Շրջանակը երկրաչափության հիմնական պատկերն է, որի հատկությունները դիտարկվում են դպրոցում 8-րդ դասարանում: Շրջանակի հետ կապված բնորոշ խնդիրներից մեկը դրա որոշ մասի տարածքը գտնելն է, որը կոչվում է շրջանաձև հատված: Հոդվածում ներկայացված են հատվածի տարածքի և նրա աղեղի երկարության բանաձևեր, ինչպես նաև կոնկրետ խնդիր լուծելու համար դրանց օգտագործման օրինակներ:
Շրջանի և շրջանագծի հասկացությունը
Շրջանի հատվածի մակերեսի բանաձևը տալուց առաջ եկեք դիտարկենք, թե որն է նշված թիվը։ Ըստ մաթեմատիկական սահմանման՝ շրջանակը հասկացվում է որպես այնպիսի պատկեր հարթության վրա, որի բոլոր կետերը հավասար են մեկ կետից (կենտրոնից):
Շրջանակը դիտարկելիս օգտագործվում է հետևյալ տերմինաբանությունը.
- Շառավիղ - հատված, որը գծված է կենտրոնական կետից մինչև շրջանագծի կորը: Այն սովորաբար նշվում է R տառով:
- Տրամագիծը հատված է, որը միացնում է շրջանագծի երկու կետերը, բայց նաև անցնում է նկարի կենտրոնով։Այն սովորաբար նշվում է D տառով:
- Arc-ը կոր շրջանագծի մի մասն է: Այն չափվում է կամ երկարության միավորներով կամ անկյունների միջոցով:
Շրջանակը ևս մեկ կարևոր երկրաչափական պատկեր է, այն կետերի հավաքածու է, որը սահմանափակված է կոր շրջանով:
Շրջանակի մակերես և շրջագիծ
Նյութի վերնագրում նշված արժեքները հաշվարկվում են երկու պարզ բանաձևերի միջոցով: Դրանք թվարկված են ստորև՝
- շրջագիծ՝ L=2piR.
- Շրջանակի մակերեսը՝ S=piR2.
Այս բանաձևերում pi-ն ինչ-որ հաստատուն է, որը կոչվում է Pi: Այն իռացիոնալ է, այսինքն չի կարող արտահայտվել ճիշտ որպես պարզ կոտորակ։ Pi-ը մոտավորապես 3,1416 է:
Ինչպես երևում է վերը նշված արտահայտություններից, մակերեսը և երկարությունը հաշվարկելու համար բավական է իմանալ միայն շրջանագծի շառավիղը։
Շրջանակի հատվածի մակերեսը և նրա աղեղի երկարությունը
Նախքան համապատասխան բանաձևերը դիտարկելը, մենք հիշեցնում ենք, որ երկրաչափության անկյունը սովորաբար արտահայտվում է երկու հիմնական ձևով.
- սեքսուալ աստիճաններով, և նրա առանցքի շուրջ ամբողջական պտույտը կազմում է 360o;
- ռադիաններով, արտահայտված որպես pi-ի կոտորակներ և կապված աստիճանների հետ հետևյալ հավասարմամբ. 2pi=360o.
Շրջանակի հատվածը երեք գծերով սահմանափակված պատկեր է` շրջանագծի աղեղ և երկու շառավիղ, որոնք գտնվում են այս աղեղի ծայրերում: Շրջանաձև հատվածի օրինակը ներկայացված է ստորև նկարում:
Պատկերացում կազմել, թե ինչ է շրջանի հատվածը, հեշտ էհասկանալ, թե ինչպես կարելի է հաշվարկել դրա մակերեսը և համապատասխան աղեղի երկարությունը: Վերևի նկարից երևում է, որ հատվածի աղեղը համապատասխանում է θ անկյունին։ Մենք գիտենք, որ լրիվ շրջանը համապատասխանում է 2pi ռադիանի, ուստի շրջանաձև հատվածի մակերեսի բանաձևը կունենա հետևյալ ձևը՝ S1=Sθ/(2 pi)=piR 2θ/(2pi)=θR2/2: Այստեղ θ անկյունն արտահայտված է ռադիաններով։ Սեկտորի տարածքի համանման բանաձևը, եթե θ անկյունը չափվում է աստիճաններով, կունենա հետևյալ տեսքը՝ S1=piθR2 /360.
Սեկտոր կազմող աղեղի երկարությունը հաշվարկվում է բանաձևով՝ L1=θ2piR/(2pi)=θR: Իսկ եթե θ-ը հայտնի է աստիճաններով, ապա՝ L1=piθR/180.
Խնդիրների լուծման օրինակ
Օգտագործենք պարզ խնդրի օրինակ՝ ցույց տալու համար, թե ինչպես օգտագործել բանաձևերը շրջանագծի հատվածի մակերեսի և նրա աղեղի երկարության համար:
Հայտնի է, որ անիվն ունի 12 շիթ։ Երբ անիվը կատարում է մեկ ամբողջական պտույտ, այն անցնում է 1,5 մետր տարածություն։ Որքա՞ն է անիվի երկու հարակից ճառագայթների միջև ընկած տարածքը, և որքա՞ն է նրանց միջև եղած աղեղի երկարությունը:
Ինչպես երևում է համապատասխան բանաձևերից, դրանք օգտագործելու համար անհրաժեշտ է իմանալ երկու մեծություն՝ շրջանագծի շառավիղը և աղեղի անկյունը։ Շառավիղը կարելի է հաշվարկել՝ իմանալով անիվի շրջագիծը, քանի որ մեկ պտույտով նրա անցած տարածությունը հենց դրան է համապատասխանում: Մենք ունենք՝ 2Rpi=1.5, որտեղից՝ R=1.5/(2pi)=0.2387 մետր։ Մոտակա ճառագայթների միջև եղած անկյունը կարելի է որոշել՝ իմանալով դրանց թիվը:Ենթադրելով, որ բոլոր 12 ճառագայթները հավասարաչափ բաժանում են շրջանակը հավասար հատվածների, մենք ստանում ենք 12 նույնական հատվածներ: Ըստ այդմ, երկու ճառագայթների միջև աղեղի անկյունային չափը հետևյալն է. θ=2pi/12=pi/6=0,5236 ռադիան։
Մենք գտել ենք բոլոր անհրաժեշտ արժեքները, այժմ դրանք կարող են փոխարինվել բանաձևերում և հաշվարկել խնդրի պայմանով պահանջվող արժեքները: Մենք ստանում ենք՝ S1=0,5236(0,2387)2/2=0,0149 մ2, կամ 149սմ2; L1=0,52360,2387=0,125 մ կամ 12,5 սմ։
