Ուսումնասիրելով փոխադրական շարժման օրենքները Atwood մեքենայի վրա. բանաձևեր և բացատրություններ

2024 Հեղինակ: Angel Austin | [email protected]. Վերջին փոփոխված: 2024-01-02 17:49

Ֆիզիկայի մեջ պարզ մեխանիզմների կիրառումը թույլ է տալիս ուսումնասիրել տարբեր բնական գործընթացներ և օրենքներ: Այդ մեխանիզմներից մեկը Atwood մեքենան է: Եկեք հոդվածում դիտարկենք, թե ինչ է այն, ինչի համար է այն օգտագործվում և ինչ բանաձևերով է նկարագրվում դրա գործունեության սկզբունքը։

Ի՞նչ է Atwood-ի մեքենան:

Անվանված մեքենան պարզ մեխանիզմ է՝ բաղկացած երկու կշիռներից, որոնք միացված են ամրացված բլոկի վրայով նետված թելով (պարանով): Այս սահմանման մեջ պետք է նշել մի քանի կետ: Նախ, բեռների զանգվածները ընդհանուր առմամբ տարբեր են, ինչը ապահովում է, որ նրանք ունեն արագացում ծանրության ազդեցության տակ: Երկրորդ՝ բեռները միացնող թելը համարվում է անկշիռ և անտարբեր։ Այս ենթադրությունները մեծապես նպաստում են շարժման հավասարումների հետագա հաշվարկներին: Վերջապես, երրորդ, անկշռելի է համարվում նաև այն անշարժ բլոկը, որի միջով նետվում է թելը։ Բացի այդ, նրա պտտման ժամանակ անտեսվում է շփման ուժը։ Ստորև բերված սխեմատիկ դիագրամը ցույց է տալիս այս մեքենան:

Աթվուդի մեքենան հայտնագործվել էԱնգլիացի ֆիզիկոս Ջորջ Էթվուդը 18-րդ դարի վերջին։ Այն ծառայում է թարգմանական շարժման օրենքների ուսումնասիրմանը, ազատ անկման արագացման ճշգրիտ որոշմանը և Նյուտոնի երկրորդ օրենքը փորձարարական ստուգմանը։

Դինամիկայի հավասարումներ

Յուրաքանչյուր դպրոցական գիտի, որ մարմինները արագանում են միայն այն դեպքում, եթե դրանց վրա գործում են արտաքին ուժեր: Այս փաստը հաստատել է Իսահակ Նյուտոնը 17-րդ դարում։ Գիտնականն այն դրել է հետևյալ մաթեմատիկական ձևով՝

F=ma.

Որտեղ m-ը մարմնի իներցիոն զանգվածն է, a-ն արագացումն է:

Աթվուդ մեքենայի վրա թարգմանական շարժման օրենքների ուսումնասիրությունը պահանջում է դրա համար դինամիկայի համապատասխան հավասարումների իմացություն: Ենթադրենք, որ երկու կշիռների զանգվածներն են m₁ և m₂, որտեղ m₁>m2_{. Այս դեպքում առաջին կշիռը ձգողականության ուժի տակ կիջնի ներքև, իսկ երկրորդը՝ թելի լարվածության տակ։}

Եկեք դիտարկենք, թե ինչ ուժեր են գործում առաջին բեռի վրա: Դրանցից երկուսը կա՝ ձգողականությունը F_{1 և թելի ձգման ուժը T։ Ուժերն ուղղված են տարբեր ուղղություններով։ Հաշվի առնելով a արագացման նշանը, որով շարժվում է բեռը, դրա համար ստանում ենք շարժման հետևյալ հավասարումը`.}

F₁– T=m_1a.

Ինչ վերաբերում է երկրորդ բեռին, ապա դրա վրա ազդում են նույն բնույթի ուժերը, ինչ առաջինը: Քանի որ երկրորդ բեռը շարժվում է դեպի վեր արագացումով a, դրա դինամիկ հավասարումը ստանում է ձև՝

T – F₂=m_2a.

Այսպիսով, մենք գրել ենք երկու հավասարումներ, որոնք պարունակում են երկու անհայտ մեծություններ (a և T): Սա նշանակում է, որ համակարգն ունի եզակի լուծում, որը կստացվի հոդվածում ավելի ուշ։

Հավասարաչափ արագացված շարժման դինամիկայի հավասարումների հաշվարկ

Ինչպես տեսանք վերը նշված հավասարումներից, յուրաքանչյուր բեռի վրա ազդող արդյունք ուժը մնում է անփոփոխ ողջ շարժման ընթացքում: Յուրաքանչյուր բեռի զանգվածը նույնպես չի փոխվում: Սա նշանակում է, որ a արագացումը հաստատուն է լինելու։ Նման շարժումը կոչվում է միատեսակ արագացված։

Աթվուդ մեքենայի վրա հավասարաչափ արագացված շարժման ուսումնասիրությունը պետք է որոշի այս արագացումը: Եկեք նորից գրենք դինամիկ հավասարումների համակարգը.

F₁– T=m_1a;

T – F₂=m_2a.

Ա արագացման արժեքը արտահայտելու համար մենք ավելացնում ենք երկու հավասարությունները, ստանում ենք՝

F₁– F₂=a(m₁+ m _2)=>

a=(F₁ – F₂)/(m₁ + m 2_).

Փոխարինելով ծանրության բացահայտ արժեքը յուրաքանչյուր բեռի համար՝ մենք ստանում ենք արագացումը որոշելու վերջնական բանաձևը՝

a=g(m₁– m₂)/(m₁ + m_2).

Զանգվածի տարբերության հարաբերակցությունը դրանց գումարին կոչվում է Աթվուդի թիվ։ Նշեք այն n_{a, ապա կստանանք՝}

a=n_ag.

Ստուգում ենք դինամիկայի հավասարումների լուծումը

Վերևում մենք սահմանեցինք մեքենայի արագացման բանաձևըԱթվուդ. Այն վավեր է միայն այն դեպքում, եթե Նյուտոնի օրենքը ինքնին վավերական է: Այս փաստը գործնականում կարող եք ստուգել, եթե լաբորատոր աշխատանք եք կատարում որոշ քանակություններ չափելու համար։

Լաբորատոր աշխատանքը Atwood-ի մեքենայի հետ բավականին պարզ է: Դրա էությունը հետևյալն է. հենց որ մակերևույթից նույն մակարդակի վրա գտնվող բեռներն ազատվեն, անհրաժեշտ է վայրկյանաչափով հայտնաբերել ապրանքների շարժման ժամանակը, այնուհետև չափել բեռներից որևէ մեկի հեռավորությունը: տեղափոխվել է. Ենթադրենք, որ համապատասխան ժամանակն ու հեռավորությունը t և h են: Այնուհետև կարող եք գրել հավասարաչափ արագացված շարժման կինեմատիկական հավասարումը.

h=at2/2.

Որտեղ արագացումը եզակիորեն որոշվում է՝

a=2h/t2.

Նշեք, որ a-ի արժեքի որոշման ճշգրտությունը բարձրացնելու համար պետք է մի քանի փորձեր կատարվեն՝ h_i և t_{i չափելու համար:, որտեղ i-ը չափման համարն է: a}i _{արժեքները հաշվարկելուց հետո դուք պետք է հաշվարկեք միջին արժեքը a}cp _{արտահայտությունից՝:}

a_cp=∑_i=1^մa_{i /մ.}

Որտեղ m-ն չափումների քանակն է։

Հավասար այս հավասարությանը և ավելի վաղ ստացվածին, հանգում ենք հետևյալ արտահայտությանը.

a_cp=n_ag.

Եթե պարզվի, որ այս արտահայտությունը ճիշտ է, ապա Նյուտոնի երկրորդ օրենքը նույնպես կլինի:

Ձգողականության հաշվարկ

Վերևում մենք ենթադրեցինք, որ ազատ անկման g արագացման արժեքը մեզ հայտնի է: Այնուամենայնիվ, օգտագործելով Atwood մեքենան, ուժի որոշումըհնարավոր է նաև գրավիտացիա։ Դա անելու համար դինամիկայի հավասարումներից a արագացման փոխարեն պետք է արտահայտվի g արժեքը, ունենք՝

g=a/n_a.

G գտնելու համար դուք պետք է իմանաք, թե որն է թարգմանության արագացումը: Վերևի պարբերությունում մենք արդեն ցույց ենք տվել, թե ինչպես կարելի է այն փորձարարորեն գտնել կինեմատիկական հավասարումից: Փոխարինելով a-ի բանաձևը g-ի հավասարության մեջ՝ մենք ունենք՝

g=2h/(t²n_a).

Հաշվելով g-ի արժեքը՝ հեշտ է որոշել ձգողության ուժը։ Օրինակ, առաջին բեռնման համար դրա արժեքը կլինի՝

F₁=2hm₁/(t²n _a).

Թելի լարվածության որոշում

Թելի լարվածության T ուժը դինամիկ հավասարումների համակարգի անհայտ պարամետրերից է։ Եկեք նորից գրենք այս հավասարումները՝

F₁– T=m_1a;

T – F₂=m_2a.

Եթե յուրաքանչյուր հավասարության մեջ արտահայտենք a և հավասարեցնենք երկու արտահայտությունները, ապա կստանանք՝

(F₁– T)/m₁ =(T – F₂)/ m_2=>

T=(m₂F₁+ m₁F_{+ m}1_F 2_{)/(m1 + m2).}

Փոխարինելով բեռների ծանրության ուժերի հստակ արժեքները՝ մենք հասնում ենք թելերի ձգման ուժի վերջնական բանաձեւին T:

T=2m₁m₂g/(m₁ + m_2).

Atwood-ի մեքենան ավելին է, քան պարզապես տեսական օգտակարությունը: Այսպիսով, վերելակը (վերելակը) իր աշխատանքում օգտագործում է հակակշիռ, որպեսզիբեռի բարձրության բարձրացում. Այս դիզայնը մեծապես հեշտացնում է շարժիչի աշխատանքը։