Հաճախ կյանքում մենք բախվում ենք իրադարձության տեղի ունենալու հնարավորությունները գնահատելու անհրաժեշտության հետ: Արժե՞ վիճակախաղի տոմս գնել, թե՞ ոչ, ընտանիքում երրորդ երեխայի սեռը ո՞րն է լինելու, վաղը եղանակը պարզ կլինի, թե նորից անձրև կգա՝ նման օրինակները անհամար են։ Ամենապարզ դեպքում, դուք պետք է բաժանեք բարենպաստ արդյունքների թիվը իրադարձությունների ընդհանուր թվի վրա: Եթե վիճակախաղում կա 10 շահող տոմս, իսկ ընդհանուր առմամբ՝ 50, ապա մրցանակ ստանալու հավանականությունը 10/50=0,2 է, այսինքն՝ 20-ը 100-ի դեմ: Բայց եթե կան մի քանի իրադարձություններ, և դրանք մոտ են: կապված? Այս դեպքում մեզ այլեւս չի հետաքրքրի պարզ, բայց պայմանական հավանականությունը։ Ինչ է այս արժեքը և ինչպես կարելի է այն հաշվարկել, դա կքննարկվի մեր հոդվածում:
Հայեցակարգ
Պայմանական հավանականությունը որոշակի իրադարձության տեղի ունենալու հնարավորությունն է, հաշվի առնելով, որ մեկ այլ առնչվող իրադարձություն արդեն տեղի է ունեցել: Դիտարկենք մի պարզ օրինակմետաղադրամ նետելը. Եթե դեռ ոչ-ոքի չի եղել, ապա գլուխներ կամ պոչեր ստանալու հնարավորությունները նույնն են լինելու։ Բայց եթե հինգ անգամ անընդմեջ մետաղադրամը դրված է զինանշանը վեր, ապա համաձայնեք ակնկալել 6-րդ, 7-րդ և առավել եւս նման արդյունքի 10-րդ կրկնությունը անտրամաբանական կլինի: Յուրաքանչյուր կրկնվող վերնագրի դեպքում պոչերի հայտնվելու հավանականությունը մեծանում է, և վաղ թե ուշ դրանք դուրս կգան:
Պայմանական հավանականության բանաձև
Եկեք հիմա պարզենք, թե ինչպես է այս արժեքը հաշվարկվում: Առաջին իրադարձությունը նշանակենք B-ով, իսկ երկրորդը՝ A: Եթե B-ի առաջացման հավանականությունը տարբերվում է զրոյից, ապա վավեր կլինի հետևյալ հավասարությունը՝
P (A|B)=P (AB) / P (B), որտեղ՝
- P (A|B) – արդյունքի պայմանական հավանականություն A;
- P (AB) - A և B իրադարձությունների համատեղ առաջացման հավանականությունը;
- P (B) – իրադարձության հավանականություն B.
Մի փոքր փոխակերպելով այս հարաբերակցությունը՝ մենք ստանում ենք P (AB)=P (A|B)P (B): Եվ եթե մենք կիրառենք ինդուկցիայի մեթոդը, ապա մենք կարող ենք դուրս բերել արտադրանքի բանաձևը և օգտագործել այն կամայական թվով իրադարձությունների համար՝
P (A1, A2, A3, …A p )=P (A1|A2…Ap )P(A 2|A3…Ap)P (A 3|A 4…Ap)… R (Ap-1 |Ap)R (Ap).
Պրակտիկա
Որպեսզի ավելի դյուրին լինի հասկանալ, թե ինչպես է հաշվարկվում իրադարձության պայմանական հավանականությունը, նայենք մի քանի օրինակ: Ենթադրենք կա մի ծաղկաման, որը պարունակում է 8 շոկոլադ և 7 անանուխ։ Նրանք նույն չափի են և պատահական:դրանցից երկուսը հաջորդաբար դուրս են բերվում։ Ի՞նչ շանսեր կան, որ երկուսն էլ շոկոլադե լինեն։ Ներկայացնենք նշումը. Թող A արդյունքը նշանակի, որ առաջին կոնֆետը շոկոլադ է, B արդյունքը երկրորդ շոկոլադե կոնֆետն է: Այնուհետև դուք ստանում եք հետևյալը.
P (A)=P (B)=8 / 15, P (A|B)=P (B|A)=7 / 14=1/2, P (AB)=8/15 x 1/2=4/15 ≈ 0, 27
Դիտարկենք ևս մեկ դեպք. Ենթադրենք, կա երկու երեխա ունեցող ընտանիք, և մենք գիտենք, որ առնվազն մեկ երեխա աղջիկ է։
Որքա՞ն է պայմանական հավանականությունը, որ այս ծնողները դեռ տղա չունեն։ Ինչպես նախորդ դեպքում, մենք սկսում ենք նշումով: Թող P(B) լինի հավանականությունը, որ ընտանիքում կա առնվազն մեկ աղջիկ, P(A|B) լինի հավանականությունը, որ երկրորդ երեխան նույնպես աղջիկ է, P(AB) հավանականությունը, որ կան երկու աղջիկներ: ընտանիքը. Հիմա եկեք կատարենք հաշվարկները։ Ընդհանուր առմամբ երեխաների սեռի 4 տարբեր համակցություններ կարող են լինել, իսկ այս դեպքում միայն մեկ դեպքում (երբ ընտանիքում երկու տղա կա) երեխաների մեջ աղջիկ չի լինի։ Հետևաբար, հավանականությունը P (B)=3/4, և P (AB)=1/4: Այնուհետև, հետևելով մեր բանաձևին, մենք ստանում ենք՝
P (A|B)=1/4: 3/4=1/3.
Արդյունքը կարելի է մեկնաբանել այսպես. եթե մենք չիմանայինք երեխաներից մեկի սեռը, ապա երկու աղջիկների շանսերը կկազմեն 25 100-ի դիմաց: Բայց քանի որ մենք գիտենք, որ մեկ երեխա աղջիկ է, հավանականությունը, որ տղաների ընտանիքը ոչ, ավելանում է մեկ երրորդով։
