Մաթեմատիկայում հակադարձ ֆունկցիաները փոխադարձ համապատասխան արտահայտություններ են, որոնք վերածվում են միմյանց: Հասկանալու համար, թե դա ինչ է նշանակում, արժե դիտարկել կոնկրետ օրինակ։ Եկեք ասենք, որ ունենք y=cos(x): Եթե արգումենտից վերցնենք կոսինուսը, ապա կարող ենք գտնել y-ի արժեքը: Ակնհայտ է, որ դրա համար պետք է ունենալ x: Բայց ի՞նչ, եթե խաղացողը սկզբում տրվի: Այստեղ այն հասնում է հարցի էությանը: Խնդիրը լուծելու համար պահանջվում է հակադարձ ֆունկցիայի օգտագործում։ Մեր դեպքում սա աղեղային կոսինուսն է։
Բոլոր փոխակերպումներից հետո մենք ստանում ենք՝ x=arccos(y).
Այսինքն՝ տրվածին հակադարձ ֆունկցիա գտնելու համար բավական է միայն դրանից փաստարկ արտահայտել։ Բայց սա աշխատում է միայն այն դեպքում, եթե արդյունքը կունենա մեկ արժեք (այդ մասին ավելի ուշ):
Ընդհանուր ձևով այս փաստը կարելի է գրել հետևյալ կերպ. f(x)=y, g(y)=x.
Սահմանում
Թող f լինի ֆունկցիա, որի տիրույթը X բազմությունն է, ևարժեքների միջակայքը Y բազմությունն է: Այնուհետև, եթե կա g, որի տիրույթները կատարում են հակադիր առաջադրանքներ, ապա f-ը շրջելի է:
Բացի այդ, այս դեպքում g-ն եզակի է, ինչը նշանակում է, որ կա ճիշտ մեկ ֆունկցիա, որը բավարարում է այս հատկությունը (ոչ ավել, ոչ պակաս): Այնուհետև այն կոչվում է հակադարձ ֆունկցիա, և գրավոր նշանակում է հետևյալ կերպ՝ g(x)=f -1(x).
Այլ կերպ ասած, դրանք կարող են դիտվել որպես երկուական հարաբերություն: Հետադարձելիությունը տեղի է ունենում միայն այն դեպքում, երբ բազմության մի տարրը համապատասխանում է մեկ արժեքին մյուսից:
Միշտ չէ, որ հակադարձ ֆունկցիա կա: Դա անելու համար յուրաքանչյուր y є Y տարր պետք է համապատասխանի առավելագույնը մեկ x є X-ին: Այնուհետև f-ը կոչվում է մեկ առ մեկ կամ ներարկում: Եթե f -1 պատկանում է Y-ին, ապա այս բազմության յուրաքանչյուր տարր պետք է համապատասխանի որոշ x ∈ X-ի: Այս հատկությամբ ֆունկցիաները կոչվում են surjections: Ըստ սահմանման այն պահպանվում է, եթե Y-ը f պատկեր է, բայց դա միշտ չէ, որ այդպես է: Հակադարձ լինելու համար ֆունկցիան պետք է լինի և՛ ներարկում, և՛ ներարկում: Նման արտահայտությունները կոչվում են բիյեկցիաներ։
Օրինակ՝ քառակուսի և արմատային ֆունկցիաներ
Ֆունկցիան սահմանվում է [0, ∞) վրա և տրվում է f (x)=x2.
Այնուհետև այն ներարկային չէ, քանի որ յուրաքանչյուր հնարավոր ելք Y (բացի 0-ից) համապատասխանում է երկու տարբեր X-ի՝ մեկ դրական և մեկ բացասական, ուստի այն հետադարձելի չէ: Այս դեպքում ստացվածներից նախնական տվյալներ ստանալն անհնար կլինի, ինչը հակասում էտեսություններ. Դա կլինի ոչ ներարկային։
Եթե սահմանման տիրույթը պայմանականորեն սահմանափակված է ոչ բացասական արժեքներով, ապա ամեն ինչ կաշխատի ինչպես նախկինում: Այնուհետև այն բիեկտիվ է և հետևաբար՝ շրջելի: Հակադարձ ֆունկցիան այստեղ կոչվում է դրական։
Նշում մուտքի մասին
Թող f -1 (x) նշանակումը կարող է շփոթեցնել մարդուն, բայց ոչ մի դեպքում չպետք է օգտագործվի այսպես. (f (x)) - 1 . Այն վերաբերում է բոլորովին այլ մաթեմատիկական հայեցակարգին և ոչ մի կապ չունի հակադարձ ֆունկցիայի հետ։
Որպես ընդհանուր կանոն, որոշ հեղինակներ օգտագործում են այնպիսի արտահայտություններ, ինչպիսիք են sin-1 (x).
Սակայն, այլ մաթեմատիկոսներ կարծում են, որ դա կարող է շփոթություն առաջացնել: Նման դժվարություններից խուսափելու համար հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները հաճախ նշվում են «arc» նախածանցով (լատիներեն աղեղից)։ Մեր դեպքում խոսքը արկսինի մասին է։ Դուք կարող եք նաև երբեմն տեսնել «ar» կամ «inv» նախածանցը որոշ այլ գործառույթների համար:
