Մաթեմատիկան ըստ էության վերացական գիտություն է, եթե հեռանանք տարրական հասկացություններից: Այսպիսով, մի քանի խնձորի վրա դուք կարող եք տեսողականորեն պատկերել մաթեմատիկայի հիմքում ընկած հիմնական գործողությունները, բայց հենց որ գործունեության հարթությունը ընդլայնվում է, այդ առարկաները դառնում են անբավարար: Որևէ մեկը փորձե՞լ է պատկերել խնձորների վրա անսահման հավաքածուների գործողությունները: Սա է բանը, ոչ: Որքան ավելի բարդ էին դառնում այն հասկացությունները, որոնցով գործում է մաթեմատիկան իր դատողություններում, այնքան ավելի խնդրահարույց էր թվում նրանց տեսողական արտահայտությունը, որը նախատեսված կլիներ հասկանալը հեշտացնելու համար: Այնուամենայնիվ, և՛ ժամանակակից ուսանողների, և՛ ընդհանրապես գիտության երջանկության համար Էյլերի շրջանակները ստեղծվեցին, որոնց օրինակներն ու հնարավորությունները կքննարկենք ստորև:
Մի քիչ պատմություն
1707 թվականի ապրիլի 17-ին աշխարհը գիտությանը նվիրեց Լեոնհարդ Էյլերին՝ նշանավոր գիտնականին, ում ներդրումը մաթեմատիկայի, ֆիզիկայի, նավաշինության և նույնիսկ երաժշտության տեսության մեջ չի կարելի գերագնահատել։
Նրա աշխատանքները մինչ օրս ճանաչված և պահանջված են ամբողջ աշխարհում, չնայած այն հանգամանքին, որ գիտությունը կանգուն չէ։ Առանձնահատուկ հետաքրքրություն է ներկայացնում այն փաստը, որ պարոն Էյլերը անմիջական մասնակցություն է ունեցել բարձրագույն մաթեմատիկայի ռուսական դպրոցի ձևավորմանը, մանավանդ որ, բախտի կամքով նա երկու անգամ վերադարձել է մեր պետություն։ Գիտնականը յուրահատուկ կարողություն ուներ կառուցելու ալգորիթմներ, որոնք թափանցիկ էին իրենց տրամաբանությամբ՝ կտրելով ամեն ավելորդ ամեն ինչ ու ամենակարճ ժամանակում ընդհանուրից անցնելով մասնավորին։ Մենք չենք թվարկի նրա բոլոր արժանիքները, քանի որ դա զգալի ժամանակ կպահանջի, և մենք ուղղակիորեն կանդրադառնանք հոդվածի թեմային: Հենց նա առաջարկեց օգտագործել բազմությունների վրա գործողությունների գրաֆիկական պատկերը: Էյլերի շրջանակները կարող են պատկերացնել ցանկացած, նույնիսկ ամենաբարդ խնդրի լուծումը։
Ի՞նչն է իմաստը?
Գործնականում Էյլերի շրջանակները, որոնց սխեման ներկայացված է ստորև, կարող են օգտագործվել ոչ միայն մաթեմատիկայի մեջ, քանի որ «բազմություն» հասկացությունը բնորոշ է ոչ միայն այս կարգապահությանը: Այսպիսով, դրանք հաջողությամբ կիրառվում են կառավարման մեջ։
Վերևի գծապատկերը ցույց է տալիս A (իռացիոնալ թվեր), B (ռացիոնալ թվեր) և C (բնական թվեր) բազմությունների հարաբերությունները: Շրջանակները ցույց են տալիս, որ C բազմությունը ներառված է B բազմության մեջ, մինչդեռ A բազմությունը ոչ մի կերպ չի հատվում դրանց հետ։ Օրինակը ամենապարզն է, բայց հստակ բացատրում է «բազմությունների հարաբերությունների» առանձնահատկությունները, որոնք չափազանց վերացական են իրական համեմատության համար, թեկուզ միայն իրենց անսահմանության պատճառով։
Տրամաբանության հանրահաշիվ
Այս տարածքըմաթեմատիկական տրամաբանությունը գործում է հայտարարություններով, որոնք կարող են լինել և՛ ճշմարիտ, և՛ կեղծ: Օրինակ՝ տարրականից՝ 625 թիվը բաժանվում է 25-ի, 625 թիվը բաժանվում է 5-ի, 625 թիվը պարզ է։ Առաջին և երկրորդ պնդումները ճշմարիտ են, իսկ վերջինը՝ կեղծ: Իհարկե, գործնականում ամեն ինչ ավելի բարդ է, բայց էությունը պարզ երևում է։ Եվ, իհարկե, Էյլերի շրջանակները կրկին ներգրավված են լուծման մեջ, դրանց օգտագործման օրինակները չափազանց հարմար և տեսողական են անտեսելու համար:
Մի քիչ տեսություն.
- Թող A և B բազմությունները գոյություն ունեն և դատարկ չեն, ապա դրանց համար սահմանվում են հատման, միության և ժխտման հետևյալ գործողությունները:
- A և B բազմությունների խաչմերուկը բաղկացած է տարրերից, որոնք միաժամանակ պատկանում են և՛ A, և՛ B բազմություններին:
- A և B բազմությունների միությունը բաղկացած է տարրերից, որոնք պատկանում են A բազմությանը կամ B բազմությանը:
- A բազմության ժխտումը մի բազմություն է, որը բաղկացած է տարրերից, որոնք չեն պատկանում A բազմությանը:
Այս ամենը նորից էյլերի շրջանակները պատկերում են տրամաբանության մեջ, քանի որ նրանց օգնությամբ յուրաքանչյուր առաջադրանք, անկախ բարդության աստիճանից, դառնում է ակնհայտ և տեսողական։
Տրամաբանության հանրահաշվի աքսիոմներ
Ենթադրենք, որ 1-ը և 0-ը գոյություն ունեն և սահմանված են A բազմությունում, ապա՝
- Ա բազմության ժխտման ժխտումը սահմանված է A;
- A բազմության ոչ_A-ի միությունը 1 է;
- միավորումը 1-ով 1 է;
- Ա բազմության միությունն ինքն իր հետ սահմանված է A;
- միավորում0-ով կա A բազմություն;
- A բազմության հատումը ոչ_A-ի հետ 0 է;
- Ա բազմության հատումն ինքն իր հետ սահմանված է A;
- հատումը 0-ով 0 է;
- Ա բազմության հատումը 1-ի հետ սահմանված է A:
A բազմության
Ա բազմության
A բազմության
Տրամաբանության հանրահաշվի հիմնական հատկությունները
Թող A և B բազմությունները գոյություն ունեն և դատարկ չեն, ապա՝
- A և B բազմությունների հատման և միավորման համար կիրառվում է փոխատեղման օրենքը;
- համակցման օրենքը կիրառվում է A և B բազմությունների հատման և միավորման վրա;
- բաշխիչ օրենքը կիրառվում է A և B բազմությունների հատման և միավորման վրա;
- A և B բազմությունների հատման ժխտումը A և B բազմությունների ժխտումների հատումն է;
- A և B բազմությունների միության ժխտումը A և B բազմությունների միության ժխտումն է:
Հետևյալը ցույց է տալիս Էյլերի շրջանակները, A, B և C բազմությունների հատման և միավորման օրինակները:
Հեռանկարներ
Լեոնհարդ Էյլերի աշխատությունները արդարացիորեն համարվում են ժամանակակից մաթեմատիկայի հիմքը, բայց այժմ դրանք հաջողությամբ օգտագործվում են մարդկային գործունեության ոլորտներում, որոնք ի հայտ են եկել համեմատաբար վերջերս, օրինակ կորպորատիվ կառավարումը. Էյլերի շրջանակները, օրինակները և գրաֆիկները նկարագրում են մեխանիզմները. զարգացման մոդելներ, լինի դա ռուսերեն, թե անգլերեն-ամերիկյան տարբերակ:
