Ուժի նախագծում առանցքի և հարթության վրա. Ֆիզիկա

2024 Հեղինակ: Angel Austin | [email protected]. Վերջին փոփոխված: 2023-12-17 05:30

Իշխանությունը ֆիզիկայի ամենակարևոր հասկացություններից մեկն է: Այն առաջացնում է ցանկացած օբյեկտի վիճակի փոփոխություն: Այս հոդվածում մենք կքննարկենք, թե որն է այս արժեքը, ինչ ուժեր կան, ինչպես նաև ցույց կտանք, թե ինչպես կարելի է գտնել ուժի պրոյեկցիան առանցքի և հարթության վրա:

Իշխանությունը և դրա ֆիզիկական նշանակությունը

Ֆիզիկայի մեջ ուժը վեկտորային մեծություն է, որը ցույց է տալիս մարմնի իմպուլսի փոփոխությունը ժամանակի միավորի վրա։ Այս սահմանումը ուժը համարում է դինամիկ հատկանիշ: Ստատիկի տեսանկյունից ուժը ֆիզիկայում մարմինների առաձգական կամ պլաստիկ դեֆորմացիայի չափն է։

Միջազգային SI համակարգն արտահայտում է ուժը նյուտոններով (N): Ինչ է 1 Նյուտոնը, դասական մեխանիկայի երկրորդ օրենքի օրինակը հասկանալու ամենահեշտ ձևը: Դրա մաթեմատիկական նշումը հետևյալն է.

F¯=ma¯

Այստեղ F¯ ինչ-որ արտաքին ուժ է, որը գործում է m զանգվածով մարմնի վրա և հանգեցնում է a¯ արագացման: Մեկ նյուտոնի քանակական սահմանումը բխում է բանաձևից. 1 N-ն այնպիսի ուժ է, որը հանգեցնում է 1 կգ զանգված ունեցող մարմնի արագության փոփոխությանը յուրաքանչյուր վայրկյանի համար 1 մ/վրկ-ով:

Դինամիկայի օրինակներՈւժի դրսևորումները երկրագնդի գրավիտացիոն դաշտում մեքենայի կամ ազատորեն ընկնող մարմնի արագացումն են։

Ուժի ստատիկ դրսևորումը, ինչպես նշվեց, կապված է դեֆորմացիոն երևույթների հետ։ Այստեղ պետք է տրվեն հետևյալ բանաձևերը՝

F=PS

F=-kx

Առաջին արտահայտությունը վերաբերում է F ուժին P ճնշմանը, որը այն գործադրում է S որոշ տարածքի վրա: Այս բանաձևի միջոցով 1 N-ը կարող է սահմանվել որպես 1 պասկալի ճնշում, որը կիրառվում է 1 m տարածքի վրա: 2^{. Օրինակ՝ ծովի մակարդակի վրա մթնոլորտային օդի սյունը սեղմում է 1 մ} 2¹⁰ 10⁵N! տեղամասի վրա:

Երկրորդ արտահայտությունը Հուկի օրենքի դասական ձևն է: Օրինակ, զսպանակը x գծային արժեքով ձգելը կամ սեղմելը հանգեցնում է F հակադիր ուժի առաջացմանը (k արտահայտության մեջ համաչափության գործակիցն է):

Ինչ ուժեր կան

Վերևում արդեն ցույց է տրվել, որ ուժերը կարող են լինել ստատիկ և դինամիկ: Այստեղ մենք ասում ենք, որ բացի այս հատկանիշից, դրանք կարող են լինել շփման կամ հեռահար ուժեր։ Օրինակ, շփման ուժը, աջակցության ռեակցիաները շփման ուժեր են: Նրանց հայտնվելու պատճառը Պաուլիի սկզբունքի վավերականությունն է։ Վերջինս նշում է, որ երկու էլեկտրոնները չեն կարող զբաղեցնել նույն վիճակը։ Այդ իսկ պատճառով երկու ատոմների հպումը հանգեցնում է նրանց վանմանը։

Հեռահար ուժեր առաջանում են որոշակի կրող դաշտի միջով մարմինների փոխազդեցության արդյունքում։ Օրինակ, այդպիսիք են ձգողության ուժը կամ էլեկտրամագնիսական փոխազդեցությունը։ Երկու ուժերն էլ ունեն անսահման տիրույթ,Այնուամենայնիվ, դրանց ինտենսիվությունը նվազում է որպես հեռավորության քառակուսի (Կուլոնի օրենքներ և գրավիտացիա):

Հզորությունը վեկտորային մեծություն է

Զբաղվելով դիտարկվող ֆիզիկական մեծության նշանակության հետ՝ կարող ենք անցնել առանցքի վրա ուժի պրոյեկցիայի հարցի ուսումնասիրությանը։ Նախ, մենք նշում ենք, որ այս մեծությունը վեկտոր է, այսինքն, այն բնութագրվում է մոդուլով և ուղղությամբ: Մենք ցույց կտանք, թե ինչպես կարելի է հաշվարկել ուժի մոդուլը և դրա ուղղությունը:

Հայտնի է, որ ցանկացած վեկտոր կարող է եզակիորեն սահմանվել տվյալ կոորդինատային համակարգում, եթե հայտնի են դրա սկզբի և վերջի կոորդինատների արժեքները: Ենթադրենք, որ կա որոշ ուղղորդված հատված MN¯: Այնուհետև դրա ուղղությունը և մոդուլը կարելի է որոշել՝ օգտագործելով հետևյալ արտահայտությունները՝

MN¯=(x₂-x₁; y₂-y 1_{; z}2_-z1_);

|MN¯|=√((x₂-x₁)²+ (y_{2 -y}1₎2^{+ (z}2_-z1 ₎2^).

Այստեղ 2 ինդեքսներով կոորդինատները համապատասխանում են N կետին, 1 ինդեքսներով կոորդինատները համապատասխանում են M կետին: MN¯ վեկտորն ուղղված է M-ից N:

Ընդհանրության համար մենք ցույց տվեցինք, թե ինչպես կարելի է գտնել վեկտորի մոդուլը և կոորդինատները (ուղղությունը) եռաչափ տարածության մեջ: Նմանատիպ բանաձևերը առանց երրորդ կոորդինատների վավեր են հարթության վրա գտնվող գործի համար:

Այսպիսով, ուժի մոդուլը նրա բացարձակ արժեքն է՝ արտահայտված նյուտոններով։ Երկրաչափության տեսանկյունից մոդուլը ուղղորդված հատվածի երկարությունն է։

Ինչի վրա է ուժի պրոյեկցիանառանցք?

Առավել հարմար է խոսել ուղղորդված հատվածների կանխատեսումների մասին կոորդինատային առանցքների և հարթությունների վրա, եթե նախ տեղադրեք համապատասխան վեկտորը սկզբնաղբյուրում, այսինքն՝ կետում (0; 0; 0): Ենթադրենք, մենք ունենք որոշ ուժի վեկտոր F¯: Տեղադրենք դրա սկիզբը (0; 0; 0) կետում, ապա վեկտորի կոորդինատները կարելի է գրել հետևյալ կերպ՝

F¯=((x₁- 0); (y₁- 0); (z₁ - 0))=(x₁; y₁; z₁):

Վեկտոր F¯ ցույց է տալիս ուժի ուղղությունը տվյալ կոորդինատային համակարգում: Այժմ գծենք ուղղահայաց հատվածներ F¯-ի վերջից մինչև յուրաքանչյուր առանցք: Համապատասխան առանցքի հետ ուղղահայաց հատման կետից մինչև սկզբնակետը կոչվում է առանցքի վրա գործող ուժի պրոյեկցիա։ Դժվար չէ կռահել, որ F¯ ուժի դեպքում նրա կանխատեսումները x, y և z առանցքների վրա կլինեն x₁, y_{1 և z 1}, համապատասխանաբար: Նկատի ունեցեք, որ այս կոորդինատները ցույց են տալիս ուժի կանխատեսումների մոդուլները (հատվածների երկարությունը):

Անկյուններ ուժի և դրա ելքերի միջև կոորդինատային առանցքների վրա

Այս անկյունները հաշվարկելը դժվար չէ։ Այն լուծելու համար անհրաժեշտ է միայն եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հատկությունների իմացությունը և Պյութագորասի թեորեմը կիրառելու կարողությունը:

Օրինակ, եկեք սահմանենք ուժի ուղղության և դրա պրոյեկցիայի անկյունը x առանցքի վրա: Համապատասխան ուղղանկյուն եռանկյունը կձևավորվի հիպոթենուսով (F¯ վեկտոր) և ոտքով (հատված x₁): Երկրորդ ոտքը F¯ վեկտորի վերջից մինչև x առանցքի հեռավորությունն է: F¯-ի և x առանցքի միջև α անկյունը հաշվարկվում է բանաձևով՝

α=arccos(|x₁|/|F¯|)=arccos(x₁/√(x ₁²+y₁²+z₁ ²)).

Ինչպես տեսնում եք, առանցքի և վեկտորի միջև անկյունը որոշելու համար անհրաժեշտ և բավարար է իմանալ ուղղորդված հատվածի վերջի կոորդինատները։

Այլ առանցքներով (y և z) անկյունների համար կարող եք գրել նմանատիպ արտահայտություններ՝

β=arccos(|y₁|/|F¯|)=arccos(y₁/√(x 12^+y12^+z 12^));

γ=arccos(|z₁|/|F¯|)=arccos(z₁/√(x 12^+y12^+z 12^)).

Նշենք, որ բոլոր բանաձեւերում կան մոդուլներ համարիչներում, ինչը վերացնում է բութ անկյունների տեսքը։ Ուժի և դրա առանցքային ելքերի միջև անկյունները միշտ փոքր են կամ հավասար են 90^o:

Ուժը և դրա կանխատեսումները կոորդինատային հարթության վրա

Ուժի ելքի սահմանումը հարթության վրա նույնն է, ինչ առանցքի համար, միայն այս դեպքում ուղղահայացը պետք է իջեցվի ոչ թե առանցքի, այլ հարթության վրա:

Տարածական ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգի դեպքում մենք ունենք երեք միմյանց ուղղահայաց հարթություններ xy (հորիզոնական), yz (ճակատային ուղղահայաց), xz (կողային ուղղահայաց): Վեկտորի ծայրից դեպի նշված հարթություններն ընկած ուղղահայաց հատման կետերն են՝

(x₁; y₁; 0) xy-ի համար;

(x₁; 0; z₁) xz-ի համար;

(0; y₁; z₁) zy-ի համար։

Եթե նշված կետերից յուրաքանչյուրը միացված է սկզբնակետին, ապա մենք ստանում ենք F¯ ուժի պրոյեկցիան համապատասխան հարթության վրա: Ինչ է ուժի մոդուլը, մենք գիտենք: Յուրաքանչյուր պրոյեկցիայի մոդուլը գտնելու համար անհրաժեշտ է կիրառել Պյութագորասի թեորեմը։ Եկեք նշենք հարթության վրա կանխատեսումները որպես F_xy, F_xz և F_zy: Այնուհետև հավասարությունները կգործեն իրենց մոդուլների համար՝

F_xy=√(x₁²+y₁ ²);

F_xz=√(x₁²+ z₁ ²);

F_zy=√(y₁²+ z₁ ²).

Անկյուններ հարթության վրա պրոյեկցիաների և ուժի վեկտորի միջև

Վերևի պարբերությունում տրվել են բանաձևեր դիտարկվող F¯ վեկտորի հարթության վրա պրոյեկցիաների մոդուլների համար: Այս ելքերը, F¯ հատվածի և դրա ծայրից մինչև հարթություն հեռավորության հետ միասին, կազմում են ուղղանկյուն եռանկյուններ: Հետևաբար, ինչպես առանցքի վրա կանխատեսումների դեպքում, խնդրո առարկա անկյունները հաշվարկելու համար կարող եք օգտագործել եռանկյունաչափական ֆունկցիաների սահմանումը: Կարող եք գրել հետևյալ հավասարումները՝

α=arccos(F_xy/|F¯|)=arccos(√(x₁^{2 +y}12^{) /√(x}12 +y¹₂+z¹₂));

β=arccos(F_xz/|F¯|)=arccos(√(x₁^{2 +z}12^)/√(x12 +y¹₂+z¹₂));

γ=arccos(F_zy/|F¯|)=arccos(√(y₁²+z₁²)/√(x₁²+y₁² +z₁²)).

Կարևոր է հասկանալ, որ F¯ ուժի ուղղության և հարթության վրա դրա համապատասխան պրոյեկցիայի միջև ընկած անկյունը հավասար է F¯-ի և այս հարթության անկյան հետ: Եթե այս խնդիրը դիտարկենք երկրաչափության տեսանկյունից, ապա կարող ենք ասել, որ ուղղորդված F¯ հատվածը թեքված է xy, xz և zy հարթությունների նկատմամբ։

Որտե՞ղ են օգտագործվում ուժի կանխատեսումները:

Կորդինատային առանցքների և հարթության վրա ուժի կանխատեսումների վերը նշված բանաձևերը միայն տեսական հետաքրքրություն չեն ներկայացնում: Դրանք հաճախ օգտագործվում են ֆիզիկական խնդիրների լուծման համար։ Հենց պրոյեկցիաներ գտնելու գործընթացը կոչվում է ուժի տարրալուծում նրա բաղադրիչների։ Վերջիններս վեկտորներ են, որոնց գումարը պետք է տա սկզբնական ուժի վեկտորը։ Ընդհանուր դեպքում հնարավոր է ուժը տարրալուծել կամայական բաղադրիչների, սակայն խնդիրներ լուծելու համար հարմար է օգտագործել պրոյեկցիաները ուղղահայաց առանցքների և հարթությունների վրա։

Խնդիրները, որտեղ կիրառվում է ուժի կանխատեսումների հայեցակարգը, կարող են շատ տարբեր լինել: Օրինակ, նույն Նյուտոնի երկրորդ օրենքը ենթադրում է, որ մարմնի վրա ազդող արտաքին ուժը F¯ պետք է ուղղված լինի նույն կերպ, ինչ արագության վեկտորը: Եթե դրանց ուղղությունները տարբերվում են ինչ-որ անկյան տակ, ապա, որպեսզի հավասարությունը մնա վավեր, պետք է դրա մեջ փոխարինել ոչ թե բուն F¯ ուժը, այլ դրա պրոյեկցիան v¯ ուղղության վրա:

Հաջորդում կտանք մի քանի օրինակ, որտեղ ցույց կտանք, թե ինչպես օգտագործել ձայնագրվածը.բանաձևեր.

Ուժի կանխատեսումները որոշելու խնդիրը հարթության վրա և կոորդինատային առանցքների վրա

Ենթադրենք, որ կա F¯ ուժ, որը ներկայացված է վեկտորով, որն ունի հետևյալ վերջի և սկզբի կոորդինատները.

(2; 0; 1);

(-1; 4; -1).

Անհրաժեշտ է որոշել ուժի մոդուլը, ինչպես նաև դրա բոլոր կանխատեսումները կոորդինատային առանցքների և հարթությունների վրա, ինչպես նաև F¯-ի և նրա յուրաքանչյուր պրոյեկցիայի միջև ընկած անկյունները:

Եկեք սկսենք լուծել խնդիրը՝ հաշվարկելով F¯ վեկտորի կոորդինատները: Մենք ունենք՝

F¯=(-1; 4; -1) - (2; 0; 1)=(-3; 4; -2).

Այդ դեպքում ուժի մոդուլը կլինի՝

|F¯|=√(9 + 16 + 4)=√29 ≈ 5, 385 N.

Կորդինատային առանցքների վրա կանխատեսումները հավասար են F¯ վեկտորի համապատասխան կոորդինատներին: Եկեք հաշվարկենք նրանց և F¯ ուղղության անկյունները: Մենք ունենք՝

α=arccos(|-3 |/5, 385) ≈ 56, 14^o;

β=arccos(|4|/5, 385) ≈ 42, 03^o;

γ=arccos(|-2|/5, 385) ≈ 68, 20^o.

Քանի որ F¯ վեկտորի կոորդինատները հայտնի են, հնարավոր է հաշվարկել ուժի կանխատեսումների մոդուլները կոորդինատային հարթության վրա: Օգտագործելով վերը նշված բանաձևերը, մենք ստանում ենք՝

F_xy=√(9 +16)=5 N;

F_xz=√(9 + 4)=3, 606 N;

F_zy=√(16 + 4)=4, 472 N.

Վերջապես, մնում է հաշվարկել հարթության վրա հայտնաբերված ելուստների և ուժային վեկտորի անկյունները: Մենք ունենք՝

α=arccos(F_xy/|F¯|)=arccos(5/5, 385) ≈ 21, 8^o;

β=arccos(F_xz/|F¯|)=arccos(3, 606/5, 385) ≈ 48, 0^o;

γ=arccos(F_zy/|F¯|)=arccos(4, 472/5, 385) ≈ 33, 9^o.

Այսպիսով, F¯ վեկտորը ամենամոտ է xy կոորդինատային հարթությանը:

Խնդիր թեք հարթության վրա սահող ձողի հետ

Այժմ լուծենք ֆիզիկական խնդիր, որտեղ անհրաժեշտ կլինի կիրառել ուժի պրոյեկցիայի հայեցակարգը։ Թող տրվի փայտե թեք հարթություն: Հորիզոնի նկատմամբ նրա թեքության անկյունը 45^o է։ Ինքնաթիռում փայտե բլոկ է, որի զանգվածը 3 կգ է: Պետք է որոշել, թե ինչ արագացումով այս բարը կտեղափոխվի հարթության վրա, եթե հայտնի է, որ սահող շփման գործակիցը 0,7 է։

Նախ, կազմենք մարմնի շարժման հավասարումը: Քանի որ դրա վրա կգործեն միայն երկու ուժեր (ծանրության պրոյեկցիան հարթության վրա և շփման ուժ), ապա հավասարումը կունենա հետևյալ ձևը՝

F_g- F_f=ma=>

a=(F_g- F_f)/մ.

Այստեղ F_g, F_f-ը համապատասխանաբար ձգողության և շփման պրոյեկցիան է: Այսինքն՝ առաջադրանքը կրճատվում է դրանց արժեքների հաշվարկով։

Քանի որ հարթության թեքության անկյունը դեպի հորիզոնը 45^o է, հեշտ է ցույց տալ, որ ձգողականության պրոյեկցիան F_g Ինքնաթիռի մակերևույթիերկայնքով հավասար կլինի՝