Երկրաչափությունը գեղեցիկ է, քանի որ, ի տարբերություն հանրահաշվի, որտեղ միշտ չէ, որ պարզ է, թե ինչ ես մտածում և ինչու, այն տեսանելիություն է տալիս առարկային: Տարբեր մարմինների այս հրաշալի աշխարհը զարդարված է կանոնավոր պոլիեդրներով:
Ընդհանուր տեղեկություններ կանոնավոր բազմաեզրերի մասին
Ըստ շատերի՝ կանոնավոր բազմանիստները, կամ ինչպես կոչվում են նաև Պլատոնական պինդ մարմիններ, ունեն յուրահատուկ հատկություններ։ Այս օբյեկտների հետ կապված են մի քանի գիտական վարկածներ։ Երբ սկսում ես ուսումնասիրել այս երկրաչափական մարմինները, հասկանում ես, որ գործնականում ոչինչ չգիտես այնպիսի հայեցակարգի մասին, ինչպիսին կանոնավոր պոլիեդրաներն են: Դպրոցում այս առարկաների ներկայացումը միշտ չէ, որ հետաքրքիր է, ուստի շատերը չեն էլ հիշում, թե ինչպես են դրանք կոչվում: Մարդկանց մեծ մասը հիշում է միայն խորանարդը: Երկրաչափության մարմիններից ոչ մեկն այնքան կատարյալ չէ, որքան կանոնավոր պոլիէդրանները: Այս երկրաչափական մարմինների բոլոր անվանումները ծագել են Հին Հունաստանից։ Նկատի ունեն երեսների թիվը՝ քառանիստ՝ քառակողմ, վեցանիստ՝ վեցակողմ, ութանիստ՝ ութանիստ, տասներկուանիստ՝ տասներկուակողմ, սրբապատկեր՝ քսանակողմ։ Այս բոլոր երկրաչափական մարմիններըկարեւոր տեղ է զբաղեցրել տիեզերքի մասին Պլատոնի հայեցակարգում։ Դրանցից չորսը անձնավորում էին տարրերը կամ սուբյեկտները՝ քառաեդրոնը՝ կրակ, իկոսաեդրոնը՝ ջուր, խորանարդը՝ երկիր, ութանիստը՝ օդ։ Դոդեկեդրոնը մարմնավորում էր այն ամենը, ինչ գոյություն ունի: Այն համարվում էր գլխավորը, քանի որ այն տիեզերքի խորհրդանիշն էր։
Բազմեյդրոնի հայեցակարգի ընդհանրացում
Բազմանկյունը վերջավոր թվով բազմանկյունների հավաքածու է, որն ունի՝
- Բազմանկյուններից որևէ մեկի կողմը միևնույն ժամանակ նույն կողմում գտնվող միայն մեկ այլ բազմանկյունի կողմն է;
- յուրաքանչյուր բազմանկյունից կարող եք հասնել մյուսներին՝ անցնելով դրան հարող բազմանկյունների երկայնքով:
Բազմանկյունները, որոնք կազմում են բազմանկյունը, նրա դեմքերն են, իսկ կողմերը՝ եզրեր: Բազմայրերի գագաթները բազմանկյունների գագաթներն են։ Եթե բազմանկյուն հասկացությունը հասկացվում է որպես հարթ փակ կոտրված գծեր, ապա հանգում ենք բազմանկյունի մեկ սահմանմանը: Այն դեպքում, երբ այս հասկացությունը նշանակում է հարթության մի հատված, որը սահմանափակված է կոտրված գծերով, ապա պետք է հասկանալ բազմանկյուն կտորներից բաղկացած մակերես։ Ուռուցիկ բազմանկյունը մարմին է, որը գտնվում է հարթության մի կողմում՝ նրա դեմքին կից:
Բազմանիդրի և նրա տարրերի ևս մեկ սահմանում
Բազմանդրոնը բազմանկյուններից բաղկացած մակերես է, որը սահմանափակում է երկրաչափական մարմինը: Դրանք են՝
- ոչ ուռուցիկ;
- ուռուցիկ (ճիշտ և սխալ).
Կանոնավոր բազմանիստը առավելագույն համաչափությամբ ուռուցիկ բազմանիստ է: Կանոնավոր բազմանիստ տարրեր՝
- չորեքէջ՝ 6 եզր, 4 դեմք, 5 գագաթ;
- վեցանկյուն (խորանարդ)՝ 12, 6, 8;
- տասնյակ՝ 30, 12, 20;
- ութանիստ՝ 12, 8, 6;
- իկոսաեդրոն՝ 30, 20, 12.
Էյլերի թեորեմ
Այն կապ է հաստատում եզրերի, գագաթների և երեսների քանակի միջև, որոնք տոպոլոգիապես համարժեք են գնդի: Տարբեր կանոնավոր բազմանիստ գագաթների և երեսների քանակը (B + D) ավելացնելով և դրանք եզրերի քանակի հետ համեմատելով՝ կարելի է հաստատել մեկ օրինաչափություն. 2-ով: Դուք կարող եք դուրս բերել պարզ բանաձև՝
B + D=R + 2
Այս բանաձևը ճիշտ է բոլոր ուռուցիկ բազմանիստների համար:
Հիմնական սահմանումներ
Կանոնավոր բազմանիստ հասկացությունը հնարավոր չէ նկարագրել մեկ նախադասությամբ: Այն ավելի բովանդակալից է ու ծավալուն։ Որպեսզի մարմինը ճանաչվի որպես այդպիսին, այն պետք է համապատասխանի մի շարք սահմանումների: Այսպիսով, երկրաչափական մարմինը կլինի կանոնավոր բազմանիստ, եթե բավարարվեն հետևյալ պայմանները՝
- այն ուռուցիկ է;
- միևնույն թվով եզրեր միանում են նրա յուրաքանչյուր գագաթին;
- Նրա բոլոր երեսները կանոնավոր բազմանկյուններ են՝ հավասար միմյանց;
- Նրա բոլոր երկանկյուն անկյունները հավասար են։
Կանոնավոր բազմաշերտների հատկությունները
Կան կանոնավոր պոլիեդրաների 5 տարբեր տեսակներ.
- Խորանարդ (վեցանկյուն) - վերևում ունի հարթ անկյուն 90°:Ունի 3-կողային անկյուն։ Վերևի հարթ անկյունների գումարը 270° է։
- Տետրաեդրոն - վերևի հարթ անկյուն - 60°: Ունի 3-կողային անկյուն։ Վերևի հարթ անկյունների գումարը 180° է։
- Օկտահեդրոն - հարթ գագաթի անկյուն - 60°: Ունի 4ակողմ անկյուն։ Վերևի հարթ անկյունների գումարը 240° է։
- Դոդեկաեդրոն - հարթ անկյուն 108° գագաթին: Ունի 3-կողային անկյուն։ Վերևի հարթ անկյունների գումարը 324° է։
- Icosahedron - վերևում ունի հարթ անկյուն՝ 60°։ Ունի 5-կողային անկյուն։ Վերևի հարթ անկյունների գումարը 300° է։
Կանոնավոր բազմաշերտների տարածք
Այս երկրաչափական մարմինների (S) մակերեսը հաշվարկվում է որպես կանոնավոր բազմանկյունի մակերես՝ բազմապատկված նրա դեմքերի թվով (G):
S=(a: 2) x 2G ctg π/p
Կանոնավոր բազմանիստի ծավալը
Այս արժեքը հաշվարկվում է կանոնավոր բուրգի ծավալը, որի հիմքում կա կանոնավոր բազմանկյուն, երեսների թվով բազմապատկելով, իսկ բարձրությունը ներգծված գնդիկի շառավիղն է (r)::
V=1: 3rS
Կանոնավոր բազմաեզրների ծավալներ
Ինչպես ցանկացած այլ երկրաչափական մարմին, կանոնավոր պոլիէդրներն ունեն տարբեր ծավալներ: Ստորև բերված են բանաձևերը, որոնցով կարող եք հաշվարկել դրանք՝
- չորեքդրոն՝ α x 3√2: 12;
- ութանիստ՝ α x 3√2: 3;
- իկոսաեդրոն; α x 3;
- վեցանկյուն (խորանարդ)՝ 5 x α x 3 x (3 + √5): 12;
- դոդեկաեդրոն՝ α x 3 (15 + 7√5)՝ 4.
Կանոնավոր բազմաշերտների տարրեր
Վեցանկյունը և ութանիստը երկակի երկրաչափական մարմիններ են։ Այսինքն՝ դրանք կարելի է ձեռք բերել միմյանցից, եթե մեկի դեմքի ծանրության կենտրոնը վերցվի մյուսի գագաթ և հակառակը։ Իկոսաեդրոնը և դոդեկաեդրոնը նույնպես երկակի են։ Միայն քառաեդրոնն է երկակի ինքն իրեն: Էվկլիդեսի մեթոդի համաձայն՝ վեցանկյունից կարելի է տասներեքագլուխ ստանալ՝ խորանարդի երեսին «տանիքներ» կառուցելով։ Տետրաեդրոնի գագաթները կլինեն խորանարդի ցանկացած 4 գագաթ, որոնք զույգերով միմյանց կից չեն եզրի երկայնքով: Վեցանկյունից (խորանարդից) կարող եք ստանալ այլ կանոնավոր բազմանիստ: Չնայած այն հանգամանքին, որ կան անհամար կանոնավոր բազմանկյուններ, կան ընդամենը 5 կանոնավոր բազմանկյուններ:
Կանոնավոր բազմանկյունների շառավիղ
Կա 3 համակենտրոն գնդեր, որոնք կապված են այս երկրաչափական մարմիններից յուրաքանչյուրի հետ.
- նկարագրված է, անցնելով իր գագաթներով;
- գրված՝ դիպչելով նրա յուրաքանչյուր երեսին իր կենտրոնում;
- միջին, դիպչելով բոլոր եզրերին մեջտեղում:
Նկարագրված ոլորտի շառավիղը հաշվարկվում է հետևյալ բանաձևով.
R=a: 2 x tg π/g x tg θ: 2
Ներգրված գնդիկի շառավիղը հաշվարկվում է բանաձևով՝
R=a: 2 x ctg π/p x tg θ: 2,
որտեղ θ-ը հարակից երեսների միջև երկանկյուն անկյունն է:
Մինդային ոլորտի շառավիղը կարելի է հաշվարկել հետևյալ բանաձևով.
ρ=cos π/p: 2 sin π/ժ,
որտեղ h արժեքը=4, 6, 6, 10 կամ 10: Շրջապատված և ներգծված շառավիղների հարաբերակցությունը սիմետրիկ է p-ի և q-ի նկատմամբ: Այնհաշվարկված բանաձևով՝
R/r=tg π/p x tg π/q
Բազմայրերի համաչափություն
Կանոնավոր բազմանիստների համաչափությունն առաջացնում է հիմնական հետաքրքրությունը այս երկրաչափական մարմինների նկատմամբ: Դա հասկացվում է որպես մարմնի այնպիսի շարժում տարածության մեջ, որը թողնում է նույն թվով գագաթներ, դեմքեր և եզրեր։ Այլ կերպ ասած, համաչափության փոխակերպման ազդեցության տակ եզրը, գագաթը, դեմքը կամ պահպանում է իր սկզբնական դիրքը, կամ տեղափոխվում է մեկ այլ եզրի, գագաթի կամ դեմքի սկզբնական դիրք:
Կանոնավոր բազմանիստերի համաչափության տարրերը բնորոշ են նման երկրաչափական մարմինների բոլոր տեսակներին։ Այստեղ մենք խոսում ենք նույնական փոխակերպման մասին, որը թողնում է ցանկացած կետ իր սկզբնական դիրքում: Այսպիսով, երբ դուք պտտում եք բազմանկյուն պրիզմա, կարող եք ստանալ մի քանի սիմետրիա: Նրանցից ցանկացածը կարող է ներկայացվել որպես արտացոլումների արդյունք: Համաչափությունը, որը զույգ թվով արտացոլումների արդյունք է, կոչվում է ուղիղ գիծ: Եթե այն կենտ թվով արտացոլումների արտադրյալ է, ապա այն կոչվում է հակադարձ: Այսպիսով, գծի շուրջ բոլոր պտույտները ուղիղ սիմետրիա են։ Բազմեյդրոնի ցանկացած արտացոլում հակադարձ սիմետրիա է։
Կանոնավոր բազմանիստերի համաչափության տարրերը ավելի լավ հասկանալու համար կարող ենք բերել քառաեդրոնի օրինակ: Ցանկացած ուղիղ գիծ, որը կանցնի այս երկրաչափական պատկերի գագաթներից մեկով և կենտրոնով, կանցնի նաև դրան հակառակ դեմքի կենտրոնով: Գծի շուրջ 120° և 240° պտույտներից յուրաքանչյուրը հոգնակի է:քառաեդրոնի համաչափություն. Քանի որ այն ունի 4 գագաթ և 4 դեմք, կա ընդամենը ութ ուղիղ համաչափություն: Եզրի միջով և այս մարմնի կենտրոնով անցնող ցանկացած գիծ անցնում է նրա հակառակ եզրի միջով: Ցանկացած 180° պտույտ, որը կոչվում է կես պտույտ, ուղիղ գծի շուրջ սիմետրիա է: Քանի որ քառանիստն ունի երեք զույգ եզրեր, կան ևս երեք ուղիղ համաչափություններ։ Ելնելով վերոգրյալից՝ կարող ենք եզրակացնել, որ ուղիղ համաչափությունների ընդհանուր թիվը, ներառյալ նույնական փոխակերպումը, կհասնի տասներկուսի: Չորեքդրոնը չունի այլ ուղիղ սիմետրիա, բայց ունի 12 հակադարձ սիմետրիա։ Ուստի քառաեդրոնը բնութագրվում է ընդհանուր 24 համաչափությամբ։ Պարզության համար դուք կարող եք ստվարաթղթից պատրաստել սովորական քառաեդրոնի մոդել և համոզվել, որ այս երկրաչափական մարմինն իսկապես ունի ընդամենը 24 սիմետրիա։
Դոդեկաեդրոնը և իկոսաեդրոնը ամենամոտն են մարմնի ոլորտին: Սիկոզաեդրոնն ունի ամենամեծ թվով դեմքերը, ամենամեծ երկուղային անկյունը և կարող է առավել ամուր սեղմվել փորագրված գնդին։ Դոդեկաեդրոնն ունի ամենափոքր անկյունային թերությունը, ամենամեծ պինդ անկյունը գագաթին: Նա կարող է առավելագույնս լրացնել իր նկարագրված ոլորտը։
Բազմայրերի ավլումներ
Կանոնավոր չփաթաթված պոլիեդրաները, որոնք մենք բոլորս միասին սոսնձել ենք մանկության տարիներին, շատ հասկացություններ ունեն: Եթե կա բազմանկյունների հավաքածու, որոնց յուրաքանչյուր կողմը նույնացվում է բազմանկյունի միայն մեկ կողմի հետ, ապա կողմերի նույնականացումը պետք է բավարարի երկու պայման՝
:
- յուրաքանչյուր բազմանկյունից կարող եք անցնել այն բազմանկյունների վրա, որոնք ունեննույնացված կողմը;
- որոշված կողմերը պետք է ունենան նույն երկարությունը:
Այս պայմանները բավարարող բազմանկյունների բազմությունը կոչվում է բազմանկյունի զարգացում: Այս մարմիններից յուրաքանչյուրն ունի դրանցից մի քանիսը: Այսպիսով, օրինակ, խորանարդն ունի դրանցից 11-ը։
