Maclaurin շարքը և որոշ գործառույթների ընդլայնում

2024 Հեղինակ: Angel Austin | [email protected]. Վերջին փոփոխված: 2023-12-17 05:30

Բարձրագույն մաթեմատիկայի սովորողները պետք է տեղյակ լինեն, որ տվյալ շարքի կոնվերգենցիայի միջակայքին պատկանող որոշ ուժային շարքերի գումարը ստացվում է շարունակական և անսահմանափակ թվով անգամ տարբերակված ֆունկցիա։ Հարց է առաջանում՝ կարելի՞ է պնդել, որ տրված կամայական f(x) ֆունկցիան ինչ-որ ուժային շարքերի գումար է։ Այսինքն՝ ի՞նչ պայմաններում f(x) ֆունկցիան կարող է ներկայացվել ուժային շարքով։ Այս հարցի կարևորությունը կայանում է նրանում, որ f(x) ֆունկցիան մոտավորապես հնարավոր է փոխարինել հզորությունների շարքի առաջին մի քանի անդամների գումարով, այսինքն՝ բազմանդամով։ Ֆունկցիայի նման փոխարինումը բավականին պարզ արտահայտությամբ՝ բազմանդամով, հարմար է նաև մաթեմատիկական վերլուծության որոշ խնդիրներ լուծելիս, մասնավորապես՝ ինտեգրալներ լուծելիս, դիֆերենցիալ հավասարումներ և այլն։

Ապացուցված է, որ f(х) որոշ ֆունկցիաների համար, որտեղ մինչև (n+1)-րդ կարգի ածանցյալները, ներառյալ վերջինը, կարող են հաշվարկվել հարևանությամբ (α _{- R; x}0 _{+ R) որոշ կետի x=α բանաձևը վավեր է.}

Այս բանաձևը անվանվել է հայտնի գիտնական Բրուկ Թեյլորի պատվին։ Նախորդից ստացված շարքը կոչվում է Maclaurin շարք՝

Կանոն, որը հնարավորություն է տալիս ընդլայնվել Maclaurin շարքում.

1. Որոշել առաջին, երկրորդ, երրորդ… կարգերի ածանցյալները։
2. Հաշվե՛ք, թե x=0-ում ինչի են հավասար ածանցյալները:
3. Գրանցեք Maclaurin շարքը այս ֆունկցիայի համար, այնուհետև որոշեք դրա կոնվերգենցիայի միջակայքը:
4. Որոշեք այն միջակայքը (-R;R), որտեղ մնացորդն է Maclaurin բանաձևը

R (x) -> 0 n -> անսահմանության համար: Եթե մեկը գոյություն ունի, դրա մեջ f(x) ֆունկցիան պետք է համընկնի Մակլաուրինի շարքի գումարի հետ։

Այժմ հաշվի առեք Maclaurin շարքը առանձին գործառույթների համար:

1. Այսպիսով, առաջինը կլինի f(x)=e^x: Իհարկե, ըստ իր հատկանիշների, նման ֆունկցիան ունի տարբեր կարգերի ածանցյալներ, և f^(k)(x)=e^x, որտեղ k-ը հավասար է բոլորին բնական թվեր. Փոխարինենք x=0: Մենք ստանում ենք f^(k)(0)=e⁰=1, k=1, 2… ^{-ն այսպիսի տեսք կունենա՝}

2. Մակլաուրինի շարքը f(x)=sin x ֆունկցիայի համար: Անմիջապես հստակեցրեք, որ բոլոր անհայտների ֆունկցիան կունենա ածանցյալներ, բացի f^'(x)=cos x=sin(x+n/2), f ^{'' (x)=-sin x=sin(x+2n/2)…, f}(k)^{(x)=մեղք(x+k n/2), որտեղ k-ը հավասար է ցանկացած բնական թվի. Այսինքն՝ պարզ հաշվարկներ կատարելուց հետո կարող ենք գալ այն եզրակացության, որ f(x)=sin x-ի շարքը կունենա հետևյալ տեսքը՝}

3. Այժմ փորձենք դիտարկել f(x)=cos x ֆունկցիան։ Նա բոլոր անհայտների համար էունի կամայական կարգի ածանցյալներ, և |f^(k)(x)|=|cos(x+kp/2)|<=1, k=1, 2… Կրկին, որոշ հաշվարկներ կատարելուց հետո մենք ստանում ենք, որ f(x)=cos x-ի շարքը կունենա հետևյալ տեսքը՝

Այսպիսով, մենք թվարկել ենք ամենակարևոր գործառույթները, որոնք կարելի է ընդլայնել Maclaurin շարքում, բայց դրանք լրացվում են Taylor շարքով որոշ գործառույթների համար: Այժմ մենք թվարկենք դրանք: Հարկ է նաև նշել, որ Թեյլորի և Մակլաուրինի շարքերը բարձրագույն մաթեմատիկայի շարքերի լուծման պրակտիկայի կարևոր մասն են: Այսպիսով, Թեյլորի շարքը։

1. Առաջինը կլինի մի շարք f-ii f(x)=ln(1+x): Ինչպես նախորդ օրինակներում, մեզ տրված f (x)=ln (1 + x), մենք կարող ենք մի շարք ավելացնել՝ օգտագործելով Maclaurin շարքի ընդհանուր ձևը: սակայն, այս ֆունկցիայի համար Maclaurin շարքը կարելի է ձեռք բերել շատ ավելի պարզ: Որոշակի երկրաչափական շարք ինտեգրելուց հետո մենք ստանում ենք այս նմուշի f(x)=ln(1+x) շարքը՝

2. Եվ երկրորդը, որը վերջնական կլինի մեր հոդվածում, կլինի մի շարք f (x) u003d arctg x: [-1;1] միջակայքին պատկանող x-ի համար ընդլայնումը վավեր է՝

Ահա և վերջ: Այս հոդվածը ուսումնասիրել է ամենաշատ օգտագործվող Թեյլորի և Մակլաուրինի շարքերը բարձրագույն մաթեմատիկայի մեջ, մասնավորապես, տնտեսական և տեխնիկական համալսարաններում: