Կոսինուսի ածանցյալը գտնում ենք սինուսի ածանցյալի հետ անալոգիայով, ապացույցի հիմքը ֆունկցիայի սահմանի սահմանումն է։ Դուք կարող եք օգտագործել մեկ այլ մեթոդ՝ օգտագործելով անկյունների կոսինուսի և սինուսի եռանկյունաչափական կրճատման բանաձևերը: Արտահայտե՛ք մի ֆունկցիա մյուսի մասով՝ կոսինուսը սինուսով, և սինուսը տարբերե՛ք բարդ արգումենտով։
Դիտարկենք բանաձևի ստացման առաջին օրինակը (Cos(x))'
Տվեք աննշանորեն փոքր աճ Δx y=Cos(x) ֆունկցիայի x արգումենտին: х+Дх արգումենտի նոր արժեքով ստանում ենք Cos(х+Δх) ֆունկցիայի նոր արժեքը։ Այնուհետև Δy ֆունկցիայի աճը հավասար կլինի Cos(х+Δx)-Cos(x):
Ֆունկցիայի աճի հարաբերակցությունը Δх-ին կլինի՝ (Cos(х+Δx)-Cos(x)) /Դх. Ստացված կոտորակի համարիչում կատարենք նույնական փոխակերպումներ։ Հիշեք անկյունների կոսինուսների տարբերության բանաձևը, արդյունքը կլինի -2Sin (Δx / 2) բազմապատկած Sin (x + Δx / 2) արտադրյալը: Մենք գտնում ենք այս արտադրյալի գործակցի սահմանաչափը Δx-ի վրա, քանի որ Δx-ը ձգտում է զրոյի: Հայտնի է, որ առաջին(այն կոչվում է հրաշալի) սահմանային lim(Sin(Δx/2)/(Δx/2)) հավասար է 1-ի, իսկ -Sin(x+Δx/2) սահմանը հավասար է -Sin(x)-ի որպես Δx: ձգտում է զրոյի։ Գրիր արդյունքը. (Cos(x))'-ի ածանցյալը հավասար է - Sin(x).
Ոմանք նախընտրում են նույն բանաձևը ստանալու երկրորդ եղանակը
Եռանկյունաչափության ընթացքից հայտնի է՝ Cos(x) հավասար է Sin(0, 5 ∏-x), նմանապես Sin(x) հավասար է Cos(0, 5 ∏-x): Այնուհետև մենք տարբերակում ենք բարդ ֆունկցիա՝ լրացուցիչ անկյան սինուս (x-ի փոխարեն):
Ստացվում է Cos(0, 5 ∏-x) (0, 5 ∏-x) արտադրյալը, քանի որ. x սինուսի ածանցյալը հավասար է X կոսինուսին: Մենք դիմում ենք Sin(x)=Cos(0.5 ∏-x) երկրորդ բանաձևին՝ կոսինուսը սինուսով փոխարինելու՝ հաշվի առնելով, որ (0.5 ∏-x)'=-1։ Այժմ մենք ստանում ենք -Sin(x). Այսպիսով, գտնվել է կոսինուսի ածանցյալը, y'=-Sin(x) y=Cos(x) ֆունկցիայի համար.
Քառակուսի կոսինուսի ածանցյալ
Հաճախ օգտագործվող օրինակ, որտեղ օգտագործվում է կոսինուսի ածանցյալը: y=Cos2(x) ֆունկցիան դժվար է: Սկզբում գտնում ենք հզորության ֆունկցիայի դիֆերենցիալը 2 աստիճանով, այն կլինի 2·Cos(x), այնուհետև այն բազմապատկում ենք (Cos(x))' ածանցյալով, որը հավասար է -Sin(x): Մենք ստանում ենք y'=-2 Cos(x) Sin(x): Երբ մենք կիրառում ենք Sin(2x) բանաձևը, կրկնակի անկյան սինուսը, մենք ստանում ենք վերջնական պարզեցվածպատասխան y'=-Sin(2x)
Հիպերբոլիկ ֆունկցիաներ
Օգտագործվում են բազմաթիվ տեխնիկական առարկաների ուսումնասիրության մեջ. օրինակ մաթեմատիկայի մեջ հեշտացնում են ինտեգրալների հաշվարկը, դիֆերենցիալ հավասարումների լուծումը։ Դրանք արտահայտվում են եռանկյունաչափական ֆունկցիաներով՝ երևակայականովփաստարկ, այնպես որ հիպերբոլիկ կոսինուսը ch(x)=Cos(i x), որտեղ i-ն երևակայական միավորն է, հիպերբոլիկ սինուսը sh(x)=Sin(i x).
Հիպերբոլիկ կոսինուսի ածանցյալը հաշվարկվում է բավականին պարզ:
Դիտարկենք y ֆունկցիան (ex+e-x) /2, սա և ch(x) հիպերբոլիկ կոսինուսն է: Օգտագործում ենք երկու արտահայտությունների գումարի ածանցյալը գտնելու կանոնը, հաստատուն գործոնը (Const) ածանցյալի նշանից հանելու կանոնը։ Երկրորդ անդամը 0,5 e-x բարդ ֆունկցիա է (դրա ածանցյալը -0,5 e-x), 0,5 eх - առաջին ժամկետը. (ch(x)) '=((ex+e-x)/2)' կարելի է գրել այլ կերպ՝ (0, 5 ex+0, 5 e-x)'=0, 5 e x-0, 5 e-x, քանի որ ածանցյալը (e - x)' հավասար է -1 անգամ e-x: Արդյունքը տարբերություն է, և սա հիպերբոլիկ սինուսն է sh(x).Ելք. (ch(x))'=sh(x).
Եկեք նայենք մի օրինակ, թե ինչպես հաշվարկել y=ch ֆունկցիայի ածանցյալը (x
3+1).Հիպերբոլիկ կոսինուսների տարբերակման կանոնի համաձայն բարդ արգումենտով y'=sh(x
3+1) (x 3+1)', որտեղ (x3+1)'=3 x 2+0. Պատասխան. այս ֆունկցիայի ածանցյալն է 3 x
2sh(x3+1).
Դիտարկվող ֆունկցիաների աղյուսակային ածանցյալներ y=ch(x) և y=Cos(x)
Օրինակներ լուծելիս կարիք չկա ամեն անգամ դրանք տարբերել ըստ առաջարկվող սխեմայի, բավական է օգտագործել եզրակացությունը։
Օրինակ. Տարբերեք y=ֆունկցիանCos(x)+Cos2(-x)-Ch(5 x). Հեշտ է հաշվարկել (օգտագործել աղյուսակային տվյալներ), y'=-Sin(x) +Sin(2 x)-5 Sh(5 x).
