Լեոնհարդ Էյլեր (1707-1783) - հայտնի շվեյցարացի և ռուս մաթեմատիկոս, Սանկտ Պետերբուրգի գիտությունների ակադեմիայի անդամ, իր կյանքի մեծ մասն ապրել է Ռուսաստանում։ Մաթեմատիկական վերլուծության, վիճակագրության, համակարգչային գիտության և տրամաբանության մեջ ամենահայտնին Էյլերի շրջանագիծն է (Էյլեր-Վենի դիագրամ), որն օգտագործվում է հասկացությունների շրջանակը և տարրերի բազմությունը նշելու համար:
Ջոն Վեն (1834-1923) - անգլիացի փիլիսոփա և տրամաբան, Էյլեր-Վենի դիագրամի համահեղինակ։
Համատեղելի և անհամատեղելի հասկացություններ
Տրամաբանության մեջ հասկացության տակ նշանակում է մտածողության ձև, որն արտացոլում է միատարր առարկաների դասի էական հատկանիշները: Դրանք նշանակվում են մեկ կամ մի խումբ բառերով՝ «աշխարհի քարտեզ», «գերիշխող հինգերորդ-յոթերորդ ակորդ», «երկուշաբթի» և այլն:
Այն դեպքում, երբ մի հասկացության շրջանակի տարրերը ամբողջությամբ կամ մասամբ պատկանում են մյուսի շրջանակին, խոսվում է համատեղելի հասկացությունների մասին։ Եթե, այնուամենայնիվ, որոշակի հասկացության շրջանակի ոչ մի տարր չի պատկանում մյուսի շրջանակին, մենք անհամատեղելի հասկացություններ ունենք։
Իր հերթին, հայեցակարգի յուրաքանչյուր տեսակ ունի հնարավոր հարաբերությունների իր փաթեթը: Համատեղելի հասկացությունների համար սրանք են՝
- հատորների նույնականություն (համարժեքություն);
- հատում (մասնակի համընկնում)հատորներ;
- ենթակայություն (ենթակայություն).
Անհամատեղելի է՝
- ենթակայություն (համակարգում);
- հակառակ (հակառակություն);
- հակասություն (հակասություն).
Սխեմատիկորեն, տրամաբանության մեջ հասկացությունների միջև հարաբերությունները սովորաբար նշվում են Էյլեր-Վենի շրջանակների միջոցով:
Համարժեք հարաբերություններ
Այս դեպքում հասկացությունները նշանակում են նույն առարկան։ Ըստ այդմ, այս հայեցակարգերի ծավալները լիովին նույնն են։ Օրինակ՝
A - Զիգմունդ Ֆրոյդ;
B-ն հոգեվերլուծության հիմնադիրն է:
Կամ՝
A-ն քառակուսի է;
B-ը հավասարակողմ ուղղանկյուն է;
C-ը հավասարանկյուն ռոմբ է։
Նշման համար օգտագործվում են լրիվ համընկնող Էյլերի շրջանակները:
Խաչմերուկ (մասնակի համընկնում)
Այս կատեգորիան ներառում է հասկացություններ, որոնք ունեն ընդհանուր տարրեր, որոնք կապված են հատման հետ: Այսինքն՝ հասկացություններից մեկի ծավալը մասամբ ներառված է մյուսի ծավալում՝
A - ուսուցիչ;
B-ն երաժշտասեր է։
Ինչպես երևում է այս օրինակից, հասկացությունների ծավալները մասամբ համընկնում են. ուսուցիչների որոշակի խումբ կարող է երաժշտասեր լինել, և հակառակը՝ երաժշտասերների մեջ կարող են լինել դասախոսի մասնագիտության ներկայացուցիչներ։ Նման վերաբերմունք կլինի այն դեպքում, երբ Ա հասկացությունը, օրինակ, «քաղաքացի» է, իսկ Բ-ն՝ «վարորդ»:
ենթակայություն (ենթակայություն)
Սխեմատիկորեն նշվում է որպես տարբեր մասշտաբների Էյլերի շրջանակներ: Հարաբերություններհասկացությունների միջև այս դեպքում բնութագրվում են նրանով, որ ստորադաս հայեցակարգը (ծավալով ավելի փոքր) ամբողջությամբ ներառված է ստորադասության մեջ (ծավալով ավելի մեծ): Միևնույն ժամանակ ստորադաս հասկացությունն ամբողջությամբ չի սպառում ստորադասին։
Օրինակ՝
A - ծառ;
B - սոճին.
Հայեցակարգը ենթակա կլինի Ա հասկացությանը: Քանի որ սոճին պատկանում է ծառերին, այս օրինակում Ա հասկացությունը դառնում է ենթակա՝ «կլանելով» Բ հասկացության շրջանակը:
համակարգում (համակարգում)
Հարաբերությունը բնութագրում է երկու կամ ավելի հասկացություններ, որոնք բացառում են միմյանց, բայց պատկանում են որոշակի ընդհանուր ընդհանուր շրջանակին: Օրինակ՝
A – կլառնետ;
B - կիթառ;
C - ջութակ;
D-ը երաժշտական գործիք է։
A, B, C հասկացությունները միմյանց նկատմամբ չեն հատվում, սակայն դրանք բոլորը պատկանում են երաժշտական գործիքների կատեգորիային (հայեցակարգ Դ):
Հակառակ (հակառակը)
Հասկացությունների միջև հակադիր հարաբերությունները ենթադրում են, որ այս հասկացությունները պատկանում են նույն սեռին: Միևնույն ժամանակ, հասկացություններից մեկն ունի որոշակի հատկություններ (առանձնահատկություններ), իսկ մյուսը հերքում է դրանք՝ դրանք փոխարինելով բնության մեջ հակադիրներով։ Այսպիսով, գործ ունենք հականիշների հետ։ Օրինակ՝
A-ն թզուկ է;
B-ն հսկա է:
Էյլերի շրջան՝ հասկացությունների միջև հակադիր հարաբերություններովբաժանված է երեք հատվածի, որոնցից առաջինը համապատասխանում է A հայեցակարգին, երկրորդը՝ B հայեցակարգին, իսկ երրորդը՝ բոլոր հնարավոր հասկացություններին։
Հակասություն (հակասություն)
Այս դեպքում երկու հասկացություններն էլ նույն սեռի տեսակներ են: Ինչպես նախորդ օրինակում, հասկացություններից մեկը ցույց է տալիս որոշակի որակներ (հատկանիշներ), իսկ մյուսը հերքում է դրանք: Սակայն, ի տարբերություն հակադրությունների հարաբերության, երկրորդ, հակառակ հասկացությունը չի փոխարինում ժխտվող հատկությունները այլ, այլընտրանքային հատկություններով։ Օրինակ՝
Ա դժվար խնդիր է;
B-ն հեշտ խնդիր է (ոչ-Ա):
Արտահայտելով նման հասկացությունների ծավալը՝ Էյլերի շրջանագիծը բաժանվում է երկու մասի. երրորդ, միջանկյալ օղակն այս դեպքում գոյություն չունի։ Այսպիսով, հասկացությունները նույնպես հականիշներ են։ Միևնույն ժամանակ, դրանցից մեկը (A) դառնում է դրական (հաստատում է ինչ-որ հատկանիշ), իսկ երկրորդը (B կամ ոչ Ա) դառնում է բացասական (ժխտում է համապատասխան հատկանիշը). «սպիտակ թուղթ» - «ոչ սպիտակ թուղթ», « ազգային պատմություն» – «օտար պատմություն» և այլն։
Այսպիսով, հասկացությունների ծավալների հարաբերակցությունը միմյանց նկատմամբ հիմնական հատկանիշն է, որը սահմանում է Էյլերի շրջանակները:
Կոմպլեկտների փոխհարաբերություններ
Անհրաժեշտ է նաև տարբերակել տարրեր և բազմություններ հասկացությունները, որոնց ծավալը ցուցադրվում է Էյլերի շրջանագծերով։ Կոմպլեկտ հասկացությունը փոխառված է մաթեմատիկական գիտությունից և ունի բավականին լայն իմաստ։ Տրամաբանության և մաթեմատիկայի օրինակները ցուցադրում են այն որպես որոշակի օբյեկտների հավաքածու: Օբյեկտներն իրենք ենայս հավաքածուի տարրերը: «Շատերը շատ են մտածում որպես մեկ» (Գեորգ Կանտոր, բազմությունների տեսության հիմնադիր):
Բազմությունները նշանակվում են մեծատառերով՝ A, B, C, D… և այլն, բազմությունների տարրերը նշանակվում են փոքրատառերով՝ a, b, c, d… և այլն: Բազմության օրինակներ կարող են լինել ուսանողները, ովքեր գտնվում են մեկ դասարանում, գրքերը որոշակի դարակում (կամ, օրինակ, որոշակի գրադարանի բոլոր գրքերը), էջերը օրագրում, հատապտուղները անտառի բացատում և այլն:
Իր հերթին, եթե որոշակի բազմություն չի պարունակում մեկ տարր, ապա այն կոչվում է դատարկ և նշվում Ø նշանով։ Օրինակ՝ զուգահեռ ուղիղների հատման կետերի բազմությունը, x2=-5.
հավասարման լուծումների բազմությունը:
Խնդիրի լուծում
Էյլերի շրջանակները ակտիվորեն օգտագործվում են մեծ թվով խնդիրներ լուծելու համար: Տրամաբանության օրինակները հստակ ցույց են տալիս տրամաբանական գործողությունների և բազմությունների տեսության միջև կապը: Այս դեպքում օգտագործվում են հասկացությունների ճշմարտության աղյուսակներ: Օրինակ, A պիտակավորված շրջանակը ներկայացնում է ճշմարտության շրջանը: Այսպիսով, շրջանագծից դուրս գտնվող տարածքը կներկայացնի կեղծ: Տրամաբանական գործողության համար գծապատկերի տարածքը որոշելու համար դուք պետք է ստվերեք այն տարածքները, որոնք սահմանում են Էյլերի շրջանակը, որոնցում դրա արժեքները A և B տարրերի համար ճիշտ կլինեն:
Էյլերի շրջանակների օգտագործումը լայն գործնական կիրառություն է գտել տարբեր ոլորտներում: Օրինակ՝ մասնագիտական ընտրության իրավիճակում։ Եթե առարկան մտահոգված է ապագա մասնագիտության ընտրությամբ, նա կարող է առաջնորդվել հետևյալ չափանիշներով.
W – ինչ եմ ես սիրում անել?
D – ինչ եմ ես անում?
Պ- Ինչպե՞ս կարող եմ լավ գումար աշխատել:
Եկեք սա գծենք որպես գծապատկեր. Էյլերի շրջաններ (օրինակներ տրամաբանության մեջ - խաչմերուկի հարաբերություն).
Արդյունքը կլինեն այն մասնագիտությունները, որոնք կլինեն բոլոր երեք օղակների հատման կետում:
Էյլեր-Վենի շրջանագծերը մաթեմատիկայի մեջ (բազմությունների տեսություն) առանձին տեղ են զբաղեցնում համակցությունները և հատկությունները հաշվելու ժամանակ։ Տարրերի բազմության Էյլերի շրջանագծերը պարփակված են ունիվերսալ բազմությունը (U) նշանակող ուղղանկյունի պատկերով։ Շրջանակների փոխարեն կարող են օգտագործվել նաև այլ փակ ֆիգուրներ, սակայն սրա էությունը չի փոխվում։ Թվերը հատվում են միմյանց հետ՝ ըստ խնդրի պայմանների (առավել ընդհանուր դեպքում)։ Բացի այդ, այս թվերը պետք է համապատասխանաբար պիտակվեն: Քննարկվող հավաքածուների տարրերը կարող են լինել գծապատկերի տարբեր հատվածների ներսում տեղակայված կետեր: Դրա հիման վրա դուք կարող եք ստվերել որոշակի տարածքներ, դրանով իսկ նշելով նոր ձևավորված հավաքածուները:
Այս բազմություններով հնարավոր է կատարել հիմնական մաթեմատիկական գործողություններ՝ գումարում (տարրերի բազմությունների գումար), հանում (տարբերություն), բազմապատկում (արտադրյալ): Բացի այդ, Էյլեր-Վենի դիագրամների շնորհիվ հնարավոր է հավաքածուները համեմատել դրանցում ներառված էլեմենտների քանակով՝ չհաշված դրանք։
