
Նման հավասարումը լուծելուց առաջ այն պետք է վերածել «դասական ձևի»։ Հաջորդ քայլը կլինի լուծման մեթոդի ընտրությունը՝ Բեռնուլիի մեթոդը կամ Լագրանժի մեթոդը:
Հավասարման լուծումօգտագործելով Բեռնուլիի ներդրած մեթոդը, ենթադրում է գծային դիֆերենցիալ հավասարման փոխարինում և կրճատում երկու հավասարումների՝ U(x) և V(x) ֆունկցիաների հետ կապված առանձին փոփոխականներով, որոնք տրվել են իրենց սկզբնական ձևով։
։
Լագրանժի մեթոդը սկզբնական հավասարման ընդհանուր լուծում գտնելն է:
- Հարկավոր է գտնել միատարր հավասարման նույն լուծումը: Որոնումից հետո մենք ունենք y=y(x, C) ֆունկցիան, որտեղ C-ն կամայական հաստատուն է։
- Մենք փնտրում ենք սկզբնական հավասարման լուծումը նույն ձևով, բայց մենք համարում ենք C=C(x): Մենք y=y(x, C(x)) ֆունկցիան փոխարինում ենք սկզբնական հավասարման մեջ, գտնում ենք C(x) ֆունկցիան և գրում ընդհանուր սկզբնական հավասարման լուծումը։
Բեռնուլիի հավասարում
Բեռնուլիի հավասարումը. եթե հաշվարկի աջ կողմը վերցնում է f(x;y)=a(x)y + b(x)yk ձևը, որտեղ k-ն ցանկացած հնարավոր ռացիոնալ թվային արժեք է՝ չընդունելով որպես Օրինակ դեպքեր, երբ k=0 և k=1:
Եթե k=1, ապա հաշվարկը դառնում է բաժանելի, իսկ երբ k=0, հավասարումը մնում է գծային։
Դիտարկենք այս տեսակի հավասարումների լուծման ընդհանուր դեպքը: Մենք ունենք ստանդարտ Բեռնուլիի հավասարումը: Այն պետք է կրճատվի գծայինի, դրա համար անհրաժեշտ է հավասարումը բաժանել yk-ով: Այս գործողությունից հետո փոխարինեք z(x)=y1-k: Փոխակերպումների շարքից հետո հավասարումը կկրճատվի գծայինի, ամենից հաճախ փոխարինման մեթոդով z=UV։
Հավասարումներ ընդհանուր դիֆերենցիալներում
Սահմանում. P(x;y)dx + Q(x;y)dy=0 կառուցվածքով հավասարումը կոչվում է լրիվ հավասարում.դիֆերենցիալներ, եթե բավարարված է հետևյալ պայմանը (այս պայմանում «d»-ը մասնակի դիֆերենցիալ է՝ dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx.
Բոլոր առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումները կարող են ցուցադրվել որպես դիֆերենցիալ:
Նման հաշվարկները լուծվում են մի քանի եղանակով. Բայց, այնուամենայնիվ, դրանք բոլորն էլ սկսվում են վիճակի ստուգմամբ: Եթե պայմանը բավարարված է, ապա հավասարման ամենաձախ շրջանը U(x;y) դեռ անհայտ ֆունկցիայի ընդհանուր դիֆերենցիալն է։ Այնուհետև, համաձայն հավասարման, dU (x; y) հավասար կլինի զրոյի, և, հետևաբար, հավասարման նույն ինտեգրալը ընդհանուր դիֆերենցիալներով կցուցադրվի U (x; y) u003d C ձևով: Հետևաբար, հավասարման լուծումը կրճատվում է մինչև գտնելու U ֆունկցիան (x; y).
Ինտեգրվող գործոն
Եթե dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx պայմանը չի բավարարվում հավասարման մեջ, ապա հավասարումը չունի այն ձևը, որը մենք դիտարկեցինք վերևում: Բայց երբեմն կարելի է ընտրել M(x;y) ինչ-որ ֆունկցիա, որով բազմապատկելիս հավասարումը ստանում է հավասարման ձև լրիվ «դիֆուրներով»։ M ֆունկցիան (x;y) նշվում է որպես ինտեգրող գործոն:
Ինտեգրատորը կարելի է գտնել միայն այն դեպքում, երբ այն դառնում է միայն մեկ փոփոխականի ֆունկցիա:
