Թվերային համակարգեր - ինչ է դա: Անգամ առանց այս հարցի պատասխանը իմանալու՝ մեզանից յուրաքանչյուրն ակամա օգտագործում է թվային համակարգեր մեր կյանքում և չի կասկածում դրան։ Ճիշտ է, հոգնակի! Այսինքն՝ ոչ թե մեկ, այլ մի քանի։ Մինչև ոչ դիրքային թվային համակարգերի օրինակներ բերելը, եկեք հասկանանք այս հարցը, խոսենք նաև դիրքային համակարգերի մասին։
Պահանջվում է ապրանքագիր
Հին ժամանակներից մարդիկ հաշվելու կարիք ունեին, այսինքն՝ ինտուիտիվ գիտակցում էին, որ պետք է ինչ-որ կերպ արտահայտեն իրերի և իրադարձությունների քանակական տեսլականը։ Ուղեղը հուշում էր, որ հաշվելու համար անհրաժեշտ է օգտագործել առարկաներ։ Մատները միշտ եղել են ամենահարմարը, և դա հասկանալի է, քանի որ դրանք միշտ հասանելի են (հազվադեպ բացառություններով):
Այսպիսով, մարդկային ցեղի հնագույն ներկայացուցիչները պետք է թեքեին իրենց մատները բառացի իմաստով` նշելու համար, օրինակ, սպանված մամոնտների թիվը: Հաշվի նման տարրերը դեռ անուններ չունեին, այլ միայն տեսողական պատկեր, համեմատություն։
Ժամանակակից դիրքային թվային համակարգեր
Թվային համակարգը որոշակի նշանների (նշանների կամ տառերի) միջոցով քանակական արժեքների և քանակների ներկայացման մեթոդ (ուղի) է:
Անդիրքային թվային համակարգերի օրինակներ բերելուց առաջ անհրաժեշտ է հասկանալ, թե ինչն է դիրքային և ոչ դիրքային հաշվելու մեջ: Կան բազմաթիվ դիրքային թվային համակարգեր: Այժմ գիտելիքի տարբեր ոլորտներում օգտագործվում են հետևյալը. երկուական (ներառում է միայն երկու նշանակալից տարր՝ 0 և 1), տասնվեցական (նիշերի քանակը՝ 6), ութնյակ (նիշեր՝ 8), տասներկու նիշ, տասնվեցական (ներառում է տասնվեց։ կերպարներ): Ընդ որում, համակարգերում նիշերի յուրաքանչյուր տող սկսվում է զրոյից։ Ժամանակակից համակարգչային տեխնոլոգիաները հիմնված են երկուական կոդերի՝ երկուական դիրքային թվային համակարգի օգտագործման վրա։
Տասնորդական թվերի համակարգ
Դիրքը տարբեր աստիճաններով նշանակալի դիրքերի առկայությունն է, որոնց վրա գտնվում են թվի նշանները։ Սա լավագույնս կարելի է ցույց տալ՝ օգտագործելով տասնորդական թվային համակարգի օրինակը: Ի վերջո, մենք սովոր ենք օգտագործել այն մանկուց։ Այս համակարգում կա տասը նշան՝ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9։ Վերցրեք 327 թիվը։ Այն ունի երեք նշան՝ 3, 2, 7։ Նրանցից յուրաքանչյուրը գտնվում է ք. իր սեփական դիրքը (տեղը): Յոթը զբաղեցնում է դիրքը, որը վերապահված է առանձին արժեքների (միավորների), երկուսը` տասնյակ, իսկ երեքը` հարյուրավոր: Քանի որ թիվը եռանիշ է, հետևաբար դրանում կա ընդամենը երեք դիրք։
Ելնելով վերը նշվածից՝ սաեռանիշ տասնորդական թիվը կարելի է նկարագրել հետևյալ կերպ՝ երեք հարյուրավոր, երկու տասնյակ և յոթ միավոր: Ավելին, դիրքերի նշանակությունը (կարևորությունը) հաշվվում է ձախից աջ, թույլ դիրքից (մեկ) ավելի ուժեղ (հարյուրավոր):
Մենք մեզ շատ հարմարավետ ենք զգում տասնորդական դիրքային թվերի համակարգում։ Մենք տասը մատ ունենք մեր ձեռքերին, և նույնը մեր ոտքերին: Հինգ գումարած հինգ - այսպես, մատների շնորհիվ մենք մանկությունից հեշտությամբ պատկերացնում ենք մեկ տասնյակ: Այդ իսկ պատճառով երեխաների համար հեշտ է սովորել հինգի և տասի բազմապատկման աղյուսակները։ Եվ նաև շատ հեշտ է սովորել, թե ինչպես հաշվել թղթադրամները, որոնք ամենից հաճախ բազմապատիկ են (այսինքն՝ բաժանվում են առանց մնացորդի) հինգի և տասի վրա։
Այլ դիրքային թվային համակարգեր
Ի զարմանս շատերի, պետք է ասել, որ ոչ միայն տասնորդական հաշվման համակարգում մեր ուղեղը սովոր է ինչ-որ հաշվարկներ անել։ Մինչ այժմ մարդկությունը օգտագործում էր վեց և տասներկումատնյա թվային համակարգեր։ Այսինքն, նման համակարգում կա ընդամենը վեց նիշ (վեցանկյունում)., 7, 8, 9, A, B, որտեղ A - նշանակում է 10 թիվը, B - թիվը 11 (քանի որ նշանը պետք է լինի մեկ):
Դատեք ինքներդ. Ժամանակը վեցով ենք հաշվում, չէ՞։ Մեկ ժամը վաթսուն րոպե է (վեց տասնյակ), մեկ օրը՝ քսանչորս ժամ (երկու անգամ տասներկու), տարին՝ տասներկու ամիս և այլն… Բոլոր ժամանակային միջակայքերը հեշտությամբ տեղավորվում են վեց և տասներկուանոց շարքերում։ Բայց մենք այնքան սովոր ենք դրան, որ ժամանակը հաշվելիս չենք էլ մտածում դրա մասին։
Ոչ դիրքային թվային համակարգեր. Միասնական
Պետք է սահմանել, թե ինչ է դա՝ ոչ դիրքային թվային համակարգ։ Սա այնպիսի նշանային համակարգ է, որտեղ թվի նշանների դիրքեր չկան, կամ թվի «կարդալու» սկզբունքը կախված չէ դիրքից։ Այն նաև ունի գրելու կամ հաշվարկելու իր կանոնները։
Բերենք ոչ դիրքային թվային համակարգերի օրինակներ։ Վերադառնանք հնություն։ Մարդկանց հաշիվ էր պետք և հայտնագործեցին ամենապարզ գյուտը` հանգույցները: Ոչ դիրքային թվային համակարգը հանգույցային է։ Մեկ իրը (մի պարկ բրինձ, ցուլ, խոտի դեզ և այլն) հաշվում էին, օրինակ, գնելիս կամ վաճառելիս և կապում էին թելից։
Արդյունքում, պարանի վրա այնքան հանգույցներ արվեցին, որքան բրինձ գնվեցին (օրինակ): Բայց դա կարող է լինել նաև փայտե փայտի, քարե սալիկի վրա խազեր և այլն: Նման թվային համակարգը հայտնի դարձավ որպես հանգույցիկ։ Նա երկրորդ անուն ունի՝ unary, կամ միայնակ («uno» լատիներեն նշանակում է «մեկ»):
Ակնհայտ է դառնում, որ այս թվային համակարգը ոչ դիրքային է։ Ի վերջո, ի՞նչ պաշտոնների մասին կարող է խոսք լինել, երբ այն (պաշտոնը) մեկն է։ Տարօրինակ է, բայց Երկրի որոշ մասերում միանվագ ոչ դիրքային թվային համակարգը դեռ օգտագործվում է:
Նաև ոչ դիրքային թվային համակարգերը ներառում են՝
- Հռոմեական (տառերը օգտագործվում են թվեր գրելու համար՝ լատինատառ);
- հին եգիպտերեն (նման է հռոմեականին, օգտագործվում էին նաև խորհրդանիշներ);
- այբբենական (օգտագործվել են այբուբենի տառերը);
- բաբելոնյան (սեպագիր - օգտագործված ուղիղ ևշրջված «սեպ»);
- հունարեն (նաև նշված է որպես այբբենական).
Հռոմեական թվային համակարգ
Հին Հռոմեական կայսրությունը, ինչպես նաև նրա գիտությունը, շատ առաջադեմ էին: Հռոմեացիները աշխարհին տվել են գիտության և արվեստի բազմաթիվ օգտակար գյուտեր, ներառյալ դրանց հաշվման համակարգը: Երկու հարյուր տարի առաջ հռոմեական թվերն օգտագործվում էին բիզնես փաստաթղթերում գումարները նշելու համար (այդպիսով կեղծումից խուսափել էր):
Հռոմեական համարակալումը ոչ դիրքային թվային համակարգի օրինակ է, մենք դա հիմա գիտենք: Նաև հռոմեական համակարգը ակտիվորեն օգտագործվում է, բայց ոչ մաթեմատիկական հաշվարկների, այլ նեղ կենտրոնացված գործողությունների համար: Օրինակ, հռոմեական թվերի օգնությամբ գրքի հրատարակություններում ընդունված է նշել պատմական տարեթվերը, դարերը, հատորների քանակը, բաժինները և գլուխները: Հռոմեական նշանները հաճախ օգտագործվում են ժամացույցի ժամացույցները զարդարելու համար: Եվ նաև հռոմեական համարակալումը ոչ դիրքային թվային համակարգի օրինակ է:
Հռոմեացիները թվերը նշում էին լատինական տառերով։ Ավելին, թվերը գրել են որոշակի կանոններով։ Հռոմեական թվային համակարգում կա հիմնական նշանների ցանկ, որոնց օգնությամբ բոլոր թվերը գրվել են առանց բացառության։
| թիվ (տասնորդական) | Հռոմեական թիվ (լատինատառ այբուբենի) |
| 1 | I |
| 5 | V |
| 10 | X |
| 50 | L |
| 100 | C |
| 500 | D |
| 1000 | M |
Թվեր կազմելու կանոններ
Պահանջվող թիվը ստացվել է նշաններ (լատինատառ) գումարելով և դրանց գումարը հաշվելով։ Դիտարկենք, թե հռոմեական համակարգում ինչպես են խորհրդանշական գրվում նշանները և ինչպես պետք է դրանք «կարդավել»։ Թվարկենք թվերի առաջացման հիմնական օրենքները հռոմեական ոչ դիրքային թվային համակարգում։
- Չորս - IV թիվը բաղկացած է երկու նիշից (I, V - մեկ և հինգ): Այն ստացվում է փոքր նշանը մեծից հանելով, եթե այն գտնվում է ձախ կողմում։ Երբ փոքր նշանը գտնվում է աջ կողմում, դուք պետք է ավելացնեք, ապա ստացեք վեց թիվը՝ VI։
- Հարկավոր է իրար կողքի ավելացնել երկու միանման նշաններ։ Օրինակ՝ SS-ը 200 է (C-ն 100 է), կամ XX-ը՝ 20։
- Եթե թվի առաջին նշանը փոքր է երկրորդից, ապա այս տողում երրորդ նիշը կարող է լինել նիշ, որի արժեքը նույնիսկ փոքր է առաջինից: Շփոթությունից խուսափելու համար ահա մի օրինակ՝ CDX - 410 (տասնորդական):
- Որոշ մեծ թվեր կարելի է տարբեր կերպ ներկայացնել, ինչը հռոմեական հաշվման համակարգի թերություններից մեկն է։ Ահա մի քանի օրինակ՝ MVM (հռոմեական)=1000 + (1000 - 5)=1995 (տասնորդական) կամ MDVD=1000 + 500 + (500 - 5)=1995: Եվ սա դեռ ամենը չէ:
Թվաբանական հնարքներ
Ոչ դիրքային թվային համակարգը երբեմն թվերի ձևավորման, դրանց մշակման (դրանց վրա գործողություններ) կանոնների բարդ շարք է: Ոչ դիրքային թվային համակարգերում թվաբանական գործողությունները հեշտ չենժամանակակից մարդկանց համար. Մենք չենք նախանձում հին հռոմեացի մաթեմատիկոսներին:
Հավելման օրինակ. Փորձենք ավելացնել երկու թիվ՝ XIX + XXVI=XXXV, այս առաջադրանքը կատարվում է երկու քայլով՝
- Առաջինը - վերցրեք և գումարեք թվերի ավելի փոքր կոտորակները՝ IX + VI=XV (I-ը V-ից հետո և I-ից մինչև X-ը «ոչնչացնում են» միմյանց):
- Երկրորդ - ավելացրեք երկու թվերի մեծ կոտորակներ՝ X + XX=XXX:
հանումը մի փոքր ավելի բարդ է: Կրճատվող թիվը պետք է բաժանվի իր բաղկացուցիչ տարրերի, այնուհետև կրկնվող նիշերը կրճատվեն և հանվեն թվով: 500-ից հանել 263:
D - CCLXIII=CCCCLXXXXVIIIII - CCLXIII=CCXXXVII.
Հռոմեական թվերի բազմապատկում. Ի դեպ, հարկ է նշել, որ հռոմեացիները թվաբանական գործողությունների նշաններ չեն ունեցել, պարզապես դրանք նշել են բառերով։
Բազմապատկվող թիվը պետք է բազմապատկվեր բազմապատկիչի յուրաքանչյուր առանձին խորհրդանիշով, ինչի արդյունքում մի քանի արտադրյալ պետք է ավելացվեր: Այսպես են բազմապատկվում բազմանդամները։
Ինչ վերաբերում է բաժանմանը, ապա հռոմեական թվային համակարգում այս գործընթացը եղել և մնում է ամենադժվարը: Այստեղ օգտագործվել է հին հռոմեական աբակուսը։ Նրա հետ աշխատելու համար մարդիկ հատուկ պատրաստված էին (և ոչ բոլորին էր հաջողվում նման գիտություն տիրապետել):
Ոչ դիրքային համակարգերի թերությունների մասին
Ինչպես նշվեց վերևում, ոչ դիրքային թվային համակարգերն ունեն իրենց թերությունները, օգտագործման անհարմարությունները: Unary-ն բավական պարզ է պարզ հաշվելու համար, բայց թվաբանական և բարդ հաշվարկների համար՝ ոչբավական լավ:
Հռոմեականում մեծ թվերի ձևավորման միատեսակ կանոններ չկան և առաջանում է շփոթություն, և դրանում հաշվարկներ կատարելը նույնպես շատ դժվար է։ Բացի այդ, ամենամեծ թիվը, որ հին հռոմեացիները կարող էին գրել իրենց մեթոդով, եղել է 100,000:
