Անորոշ ինտեգրալ. Անորոշ ինտեգրալների հաշվարկ

2024 Հեղինակ: Angel Austin | [email protected]. Վերջին փոփոխված: 2024-01-15 17:25

Մաթեմատիկական վերլուծության հիմնարար բաժիններից մեկը ինտեգրալ հաշվարկն է: Այն ընդգրկում է առարկաների ամենալայն դաշտը, որտեղ առաջինը անորոշ ինտեգրալն է։ Արժե այն դիրքավորել որպես բանալի, որը նույնիսկ ավագ դպրոցում բացահայտում է աճող թվով հեռանկարներ և հնարավորություններ, որոնք նկարագրում է բարձրագույն մաթեմատիկան:

Արտաքին տեսք

Առաջին հայացքից ինտեգրալը թվում է միանգամայն արդիական, տեղին, բայց գործնականում պարզվում է, որ այն հայտնվել է դեռ մ.թ.ա. 1800 թվականին։ Եգիպտոսը պաշտոնապես համարվում է հայրենիք, քանի որ նրա գոյության մասին ավելի վաղ վկայություններ մեզ չեն հասել: Նա, տեղեկատվության պակասի պատճառով, այս ամբողջ ընթացքում դիրքավորվել է պարզապես որպես երեւույթ։ Նա եւս մեկ անգամ հաստատեց գիտության զարգացման մակարդակը այն ժամանակների ժողովուրդների շրջանում։ Ի վերջո, հայտնաբերվել են հին հույն մաթեմատիկոսների աշխատանքները, որոնք թվագրվում են մ.թ.ա. 4-րդ դարով։ Նրանք նկարագրեցին մի մեթոդ, որտեղ օգտագործվում էր անորոշ ինտեգրալ, որի էությունը կորագծային գործչի ծավալը կամ մակերեսը գտնելն էր (եռաչափև համապատասխանաբար երկչափ հարթություններ): Հաշվարկի սկզբունքը հիմնված էր սկզբնական գործիչը անվերջ փոքր բաղադրիչների բաժանելու վրա՝ պայմանով, որ դրանց ծավալը (տարածքը) արդեն հայտնի է։ Ժամանակի ընթացքում մեթոդը մեծացել է, Արքիմեդն այն օգտագործել է պարաբոլայի տարածքը գտնելու համար: Նմանատիպ հաշվարկներ իրականացվել են միևնույն ժամանակ Հին Չինաստանի գիտնականների կողմից, և նրանք լիովին անկախ էին գիտության մեջ իրենց հույն գործընկերներից:

Զարգացում

Հաջորդ բեկումը 11-րդ դարում արաբ գիտնական-«համընդհանուր» Աբու Ալի ալ-Բասրիի աշխատանքն էր, ով շրջեց արդեն հայտնիի սահմանները՝ դուրս բերելով գումարների հաշվարկման ինտեգրալի վրա հիմնված բանաձևեր։ տողերի և առաջինից մինչև չորրորդ հզորությունների գումարները՝ դրա համար կիրառելով մեզ հայտնի մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթոդը։

Նոր ժամանակների մտքերը հիանում են, թե ինչպես են հին եգիպտացիները ստեղծում զարմանալի ճարտարապետական հուշարձաններ՝ առանց հատուկ սարքերի, բացառությամբ թերևս իրենց ձեռքերի, բայց մի՞թե այն ժամանակվա գիտնականների մտքի ուժը պակաս հրաշք չէ: Այսօրվա համեմատ նրանց կյանքը գրեթե պարզունակ է թվում, բայց անորոշ ինտեգրալների լուծումը ստացվել է ամենուր և գործնականում օգտագործվել հետագա զարգացման համար։

Հաջորդ քայլը տեղի ունեցավ 16-րդ դարում, երբ իտալացի մաթեմատիկոս Կավալիերին մշակեց անբաժանելիների մեթոդը, որն ընդունվել էր Պիեռ Ֆերմայի կողմից։ Հենց այս երկու անհատականություններն էլ հիմք դրեցին ժամանակակից ինտեգրալ հաշվարկին, որն այս պահին հայտնի է։ Նրանք կապեցին տարբերակման և ինտեգրման հասկացությունները, որոնք նախկինում էինդիտարկվում են որպես ինքնավար միավորներ։ Մեծ հաշվով, այն ժամանակների մաթեմատիկան մասնատված էր, եզրակացությունների մասնիկները գոյություն ունեին ինքնուրույն՝ ունենալով սահմանափակ շրջանակ։ Համախմբման և ընդհանուր լեզու գտնելու ուղին այն ժամանակ միակ ճշմարիտն էր, որի շնորհիվ ժամանակակից մաթեմատիկական վերլուծությունը հնարավորություն ստացավ աճել և զարգանալ։

Ժամանակի ընթացքում ամեն ինչ փոխվել է, ներառյալ ինտեգրալի նշումը: Մեծ հաշվով, գիտնականներն այն անպայման նշել են, օրինակ՝ Նյուտոնն օգտագործել է քառակուսի պատկերակ, որի մեջ տեղադրել է ինտեգրվող ֆունկցիա կամ ուղղակի դրել դրա կողքին։

Այս անհամապատասխանությունը շարունակվեց մինչև 17-րդ դարը, երբ գիտնական Գոթֆրիդ Լայբնիցը, որը մաթեմատիկական անալիզի ամբողջ տեսության ուղենիշ էր, ներկայացրեց մեզ այդքան ծանոթ խորհրդանիշը: Երկարացված «S»-ն իսկապես հիմնված է լատինական այբուբենի այս տառի վրա, քանի որ այն նշանակում է հակաածանցյալների գումարը: Ինտեգրալն իր անունը ստացել է Ջեյքոբ Բեռնուլիի շնորհիվ 15 տարի անց։

Պաշտոնական սահմանում

Անորոշ ինտեգրալն ուղղակիորեն կախված է հակաածանցյալի սահմանումից, այնպես որ նախ դիտարկենք այն:

Հակաածանցյալը այն ֆունկցիան է, որը ածանցյալի հակադարձ է, գործնականում այն կոչվում է նաև պարզունակ։ Հակառակ դեպքում՝ d ֆունկցիայի հակաածանցյալը D ֆունկցիան է, որի ածանցյալը հավասար է v V'=v: Հակաածանցյալի որոնումը անորոշ ինտեգրալի հաշվարկն է, և այս գործընթացն ինքնին կոչվում է ինտեգրացիա։

Օրինակ՝

Ֆունկցիա s(y)=y³, և դրա հակաածանցյալ S(y)=(y^4/4).

Դիտարկվող ֆունկցիայի բոլոր հակաածանցյալների բազմությունը անորոշ ինտեգրալն է, այն նշվում է հետևյալ կերպ՝ ∫v(x)dx.

Պայմանավորված է նրանով, որ V(x)-ը սկզբնական ֆունկցիայի միայն որոշ հակաածանցյալ է, արտահայտությունը տեղի է ունենում՝ ∫v(x)dx=V(x) + C, որտեղ C-ն հաստատուն է: Կամայական հաստատունը ցանկացած հաստատուն է, քանի որ դրա ածանցյալը հավասար է զրոյի։

Հատկություններ

Հատկությունները, որոնք ունի անորոշ ինտեգրալը, հիմնված են հիմնական սահմանման և ածանցյալների հատկությունների վրա:

Եկեք նայենք հիմնական կետերին.

• Հակաածանցյալի ածանցյալից ինտեգրալն ինքնին հակաածանցյալն է գումարած կամայական С ∫V'(x)dx=V(x) + C;
• ֆունկցիայի ինտեգրալի ածանցյալը սկզբնական ֆունկցիան է (∫v(x)dx)'=v(x);
• հաստատուն հանվում է ինտեգրալ նշանի տակից ∫kv(x)dx=k∫v(x)dx, որտեղ k-ը կամայական է;
• գումարից վերցված ինտեգրալը նույնականորեն հավասար է ∫(v(y) + w(y))dy=∫v(y)dy +∫w(y)dy:

Վերջին երկու հատկություններից կարող ենք եզրակացնել, որ անորոշ ինտեգրալը գծային է։ Դրա շնորհիվ մենք ունենք՝ ∫(kv(y)dy +∫ lw(y))dy=k∫v(y)dy + l∫w(y)dy։

Միացման համար դիտարկեք անորոշ ինտեգրալների լուծման օրինակներ։

Անհրաժեշտ է գտնել ∫(3sinx + 4cosx)dx ինտեգրալը:

∫(3sinx + 4cosx)dx=∫3sinxdx + ∫4cosxdx=3∫sinxdx + 4∫cosxdx=3(-cosx) + 4sinx + C=4sinx - 3cosx + C

Օրինակից կարող ենք եզրակացնել.չգիտե՞ս ինչպես լուծել անորոշ ինտեգրալներ։ Պարզապես գտեք բոլոր պարզունակները: Բայց որոնման սկզբունքները կքննարկվեն ստորև։

Մեթոդներ և օրինակներ

Ինտեգրալը լուծելու համար կարող եք դիմել հետևյալ մեթոդներին.

• օգտագործել պատրաստված աղյուսակը;
• ինտեգրում ըստ մասերի;
• ինտեգրվել՝ փոխելով փոփոխականը;
• բերում դիֆերենցիալ նշանի տակ:

Սեղաններ

Ամենահեշտ և ամենահաճելի միջոցը։ Այս պահին մաթեմատիկական վերլուծությունը պարծենում է բավականին ընդարձակ աղյուսակներով, որոնցում գրված են անորոշ ինտեգրալների հիմնական բանաձևերը։ Այսինքն, կան կաղապարներ, որոնք մշակվել են ձեզնից առաջ և ձեզ համար, մնում է միայն օգտագործել դրանք։ Ահա հիմնական աղյուսակի դիրքերի ցանկը, որոնցից կարող եք դուրս բերել լուծում ունեցող գրեթե յուրաքանչյուր օրինակ՝

• ∫0dy=C, որտեղ C-ն հաստատուն է;
• ∫dy=y + C, որտեղ C հաստատուն է;
• ∫y dy=(yn+1) / (n + 1) + C, որտեղ C-ն հաստատուն է և n - ոչ մեկ թիվ;
• ∫(1/y)dy=ln|y| + C, որտեղ C-ն հաստատուն է;
• ∫e^ydy=e^{y + C, որտեղ C-ն հաստատուն է;}
• ∫k^ydy=(k^{y/ln k) + C, որտեղ C-ն հաստատուն է;}
• ∫cosydy=siny + C, որտեղ C-ն հաստատուն է;
• ∫sinydy=-cosy + C, որտեղ C-ն հաստատուն է;
• ∫dy/cos2y=tgy + C, որտեղ C-ն հաստատուն է;
• ∫dy/sin2y=-ctgy + C, որտեղ C-ն հաստատուն է;
• ∫dy/(1 + y2)=arctgy + C, որտեղ C-ն հաստատուն է;
• ∫chydy=ամաչկոտ + C, որտեղ C -հաստատուն;
• ∫shydy=chy + C, որտեղ C-ն հաստատուն է:

Հարկ եղած դեպքում մի երկու քայլ արեք, ինտեգրանդը բերեք աղյուսակային և վայելեք հաղթանակը։ Օրինակ՝ ∫cos(5x -2)dx=1/5∫cos(5x - 2)d(5x - 2)=1/5 x sin(5x - 2) + C.

Ըստ լուծման պարզ է, որ աղյուսակային օրինակի համար ինտեգրանդին բացակայում է 5 գործակիցը։ Մենք այն գումարում ենք՝ զուգահեռաբար բազմապատկելով 1/5-ով, որպեսզի ընդհանուր արտահայտությունը չփոխվի։

Ինտեգրում ըստ մասերի

Դիտարկենք երկու ֆունկցիա՝ z(y) և x(y): Դրանք պետք է շարունակաբար տարբերելի լինեն սահմանման ողջ տիրույթում: Ըստ տարբերակման հատկություններից մեկի՝ ունենք՝ d(xz)=xdz + zdx։ Ինտեգրելով հավասարման երկու մասերը՝ մենք ստանում ենք՝ ∫d(xz)=∫(xdz + zdx)=> zx=∫zdx + ∫xdz։

Ստացված հավասարությունը վերագրելով՝ մենք ստանում ենք բանաձև, որը նկարագրում է ինտեգրման եղանակն ըստ մասերի՝ ∫zdx=zx - ∫xdz։

Ինչու է դա անհրաժեշտ: Բանն այն է, որ որոշ օրինակներ կարելի է պարզեցնել, պայմանականորեն ասած՝ ∫zdx-ը դարձնել ∫xdz, եթե վերջինս մոտ է աղյուսակային ձևին։ Նաև այս բանաձևը կարելի է կիրառել մեկից ավելի անգամ՝ հասնելով օպտիմալ արդյունքների։

Ինչպես լուծել անորոշ ինտեգրալներ այս կերպ՝

պետք է հաշվարկել ∫(s + 1)e2sds

∫(x + 1)e^2sds={z=s+1, dz=ds, y=1/2e^2s, dy=e^2xds}=((s+1)e^2s) / 2-1/2∫e^2s dx=((s+1)e^2s) / 2-e^2s/4+ C;

պետք է հաշվարկել ∫lnsds

∫lnsds={z=lns, dz=ds/s, y=s, dy=ds}=slns - ∫s x ds/s=slns - ∫ds=slns -s + C=s(lns -1) + C.

Փոփոխական փոխարինում

Անորոշ ինտեգրալների լուծման այս սկզբունքը ոչ պակաս պահանջված է, քան երկու նախորդները, թեև ավելի բարդ է։ Մեթոդը հետևյալն է՝ թող V(x) լինի v(x) որոշ ֆունկցիայի ինտեգրալ։ Այն դեպքում, երբ օրինակում ինտեգրալն ինքնին բարդ է երեւում, մեծ է հավանականությունը, որ շփոթվի և գնա սխալ լուծման ճանապարհով: Սրանից խուսափելու համար կիրառվում է x փոփոխականից z անցում, որտեղ ընդհանուր արտահայտությունը տեսողականորեն պարզեցվում է՝ պահպանելով z-ի կախվածությունը x-ից::

Մաթեմատիկորեն այն ունի հետևյալ տեսքը՝ ∫v(x)dx=∫v(y(z))y'(z)dz=V(z)=V(y^{-1(x)), որտեղ x=y(z) փոխարինում է: Եվ, իհարկե, հակադարձ ֆունկցիան z=y}-1^{(x) լիովին նկարագրում է փոփոխականների կախվածությունը և հարաբերությունները: Կարևոր նշում. dx դիֆերենցիալը պարտադիր փոխարինվում է նոր դիֆերենցիալ dz-ով, քանի որ փոփոխականի փոխարինումը անորոշ ինտեգրալում ենթադրում է դրա փոխարինում ամենուր, և ոչ միայն ինտեգրանդում:}

Օրինակ՝

պետք է գտնել ∫(s + 1) / (s2 + 2s - 5)ds

Կիրառել փոխարինումը z=(s+1)/(s2+2s-5): Ապա dz=2sds=2+2(s+1)ds (s+1)ds=dz/2։ Արդյունքում ստանում ենք հետևյալ արտահայտությունը, որը շատ հեշտ է հաշվարկել՝

∫(s+1)/(s²+2s-5)ds=∫(dz/2)/z=1/2ln|z|+C=1/2ln|s^2+2s-5|+C;

պետք է գտնել ինտեգրալը∫2^se^sdx

Լուծելու համար մենք վերագրում ենք արտահայտությունը հետևյալ ձևով.

∫2^se^sds=∫(2e)^sդ.

Նշում ենք a=2e-ով (այս քայլը չի փոխարինում արգումենտին, այն դեռևս s է), մենք մեր թվացյալ բարդ ինտեգրալը բերում ենք տարրական աղյուսակային ձևի՝:

∫(2e)^sds=∫a^sds=a^s / lna + C=(2e)^s / ln(2e) + C=2^se^s / ln(2 + lne) + C=2^se^{s / (ln2 + 1) + C.}

Դիֆերենցիալ նշանի տակ բերելը

Մեծ հաշվով, անորոշ ինտեգրալների այս մեթոդը փոփոխական փոփոխության սկզբունքի զույգ եղբայրն է, սակայն նախագծման գործընթացում կան տարբերություններ: Եկեք մանրամասն նայենք։

Եթե ∫v(x)dx=V(x) + C և y=z(x), ապա ∫v(y)dy=V(y) + C.

Այս դեպքում չպետք է մոռանալ չնչին ինտեգրալ փոխակերպումները, որոնց թվում՝

• dx=d(x + a), որտեղ a-ն ցանկացած հաստատուն է;
• dx=(1 / a)d(ax + b), որտեղ a-ն կրկին հաստատուն է, բայց ոչ հավասար զրոյի;
• xdx=1/2d(x2 + բ);
• sinxdx=-d(cosx);
• cosxdx=d(sinx).

Եթե դիտարկենք ընդհանուր դեպքը, երբ մենք հաշվարկում ենք անորոշ ինտեգրալը, օրինակները կարող են ամփոփվել w'(x)dx=dw(x): ընդհանուր բանաձևով:

Օրինակներ՝

պետք է գտնել ∫(2s + 3)² ds, ds=1/2d(2s + 3)

∫(2s + 3)²ds=1/2∫(2s + 3)²d (2s + 3)=(1/2) x ((2s +3)²) / 3 + C=(1/6) x (2s + 3)^{2 + C;}

∫tgsds=∫sins/cossds=∫d(coss)/coss=-ln|coss| + C.

Առցանց օգնություն

Որոշ դեպքերում, որոնց մեղքը կարող է լինել կամ ծուլությունը կամ հրատապ կարիքը, կարող եք օգտվել առցանց խորհուրդներից, ավելի ճիշտ՝ օգտագործել անորոշ ինտեգրալ հաշվիչը։ Չնայած ինտեգրալների բոլոր ակնհայտ բարդությանը և վիճելիությանը, դրանց լուծումը ենթակա է որոշակի ալգորիթմի, որը հիմնված է «եթե ոչ …, ապա …» սկզբունքի վրա::

Իհարկե, նման հաշվիչը չի տիրապետի հատկապես խճճված օրինակներին, քանի որ կան դեպքեր, երբ լուծումը պետք է գտնել արհեստականորեն՝ «զոռով» որոշակի տարրեր ներմուծելով գործընթացում, քանի որ արդյունքը հնարավոր չէ հասնել ակնհայտորեն. ուղիները. Չնայած այս հայտարարության բոլոր հակասություններին, դա ճիշտ է, քանի որ մաթեմատիկան, սկզբունքորեն, վերացական գիտություն է և իր առաջնային խնդիրն է համարում հնարավորությունների սահմանների ընդլայնման անհրաժեշտությունը: Իրոք, չափազանց դժվար է առաջ շարժվել և զարգանալ ըստ սահուն, վազող տեսությունների, ուստի չպետք է ենթադրել, որ մեր բերած անորոշ ինտեգրալների լուծման օրինակները հնարավորությունների բարձրությունն են: Բայց վերադառնանք իրերի տեխնիկական կողմին: Գոնե հաշվարկները ստուգելու համար կարող եք օգտվել այն ծառայություններից, որոնցում ամեն ինչ գրվել է մեզանից առաջ։ Եթե բարդ արտահայտության ավտոմատ հաշվարկի անհրաժեշտություն կա, ապա դրանք չեն կարող հրաժարվել, դուք ստիպված կլինեք դիմել ավելի լուրջ ծրագրերի: Արժե ուշադրություն դարձնել առաջին հերթին MatLab միջավայրին։

Դիմում

Անորոշ ինտեգրալների լուծումն առաջին հայացքից թվում է, թե իրականությունից լիովին դուրս է, քանի որ դժվար է տեսնել կիրառման ակնհայտ ոլորտները։ Իրոք, դրանք ուղղակիորեն ոչ մի տեղ չեն կարող օգտագործվել, բայց դրանք համարվում են անհրաժեշտ միջանկյալ տարր գործնականում օգտագործվող լուծումների ստացման գործընթացում։ Այսպիսով, ինտեգրումը հակադարձ է տարբերակմանը, ինչի շնորհիվ այն ակտիվորեն մասնակցում է հավասարումների լուծման գործընթացին։

Իր հերթին, այս հավասարումները ուղղակիորեն ազդում են մեխանիկական խնդիրների լուծման, հետագծերի հաշվարկման և ջերմային հաղորդունակության վրա. մի խոսքով այն ամենը, ինչ կազմում է ներկան և ձևավորում ապագան: Անորոշ ինտեգրալը, որի օրինակները մենք վերը քննեցինք, աննշան է միայն առաջին հայացքից, քանի որ այն հիմք է հանդիսանում ավելի ու ավելի շատ նոր բացահայտումներ անելու համար։