Վեցանկյուն պրիզմա և նրա հիմնական բնութագրերը

2024 Հեղինակ: Angel Austin | [email protected]. Վերջին փոփոխված: 2024-01-02 17:49

Տարածական երկրաչափությունը պրիզմաների ուսումնասիրությունն է։ Նրանց կարևոր բնութագրերն են դրանցում պարունակվող ծավալը, մակերեսը և բաղկացուցիչ տարրերի քանակը։ Հոդվածում մենք կդիտարկենք այս բոլոր հատկությունները վեցանկյուն պրիզմայի համար:

Ո՞ր պրիզմայի մասին է խոսքը։

Վեցանկյուն պրիզմա այն պատկերն է, որը ձևավորվում է երկու բազմանկյուններով՝ վեց կողմերով և վեց անկյուններով, և վեց զուգահեռականներով, որոնք միացնում են նշված վեցանկյունները մեկ երկրաչափական ձևավորման մեջ։

Նկարը ցույց է տալիս այս պրիզմայի օրինակը:

Կարմիրով նշված վեցանկյունը կոչվում է պատկերի հիմք։ Ակնհայտ է, որ նրա հիմքերի թիվը հավասար է երկուսի, և երկուսն էլ նույնական են։ Պրիզմայի դեղնականաչավուն երեսները կոչվում են նրա կողմեր։ Նկարում դրանք ներկայացված են քառակուսիներով, բայց ընդհանուր առմամբ դրանք զուգահեռականներ են։

Վեցանկյուն պրիզման կարող է լինել թեք և ուղիղ: Առաջին դեպքում հիմքի և կողմերի միջև անկյունները ուղիղ չեն, երկրորդում հավասար են 90o: Բացի այդ, այս պրիզման կարող է լինել ճիշտ և սխալ: Կանոնավոր վեցանկյունպրիզման պետք է ուղիղ լինի և հիմքում ունենա կանոնավոր վեցանկյուն: Նկարի վերը նշված պրիզման բավարարում է այս պահանջները, ուստի այն կոչվում է ճիշտ: Հետագայում հոդվածում մենք կուսումնասիրենք միայն դրա հատկությունները, որպես ընդհանուր դեպք:

Elements

Ցանկացած պրիզմայի համար նրա հիմնական տարրերն են եզրերը, դեմքերը և գագաթները: Վեցանկյուն պրիզման բացառություն չէ: Վերևի նկարը թույլ է տալիս հաշվել այս տարրերի քանակը: Այսպիսով, մենք ստանում ենք 8 երես կամ կողմ (երկու հիմք և վեց կողային զուգահեռագիծ), գագաթների թիվը 12 է (6 գագաթ յուրաքանչյուր հիմքի համար), վեցանկյուն պրիզմայի եզրերի թիվը՝ 18 (վեց կողային և 12 հիմքերի համար).

1750-ականներին Լեոնհարդ Էյլերը (շվեյցարացի մաթեմատիկոս) ստեղծեց բոլոր պոլիեդրների համար, որոնք ներառում են պրիզմա, մաթեմատիկական հարաբերություն նշված տարրերի թվերի միջև: Այս հարաբերությունն ունի հետևյալ տեսքը՝

եզրերի թիվը=երեսների քանակը + գագաթների քանակը - 2.

Վերոնշյալ թվերը բավարարում են այս բանաձևին:

Պրիզմայի անկյունագծեր

Վեցանկյուն պրիզմայի բոլոր անկյունագծերը կարելի է բաժանել երկու տեսակի՝

• նրանք, ովքեր պառկած են նրա դեմքերի հարթություններում;
• նրանք, որոնք պատկանում են նկարի ամբողջ ծավալին:

Ստորև նկարը ցույց է տալիս այս բոլոր անկյունագծերը:

Երևում է, որ D₁-ը կողմի անկյունագիծն է, D₂ և D₃-ն են անկյունագծերը ամբողջ պրիզմայով, D₄ և D_{5 - հիմքի անկյունագծերը:}

Կողքերի անկյունագծերի երկարությունները հավասար են միմյանց։Հեշտ է դրանք հաշվարկել՝ օգտագործելով հայտնի Պյութագորասի թեորեմը։ Թող a լինի վեցանկյան կողմի երկարությունը, b կողային եզրի երկարությունը։ Ապա շեղանկյունն ունի երկարություն՝

D₁=√(a² + b^2).

D₄ անկյունագիծը նույնպես հեշտ է որոշել: Եթե հիշենք, որ կանոնավոր վեցանկյունը տեղավորվում է a շառավղով շրջանագծի մեջ, ապա D_{4 այս շրջանագծի տրամագիծն է, այսինքն՝ ստանում ենք հետևյալ բանաձևը՝}

D_4=2a.

Շեղանկյուն D₅հիմքերը որոշ չափով ավելի դժվար է գտնել: Դա անելու համար դիտարկենք ABC հավասարակողմ եռանկյունը (տե՛ս նկ.): Նրա համար AB=BC=a, ABC անկյունը 120^{o է: Եթե այս անկյան տակ իջեցնենք բարձրությունը (դա կլինի նաև կիսորդ և միջնագիծ), ապա AC հիմքի կեսը հավասար կլինի՝}

AC/2=ABsin(60o)=a√3/2.

AC կողմը D_{5-ի անկյունագիծն է, ուստի մենք ստանում ենք՝}

D_5=AC=√3a.

Այժմ մնում է գտնել D₂ և D_{3 կանոնավոր վեցանկյուն պրիզմայի անկյունագծերը: Դա անելու համար պետք է տեսնել, որ դրանք համապատասխան ուղղանկյուն եռանկյունների հիպոթենուսներն են: Օգտագործելով Պյութագորասի թեորեմը՝ մենք ստանում ենք՝}

D₂=√(D₄²+ b^2)=√(4a2^{+ b}2^);

D₃=√(D₅²+ b^2)=√(3a2^{+ b}2^).

Այսպիսով, a-ի և b-ի ցանկացած արժեքի ամենամեծ անկյունագիծն էD_2.

Մակերևույթ

Հասկանալու համար, թե ինչն է վտանգված, ամենահեշտ ճանապարհն այս պրիզմայի զարգացումն է: Այն պատկերված է նկարում։

Կարելի է տեսնել, որ դիտարկվող պատկերի բոլոր կողմերի մակերեսը որոշելու համար անհրաժեշտ է առանձին հաշվարկել քառանկյունի և վեցանկյան մակերեսը, այնուհետև բազմապատկել դրանք։ համապատասխան ամբողջ թվերով, որոնք հավասար են պրիզմայի յուրաքանչյուր n-անկյունի թվին և ավելացրեք արդյունքները: Վեցանկյուններ 2, ուղղանկյուններ 6.

Ուղղանկյան մակերեսի համար մենք ստանում ենք՝

S_1=ab.

Այնուհետև կողային մակերեսը հետևյալն է.

S_2=6ab.

Վեցանկյունի մակերեսը որոշելու համար ամենահեշտ ձևն է օգտագործել համապատասխան բանաձևը, որն ունի հետևյալ տեսքը՝

S=n/4a2ctg(pi/n).

Փոխարինելով n թիվը, որը հավասար է 6-ի այս արտահայտության մեջ, մենք ստանում ենք մեկ վեցանկյան մակերես:

S₆=6/4a²ctg(pi/6)=3√3/2a 2^.

Այս արտահայտությունը պետք է բազմապատկել երկուով՝ ստանալով պրիզմայի հիմքերի մակերեսը.

S_os=3√3a^2.

Մնում է ավելացնել S_os և S_{2՝ նկարի ընդհանուր մակերեսը ստանալու համար.}

S=S_os+ S₂=3√3a^{2+ 6ab=3a(√3a + 2b).}

Պրիզմայի ծավալ

Բանաձևից հետովեցանկյուն հիմքի մակերեսը, խնդրո առարկա պրիզմայի մեջ պարունակվող ծավալը հաշվարկելը նույնքան հեշտ է, որքան տանձը ռմբակոծելը: Դա անելու համար պարզապես անհրաժեշտ է մեկ հիմքի (վեցանկյուն) տարածքը բազմապատկել նկարի բարձրությամբ, որի երկարությունը հավասար է կողային եզրի երկարությանը: Ստանում ենք բանաձևը՝

V=S₆b=3√3/2a^2b.

Նշեք, որ հիմքի և բարձրության արտադրյալը տալիս է բացարձակապես ցանկացած պրիզմայի ծավալի արժեքը, ներառյալ թեքությունը: Այնուամենայնիվ, վերջին դեպքում բարձրության հաշվարկը բարդ է, քանի որ այն այլևս հավասար չի լինի կողային կողի երկարությանը: Ինչ վերաբերում է կանոնավոր վեցանկյուն պրիզմայի, ապա դրա ծավալի արժեքը երկու փոփոխականի ֆունկցիա է` a և b կողմերի: