Երկրաչափությունը մաթեմատիկայի մի ճյուղ է, որն ուսումնասիրում է տարածության կառուցվածքները և նրանց միջև փոխհարաբերությունները: Իր հերթին այն նույնպես բաղկացած է հատվածներից, որոնցից մեկն էլ ստերեոմետրիան է։ Այն նախատեսում է տարածության մեջ գտնվող ծավալային պատկերների՝ խորանարդի, բուրգի, գնդիկի, կոնի, մխոցի հատկությունների ուսումնասիրություն։
Կոնը մարմին է Էվկլիդեսյան տարածության մեջ, որը սահմանափակում է կոնաձև մակերեսը և հարթությունը, որի վրա ընկած են դրա գեներատորների ծայրերը: Նրա ձևավորումը տեղի է ունենում իր ցանկացած ոտքի շուրջ ուղղանկյուն եռանկյունու պտտման գործընթացում, հետևաբար այն պատկանում է հեղափոխության մարմիններին:
Կոնի բաղադրիչներ
Առանձնացնում են կոնների հետևյալ տեսակները՝ թեք (կամ թեք) և ուղիղ։ Թեք է այն, որի առանցքը հատվում է իր հիմքի կենտրոնի հետ ոչ ուղիղ անկյան տակ։ Այդ իսկ պատճառով նման կոնում բարձրությունը չի համընկնում առանցքի հետ, քանի որ այն մարմնի վերևից իջեցված հատված է մինչև իր հարթությունը։հիմքը 90°-ում։
Այն կոնը, որի առանցքը ուղղահայաց է իր հիմքին, կոչվում է ուղիղ կոն։ Նման երկրաչափական մարմնում առանցքը և բարձրությունը համընկնում են այն պատճառով, որ դրանում գագաթը գտնվում է հիմքի տրամագծի կենտրոնից վեր։
Կոնը բաղկացած է հետևյալ տարրերից.
- Շրջանակը, որը նրա հիմքն է։
- Կողք.
- Հիմքի հարթության վրա գտնվող մի կետ, որը կոչվում է կոնի գագաթ:
- Հատվածներ, որոնք կապում են երկրաչափական մարմնի հիմքի շրջանագծի կետերը և դրա վերևը։
Այս բոլոր հատվածները կոնի գեներատորներ են: Նրանք թեքված են դեպի երկրաչափական մարմնի հիմքը, իսկ աջ կոնի դեպքում դրանց ելքերը հավասար են, քանի որ գագաթը հավասար է բազային շրջանագծի կետերից։ Այսպիսով, կարող ենք եզրակացնել, որ կանոնավոր (ուղիղ) կոնում գեներատորները հավասար են, այսինքն՝ ունեն նույն երկարությունը և առանցքի (կամ բարձրության) և հիմքի հետ կազմում են նույն անկյունները։
Քանի որ պտույտի թեք (կամ թեք) մարմնում գագաթը տեղաշարժված է բազային հարթության կենտրոնի համեմատ, նման մարմնի գեներատորներն ունեն տարբեր երկարություններ և ելուստներ, քանի որ նրանցից յուրաքանչյուրը գտնվում է տարբեր հեռավորության վրա: բազային շրջանագծի ցանկացած երկու կետերից: Բացի այդ, նրանց միջև եղած անկյունները և կոնի բարձրությունը նույնպես տարբեր կլինեն։
Գեներատորների երկարությունը աջ կոնում
Ինչպես գրվել է ավելի վաղ, պտույտի ուղիղ երկրաչափական մարմնի բարձրությունը ուղղահայաց է հիմքի հարթությանը: Այսպիսով, հիմքի գեներատորը, բարձրությունը և շառավիղը կոնի մեջ ստեղծում են ուղղանկյուն եռանկյուն:
Այսինքն, իմանալով հիմքի շառավիղը և բարձրությունը, օգտագործելով Պյութագորասի թեորեմի բանաձևը, կարող եք հաշվարկել գեներատրիսի երկարությունը, որը հավասար կլինի բազային շառավղի քառակուսիների գումարին և բարձրություն:
l2 =r2+ h2 կամ l=√r 2 + h2
որտեղ l-ն գեներատոր է;
r – շառավիղ;
ժ – բարձրություն.
Գեներատիվ թեք կոնում
Ելնելով այն հանգամանքից, որ թեք կամ թեք կոնում գեներատորները նույն երկարության չեն, հնարավոր չի լինի դրանք հաշվարկել առանց լրացուցիչ կոնստրուկցիաների և հաշվարկների։
Առաջին հերթին պետք է իմանալ բարձրությունը, առանցքի երկարությունը և հիմքի շառավիղը։
Ունենալով այս տվյալները՝ դուք կարող եք հաշվարկել առանցքի և բարձրության միջև ընկած շառավիղի մասը՝ օգտագործելով Պյութագորասի թեորեմի բանաձևը՝
r1=√k2 - h2
որտեղ r1 առանցքի և բարձրության միջև շառավիղի մասն է;
k – առանցքի երկարությունը;
ժ – բարձրություն.
Շառավիղը (r) և դրա առանցքի և բարձրության միջև ընկած հատվածը (r1) ավելացնելու արդյունքում կարող եք պարզել աջի ամբողջ կողմը. եռանկյունի, որը ձևավորվում է կոնի գեներատորից, նրա բարձրությունից և տրամագծի մասից:
R=r + r1
որտեղ R-ն եռանկյան ոտքն է, որը ձևավորվում է հիմքի բարձրությունից, գեներատորից և տրամագծի մի մասից;
r – բազային շառավիղ;
r1 – առանցքի և բարձրության միջև շառավիղի մի մասը։
Օգտագործելով Պյութագորասի թեորեմի նույն բանաձևը, կարող եք գտնել կոնի գեներատրիսի երկարությունը.
l=√h2+ R2
կամ, առանց R-ն առանձին հաշվարկելու, միավորեք երկու բանաձևերը մեկի մեջ՝
l=√h2 + (r + r1)2.
Չնայած ուղիղ թե թեք կոն է և ինչպիսի մուտքային տվյալներ, գեներատրիսի երկարությունը գտնելու բոլոր մեթոդները միշտ հանգում են մեկ արդյունքի՝ Պյութագորասի թեորեմի օգտագործմանը:
Կոն բաժին
Կոնի առանցքային հատվածը իր առանցքի կամ բարձրության երկայնքով անցնող հարթությունն է: Ուղղակի կոնում նման հատվածը հավասարաչափ եռանկյուն է, որի եռանկյան բարձրությունը մարմնի բարձրությունն է, նրա կողմերը՝ գեներատորները, իսկ հիմքը՝ հիմքի տրամագիծը։ Հավասարակողմ երկրաչափական մարմնում առանցքային հատվածը հավասարակողմ եռանկյուն է, քանի որ այս կոնում հիմքի և գեներատորների տրամագիծը հավասար են։
Ուղիղ կոնի առանցքային հատվածի հարթությունը նրա համաչափության հարթությունն է։ Դրա պատճառն այն է, որ նրա գագաթը գտնվում է հիմքի կենտրոնից վեր, այսինքն՝ առանցքային հատվածի հարթությունը կոնը բաժանում է երկու նույնական մասերի։
Քանի որ բարձրությունը և առանցքը չեն համընկնում թեք պինդի մեջ, առանցքային հատվածի հարթությունը կարող է չներառել բարձրությունը: Եթե նման կոնում հնարավոր է կառուցել առանցքային հատվածների մի շարք, քանի որ դրա համար պետք է պահպանվի միայն մեկ պայման՝ այն պետք է անցնի միայն առանցքի միջով, ապա հարթության միայն մեկ առանցքային հատվածը, որը կպատկանի բարձրությանը։ այս կոնը կարելի է գծել, քանի որ պայմանների թիվը մեծանում է, և, ինչպես հայտնի է, երկու տող (միասին) կարող են պատկանել.միայն մեկ ինքնաթիռ։
բաժնի տարածք
Վերևում նշված կոնի առանցքային հատվածը եռանկյունի է: Ելնելով դրանից՝ նրա տարածքը կարելի է հաշվարկել՝ օգտագործելով եռանկյունի մակերեսի բանաձևը՝
S=1/2dh կամ S=1/22rh
որտեղ S-ը խաչմերուկի տարածքն է;
d – հիմքի տրամագիծ;
r – շառավիղ;
ժ – բարձրություն.
Թեք կամ թեք կոնում առանցքի երկայնքով հատվածը նույնպես եռանկյուն է, ուստի դրանում խաչմերուկի մակերեսը հաշվարկվում է նույն կերպ։
հատոր
Քանի որ կոնը եռաչափ պատկեր է եռաչափ տարածության մեջ, մենք կարող ենք հաշվարկել դրա ծավալը: Կոնի ծավալը թվ է, որը բնութագրում է այս մարմինը ծավալային միավորով, այսինքն՝ m3-ով: Հաշվարկը կախված չէ ուղիղ թե թեք լինելուց (թեք), քանի որ այս երկու տեսակի մարմինների բանաձևերը չեն տարբերվում։
Ինչպես նշվեց ավելի վաղ, աջ կոնի ձևավորումը տեղի է ունենում նրա ոտքերից մեկի երկայնքով ուղղանկյուն եռանկյունու պտտման պատճառով: Թեք կամ թեք կոնը ձևավորվում է այլ կերպ, քանի որ դրա բարձրությունը տեղափոխվում է մարմնի հիմնական հարթության կենտրոնից: Այնուամենայնիվ, կառուցվածքի նման տարբերությունները չեն ազդում դրա ծավալի հաշվարկման մեթոդի վրա։
Ծավալի հաշվարկ
Ցանկացած կոնի ծավալի բանաձևն ունի հետևյալ տեսքը՝
V=1/3πhr2
որտեղ V-ը կոնի ծավալն է;
ժ – բարձրություն;
r – շառավիղ;
π - հաստատուն հավասար է 3-ի, 14.
Կոնի ծավալը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է տվյալներ ունենալ մարմնի հիմքի բարձրության և շառավիղի մասին։
Մարմնի բարձրությունը հաշվելու համար անհրաժեշտ է իմանալ հիմքի շառավիղը և նրա գեներատորի երկարությունը: Քանի որ շառավիղը, բարձրությունը և գեներատրիսը համակցված են ուղղանկյուն եռանկյունու մեջ, բարձրությունը կարելի է հաշվարկել՝ օգտագործելով Պյութագորասի թեորեմի բանաձևը (a2+ b2=c 2 կամ մեր դեպքում h2+ r2=l2 , որտեղ l - generatrix): Այս դեպքում բարձրությունը կհաշվարկվի՝ հանելով հիպոթենուսի և մյուս ոտքի քառակուսիների տարբերության քառակուսի արմատը՝
a=√c2- b2
Այսինքն՝ կոնի բարձրությունը հավասար կլինի այն արժեքին, որը ստացվում է գեներատրիքսային երկարության և հիմքի շառավիղի քառակուսու տարբերությունից քառակուսի արմատը հանելուց հետո։
h=√l2 - r2
Հաշվելով բարձրությունն այս մեթոդով և իմանալով դրա հիմքի շառավիղը, կարող եք հաշվարկել կոնի ծավալը։ Այս դեպքում գեներատորը կարևոր դեր է խաղում, քանի որ այն ծառայում է որպես օժանդակ տարր հաշվարկներում։
Նմանապես, եթե դուք գիտեք մարմնի բարձրությունը և նրա գեներատրիսի երկարությունը, կարող եք գտնել նրա հիմքի շառավիղը՝ հանելով գեներատորի և բարձրության քառակուսու տարբերության քառակուսի արմատը։:
r=√l2 - h2
Այնուհետև, օգտագործելով վերը նշված նույն բանաձևը, հաշվարկեք կոնի ծավալը:
Թեք կոնի ծավալ
Քանի որ կոնի ծավալի բանաձևը նույնն է պտտվող մարմնի բոլոր տեսակների համար, դրա հաշվարկի տարբերությունը բարձրության որոնումն է։
Թեք կոնի բարձրությունը պարզելու համար մուտքային տվյալները պետք է ներառեն գեներատորի երկարությունը, հիմքի շառավիղը և կենտրոնի միջև եղած հեռավորությունը։հիմքը և մարմնի բարձրության հատումը նրա հիմքի հարթության հետ։ Իմանալով դա՝ դուք հեշտությամբ կարող եք հաշվարկել հիմքի տրամագծի այն հատվածը, որը կլինի ուղղանկյուն եռանկյունու հիմքը (կազմված հիմքի բարձրությունից, գեներատրիցից և հարթությունից): Այնուհետև, կրկին օգտագործելով Պյութագորասի թեորեմը, հաշվարկեք կոնի բարձրությունը և, հետևաբար, նրա ծավալը:
