Ինտեգրալի հայեցակարգի առաջացումը պայմանավորված էր նրա ածանցյալով հակաածանցյալ ֆունկցիան գտնելու, ինչպես նաև աշխատանքի ծավալը, բարդ թվերի մակերեսը, անցած հեռավորությունը որոշելու անհրաժեշտությամբ։ ոչ գծային բանաձևերով նկարագրված կորերով ուրվագծված պարամետրեր։
Դասընթացից
և ֆիզիկան գիտի, որ աշխատանքը հավասար է ուժի և հեռավորության արտադրյալին: Եթե բոլոր շարժումները տեղի են ունենում հաստատուն արագությամբ կամ հեռավորությունը հաղթահարվում է նույն ուժի կիրառմամբ, ապա ամեն ինչ պարզ է, պարզապես անհրաժեշտ է դրանք բազմապատկել: Ի՞նչ է հաստատունի ինտեգրալը: Սա y=kx+c ձևի գծային ֆունկցիա է։
Բայց աշխատանքի ընթացքում ուժը կարող է փոխվել, և ինչ-որ բնական կախվածության մեջ: Նույն իրավիճակը տեղի է ունենում անցած հեռավորության հաշվարկով, եթե արագությունը հաստատուն չէ:
Այսպիսով, պարզ է, թե ինչի համար է ինտեգրալը: Դրա սահմանումը որպես արգումենտի անվերջ փոքր աճով ֆունկցիայի արժեքների արտադրյալների գումար, ամբողջությամբ նկարագրում է այս հայեցակարգի հիմնական իմաստը որպես ֆունկցիայի գծով վերևից սահմանափակված գործչի տարածք, և եզրերը սահմանման սահմաններով։
Ժան Գաստոն Դարբու, ֆրանսիացի մաթեմատիկոս, XIX-ի երկրորդ կեսինդարը շատ հստակ բացատրեց, թե ինչ է ինտեգրալը։ Նա այնքան պարզ հասկացրեց, որ ընդհանուր առմամբ դժվար չի լինի նույնիսկ կրտսեր դպրոցի աշակերտի համար հասկանալ այս հարցը։
Ենթադրենք կա ցանկացած բարդ ձևի ֆունկցիա։ Y առանցքը, որի վրա գծագրված են փաստարկի արժեքները, բաժանված է փոքր ընդմիջումներով, իդեալականորեն դրանք անսահման փոքր են, բայց քանի որ անսահմանության հասկացությունը բավականին վերացական է, բավական է պատկերացնել միայն փոքր հատվածներ, արժեքը. որոնցից սովորաբար նշվում է հունարեն Δ (դելտա) տառով։
Ֆունկցիան պարզվեց, որ «կտրվել» է փոքր աղյուսների մեջ։
Յուրաքանչյուր արգումենտի արժեքը համապատասխանում է y առանցքի մի կետի, որի վրա գծագրված են համապատասխան ֆունկցիայի արժեքները: Բայց քանի որ ընտրված տարածքն ունի երկու եզրագիծ, կլինեն նաև ֆունկցիայի երկու արժեք՝ ավելի ու ավելի քիչ:
Ավելի մեծ արժեքների արտադրյալների գումարը Δ-ի աճով կոչվում է մեծ Դարբու գումար և նշվում է որպես S: Համապատասխանաբար, սահմանափակ տարածքում ավելի փոքր արժեքները, բազմապատկելով Δ-ով, բոլորը միասին: ձևավորել փոքր Դարբու գումար s. Բաժինն ինքնին ուղղանկյուն տրապիզոիդ է հիշեցնում, քանի որ ֆունկցիայի գծի կորությունն իր անսահման փոքր աճով կարող է անտեսվել։ Նման երկրաչափական գործչի տարածքը գտնելու ամենահեշտ ձևը ֆունկցիայի ավելի մեծ և փոքր արժեքի արտադրյալներն ավելացնելն է Δ-ի աճով և բաժանել երկուսի, այսինքն՝ որոշել այն որպես թվաբանական միջին։
Ահա թե ինչ է Darboux ինտեգրալը.
s=Σf(x) Δ փոքր քանակություն է;
S=Σf(x+Δ)Δ մեծ գումար է։
Ուրեմն ի՞նչ է ինտեգրալը: Գործառույթի տողով սահմանափակված տարածքը և սահմանման սահմանները կլինեն՝
∫f(x)dx={(S+s)/2} +c
Այսինքն՝ մեծ և փոքր Darboux sums.c-ի միջին թվաբանականը հաստատուն արժեք է, որը սահմանվում է զրոյի տարբերակման ժամանակ:
Այս հասկացության երկրաչափական արտահայտության հիման վրա պարզ է դառնում ինտեգրալի ֆիզիկական իմաստը։ Նկարի տարածքը, որը ուրվագծվում է արագության ֆունկցիայով և սահմանափակվում է աբսցիսայի առանցքի երկայնքով ժամանակային ընդմիջումով, կլինի անցած ճանապարհի երկարությունը:
L=∫f(x)dx t1-ից t2 միջակայքում, Որտեղ
f(x) – արագության ֆունկցիա, այսինքն՝ բանաձև, որով այն փոխվում է ժամանակի ընթացքում;
L – ճանապարհի երկարություն;
t1 – մեկնարկի ժամը;
t2 – ճամփորդության ավարտի ժամանակը:
Ճիշտ նույն սկզբունքով որոշվում է աշխատանքի ծավալը, միայն հեռավորությունը գծագրվելու է աբսցիսայի երկայնքով, իսկ յուրաքանչյուր կոնկրետ կետում կիրառվող ուժի չափը գծագրվելու է օրդինատի երկայնքով:
