Սահմանման շրջանակը - ի՞նչ է դա:

2024 Հեղինակ: Angel Austin | [email protected]. Վերջին փոփոխված: 2024-01-02 17:49

Պարզ և հակիրճ ասած, շրջանակն այն արժեքներն են, որոնք կարող են վերցնել ցանկացած գործառույթ: Այս թեման ամբողջությամբ ուսումնասիրելու համար հարկավոր է աստիճանաբար ապամոնտաժել հետևյալ կետերն ու հասկացությունները. Նախ, եկեք հասկանանք ֆունկցիայի սահմանումը և դրա տեսքի պատմությունը:

Ինչ է ֆունկցիան

Բոլոր ճշգրիտ գիտությունները մեզ տալիս են բազմաթիվ օրինակներ, որտեղ քննարկվող փոփոխականները ինչ-որ կերպ կախված են միմյանցից: Օրինակ, նյութի խտությունը լիովին որոշվում է նրա զանգվածով և ծավալով: Իդեալական գազի ճնշումը հաստատուն ծավալով տարբերվում է ջերմաստիճանից: Այս օրինակները միավորված են նրանով, որ բոլոր բանաձևերն ունեն կախվածություն փոփոխականների միջև, որոնք կոչվում են ֆունկցիոնալ։

Ֆունկցիան հասկացություն է, որն արտահայտում է մի մեծության կախվածությունը մյուսից: Այն ունի y=f(x) ձև, որտեղ y-ն ֆունկցիայի արժեքն է, որը կախված է x-ից՝ արգումենտից։ Այսպիսով, մենք կարող ենք ասել, որ y-ը փոփոխական է, որը կախված է x-ի արժեքից: Այն արժեքները, որոնք x-ը կարող է միասին վերցնել, հետևյալն ենտվյալ ֆունկցիայի տիրույթը (D(y) կամ D(f)), և, համապատասխանաբար, y-ի արժեքները կազմում են ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը (E(f) կամ E(y)): Լինում են դեպքեր, երբ ֆունկցիան տրվում է ինչ-որ բանաձևով։ Այս դեպքում սահմանման տիրույթը բաղկացած է այնպիսի փոփոխականների արժեքից, որոնցում բանաձևով նշումը իմաստ ունի։

Կան համապատասխան կամ հավասար հատկանիշներ: Սրանք երկու ֆունկցիաներ են, որոնք ունեն վավեր արժեքների հավասար միջակայքեր, ինչպես նաև ֆունկցիայի արժեքները նույն բոլոր արգումենտների համար հավասար են:

Ճշգրիտ գիտությունների շատ օրենքներ անվանում են նույն կերպ, ինչպես իրական կյանքում: Նման հետաքրքիր փաստ կա նաև մաթեմատիկական ֆունկցիայի վերաբերյալ. Կա մի թեորեմ մի ֆունկցիայի սահմանաչափի մասին, որը «սենդվիչ» է դրված երկու մյուսների միջև, որոնք ունեն նույն սահմանը՝ երկու ոստիկանի մասին։ Նրանք դա բացատրում են այսպես. քանի որ երկու ոստիկան բանտարկյալին տանում են իրենց միջև գտնվող խուց, հանցագործը ստիպված է լինում գնալ այնտեղ, և նա պարզապես այլընտրանք չունի։

Պատմական հատկանիշի հղում

Ֆունկցիայի հայեցակարգը միանգամից վերջնական և ճշգրիտ չդարձավ, այն երկար ճանապարհ է անցել: Նախ, 17-րդ դարի վերջին հրատարակված Ֆերմատի «Հարթի և պինդ վայրերի ներածություն և ուսումնասիրություն», ասվում է հետևյալը.

Երբ վերջնական հավասարման մեջ կան երկու անհայտներ, տեղ կա:

Ընդհանուր առմամբ այս աշխատությունը խոսում է ֆունկցիոնալ կախվածության և դրա նյութական պատկերի մասին (տեղ=գիծ):

Նաև, մոտավորապես նույն ժամանակ, Ռենե Դեկարտը իր «Երկրաչափություն» աշխատության մեջ (1637) ուսումնասիրել է գծերն իրենց հավասարումներով, որտեղ կրկին փաստ է.երկու մեծությունների կախվածությունը միմյանցից։

«Գործառույթ» տերմինի հիշատակումն ի հայտ եկավ միայն 17-րդ դարի վերջին Լայբնիցի մոտ, բայց ոչ դրա ժամանակակից մեկնաբանությամբ։ Իր գիտական աշխատանքում նա համարում էր, որ ֆունկցիան կոր գծի հետ կապված տարբեր հատվածներ են։

Բայց արդեն 18-րդ դարում ֆունկցիան սկսեց ավելի ճիշտ սահմանվել։ Բեռնուլին գրել է հետևյալը.

Ա ֆունկցիան արժեք է, որը կազմված է փոփոխականից և հաստատունից:

Էյլերի մտքերը նույնպես մոտ էին սրան.

Փոփոխական քանակի ֆունկցիան վերլուծական արտահայտություն է, որը կազմված է այս փոփոխական քանակից և թվերից կամ հաստատուն մեծություններից:

Երբ որոշ մեծություններ կախված են մյուսներից այնպես, որ երբ վերջիններս փոխվում են, նրանք իրենք են փոխվում, ապա առաջինները կոչվում են երկրորդի ֆունկցիաներ։

Ֆունկցիայի գրաֆիկ

Ֆունկցիայի գրաֆիկը բաղկացած է բոլոր կետերից, որոնք պատկանում են կոորդինատային հարթության առանցքներին, որոնց աբսցիսաները վերցնում են փաստարկի արժեքները, իսկ այս կետերում ֆունկցիայի արժեքները օրդինատներ են:

Ֆունկցիայի շրջանակը ուղղակիորեն կապված է դրա գրաֆիկի հետ, քանի որ եթե որևէ աբսցիսա բացառվում է վավեր արժեքների միջակայքով, ապա դուք պետք է գծեք դատարկ կետեր գրաֆիկի վրա կամ գծեք գրաֆիկը որոշակի սահմաններում: Օրինակ, եթե վերցված է y=tgx ձևի գրաֆիկ, ապա սահմանման տարածքից բացառվում է x=pi / 2 + pin, n∉R արժեքը, շոշափող գրաֆիկի դեպքում անհրաժեշտ է նկարել.±pi/2 կետերով անցնող y առանցքին զուգահեռ ուղղահայաց գծեր (դրանք կոչվում են ասիմպտոտներ):

Ֆունկցիաների ցանկացած մանրակրկիտ և մանրակրկիտ ուսումնասիրություն կազմում է մաթեմատիկայի մի մեծ ճյուղ, որը կոչվում է հաշվարկ: Տարրական մաթեմատիկայի մեջ շոշափվում են նաև ֆունկցիաների մասին տարրական հարցեր, օրինակ՝ պարզ գրաֆիկի կառուցում և ֆունկցիայի որոշ հիմնական հատկությունների սահմանում։

Ինչ գործառույթ կարող է սահմանվել

Ֆունկցիան կարող է.

• լինի բանաձև, օրինակ՝ y=cos x;
• սահմանված է ձևի զույգերի ցանկացած աղյուսակով (x; y);
• անմիջապես ունենալ գրաֆիկական տեսք, դրա համար ձևի նախորդ կետից (x; y) զույգերը պետք է ցուցադրվեն կոորդինատային առանցքների վրա:

Զգույշ եղեք որոշ բարձր մակարդակի խնդիրներ լուծելիս, գրեթե ցանկացած արտահայտություն կարող է դիտվել որպես ֆունկցիա y (x) ֆունկցիայի արժեքի որոշ փաստարկի նկատմամբ: Նման առաջադրանքների մեջ սահմանման տիրույթ գտնելը կարող է լուծման բանալին լինել:

Ինչի՞ համար է նախատեսված:

Առաջին բանը, որ դուք պետք է իմանաք գործառույթի մասին՝ այն ուսումնասիրելու կամ կառուցելու համար, դրա շրջանակն է: Գրաֆիկը պետք է պարունակի միայն այն կետերը, որտեղ գործառույթը կարող է գոյություն ունենալ: Սահմանման տիրույթը (x) կարող է նաև հիշատակվել որպես ընդունելի արժեքների տիրույթ (կրճատ՝ ODZ):

Ֆունկցիաների գրաֆիկը ճիշտ և արագ կառուցելու համար անհրաժեշտ է իմանալ այս ֆունկցիայի տիրույթը, քանի որ գրաֆիկի տեսքը և հավատարմությունը կախված են դրանից:շինարարություն։ Օրինակ, y=√x ֆունկցիա կառուցելու համար դուք պետք է իմանաք, որ x-ը կարող է ընդունել միայն դրական արժեքներ: Հետևաբար, այն կառուցված է միայն առաջին կոորդինատային քառորդում։

Սահմանման շրջանակը տարրական ֆունկցիաների օրինակով

Իր զինանոցում մաթեմատիկան ունի փոքր թվով պարզ, սահմանված ֆունկցիաներ: Նրանք ունեն սահմանափակ շրջանակ: Այս հարցի լուծումը դժվարություններ չի առաջացնի նույնիսկ, եթե ձեր առջեւ այսպես կոչված բարդ գործառույթ լինի։ Դա ընդամենը մի քանի պարզերի համադրություն է:

1. Այսպիսով, ֆունկցիան կարող է լինել կոտորակային, օրինակ՝ f(x)=1/x: Այսպիսով, փոփոխականը (մեր արգումենտը) գտնվում է հայտարարի մեջ, և բոլորը գիտեն, որ կոտորակի հայտարարը չի կարող հավասար լինել 0-ի, հետևաբար, արգումենտը կարող է վերցնել ցանկացած արժեք, բացի 0-ից: Նշումը կունենա հետևյալ տեսքը՝ D(y)=x∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞): Եթե հայտարարի մեջ փոփոխականով ինչ-որ արտահայտություն կա, ապա դուք պետք է լուծեք x-ի հավասարումը և բացառեք այն արժեքները, որոնք հայտարարը դարձնում են 0: Սխեմատիկ ներկայացման համար բավական է լավ ընտրված 5 կետը: Այս ֆունկցիայի գրաֆիկը կլինի հիպերբոլա՝ ուղղահայաց ասիմպտոտով, որն անցնում է (0; 0) կետով և միասին՝ Ox և Oy առանցքներով: Եթե գրաֆիկական պատկերը հատվում է ասիմպտոտների հետ, ապա այդպիսի սխալը կհամարվի ամենակոպիտը։
2. Բայց ո՞րն է արմատի տիրույթը: Փոփոխական պարունակող (f(x)=√(2x + 5)) արմատական արտահայտություն ունեցող ֆունկցիայի տիրույթը նույնպես ունի իր նրբերանգները (գործում է միայն զույգ աստիճանի արմատի վրա)։ Ինչպեսթվաբանական արմատը դրական արտահայտություն է կամ հավասար է 0-ի, ապա արմատային արտահայտությունը պետք է լինի 0-ից մեծ կամ հավասար, լուծում ենք հետևյալ անհավասարությունը՝ 2x + 5 ≧ 0, x ≧ -2, 5, հետևաբար, սրա տիրույթը. ֆունկցիա՝ D(y)=x ∈ (-2, 5; +∞): Գրաֆիկը պարաբոլայի ճյուղերից մեկն է, որը պտտվում է 90 աստիճանով և գտնվում է առաջին կոորդինատային քառորդում։
3. Եթե գործ ունենք լոգարիթմական ֆունկցիայի հետ, ապա պետք է հիշել, որ լոգարիթմի հիմքի և լոգարիթմի նշանի տակ արտահայտության հետ կապված սահմանափակում կա, այս դեպքում սահմանման տիրույթը կարող եք գտնել որպես. հետեւում է. Մենք ունենք ֆունկցիա՝ y=log_{a(x + 7), լուծում ենք անհավասարությունը՝ x + 7 > 0, x > -7։ Այնուհետև այս ֆունկցիայի տիրույթն է D(y)=x ∈ (-7; +∞).}
4. Ուշադրություն դարձրեք նաև y=tgx և y=ctgx ձևի եռանկյունաչափական գործառույթներին, քանի որ y=tgx=sinx/cos/x և y=ctgx=cosx/sinx, հետևաբար, դուք պետք է բացառեք արժեքները: որի հայտարարը կարող է հավասար լինել զրոյի: Եթե դուք ծանոթ եք եռանկյունաչափական ֆունկցիաների գրաֆիկներին, ապա դրանց տիրույթը հասկանալը պարզ խնդիր է։

Ինչպես է տարբերվում բարդ գործառույթների հետ աշխատելը

Հիշեք մի քանի հիմնական կանոններ. Եթե մենք աշխատում ենք բարդ ֆունկցիայի հետ, ապա կարիք չկա ինչ-որ բան լուծելու, պարզեցնելու, կոտորակների ավելացման, ամենացածր ընդհանուր հայտարարի հասցնելու և արմատներ հանելու։ Մենք պետք է ուսումնասիրենք այս ֆունկցիան, քանի որ տարբեր (նույնիսկ նույնական) գործողություններ կարող են փոխել ֆունկցիայի շրջանակը՝ հանգեցնելով սխալ պատասխանի։

Օրինակ, մենք ունենք բարդ ֆունկցիա՝ y=(x2 - 4)/(x - 2): Մենք չենք կարող կրճատել կոտորակի համարիչը և հայտարարը, քանի որ դա հնարավոր է միայն x ≠ 2-ի դեպքում, և դա ֆունկցիայի տիրույթը գտնելու խնդիրն է, ուստի մենք չենք գործոնավորում համարիչը և չենք լուծում ոչ մի անհավասարություն, քանի որ արժեք, որի դեպքում ֆունկցիան գոյություն չունի, տեսանելի է անզեն աչքով: Այս դեպքում x-ը չի կարող ընդունել 2 արժեքը, քանի որ հայտարարը չի կարող գնալ 0-ի, նշումը կունենա հետևյալ տեսքը՝ D(y)=x ∉ (-∞; 2) ∪ (2; +∞).

Փոխադարձ գործառույթներ

Սկզբի համար արժե ասել, որ ֆունկցիան կարող է շրջելի դառնալ միայն աճի կամ նվազման միջակայքում: Հակադարձ ֆունկցիան գտնելու համար անհրաժեշտ է փոխարինել x-ը և y-ը նշման մեջ և լուծել x-ի հավասարումը: Սահմանման տիրույթները և արժեքի տիրույթները պարզապես հակադարձված են:

Վերադարձելիության հիմնական պայմանը ֆունկցիայի միատոն ինտերվալն է, եթե ֆունկցիան ունի աճի և նվազման ինտերվալներ, ապա հնարավոր է կազմել ցանկացած մեկ միջակայքի հակադարձ ֆունկցիա (աճող կամ նվազող):

Օրինակ, y=e^x էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի համար փոխադարձը բնական լոգարիթմական ֆունկցիան է y=log_{ea=lna: Եռանկյունաչափության համար դրանք կլինեն arc- նախածանցով ֆունկցիաներ. y=sinx և y=arcsinx և այլն: Գրաֆիկները կտեղադրվեն սիմետրիկ՝ որոշ առանցքների կամ ասիմպտոտների նկատմամբ:}

Եզրակացություններ

Ընդունելի արժեքների տիրույթի որոնումը հանգում է ֆունկցիաների գրաֆիկի ուսումնասիրությանը (եթե այդպիսին կա),Անհավասարությունների անհրաժեշտ կոնկրետ համակարգի գրանցում և լուծում։

Այսպիսով, այս հոդվածն օգնեց ձեզ հասկանալ, թե ինչի համար է գործառույթի շրջանակը և ինչպես գտնել այն: Հուսով ենք, որ այն կօգնի ձեզ լավ հասկանալ հիմնական դպրոցի դասընթացը: