Բարդ թվեր. սահմանում և հիմնական հասկացություններ

2024 Հեղինակ: Angel Austin | [email protected]. Վերջին փոփոխված: 2023-12-17 05:30

Քառակուսային հավասարման հատկություններն ուսումնասիրելիս սահմանվեց սահմանափակում՝ զրոյից փոքր դիսկրիմինանտի համար լուծում չկա։ Անմիջապես սահմանվեց, որ խոսքը իրական թվերի բազմության մասին է։ Մաթեմատիկոսի հետաքրքրասեր միտքը կհետաքրքրի` ո՞րն է իրական արժեքների մասին կետում պարունակվող գաղտնիքը:

Ժամանակի ընթացքում մաթեմատիկոսները ներմուծեցին կոմպլեքս թվեր հասկացությունը, որտեղ մինուս մեկ երկրորդ արմատի պայմանական արժեքը վերցվում է որպես միավոր:

Պատմական նախապատմություն

Մաթեմատիկական տեսությունը զարգանում է հաջորդաբար՝ պարզից մինչև բարդ: Եկեք պարզենք, թե ինչպես է առաջացել «բարդ թիվ» կոչվող հասկացությունը և ինչու է այն անհրաժեշտ։

Անհիշելի ժամանակներից մաթեմատիկայի հիմքը սովորական հաշիվն էր։ Հետազոտողները գիտեին միայն բնական արժեքների հավաքածուն: Գումարը և հանումը պարզ էին. Քանի որ տնտեսական հարաբերությունները բարդանում էին, նույն արժեքներն ավելացնելու փոխարեն սկսեցին օգտագործել բազմապատկումը։ Կա հակադարձ գործողությունբազմապատկում - բաժանում.

Բնական թվի հայեցակարգը սահմանափակում էր թվաբանական գործողությունների օգտագործումը: Անհնար է լուծել բոլոր բաժանման խնդիրները ամբողջ թվային արժեքների բազմության վրա: Կոտորակների հետ աշխատելը հանգեցրեց սկզբում ռացիոնալ արժեքների հայեցակարգին, իսկ հետո՝ իռացիոնալ արժեքներին: Եթե ռացիոնալի համար հնարավոր է նշել կետի ճշգրիտ տեղը գծի վրա, ապա իռացիոնալի համար անհնար է նման կետ նշել: Դուք կարող եք միայն մոտավոր հաշվարկել միջակայքը: Ռացիոնալ և իռացիոնալ թվերի միավորումը կազմել է իրական բազմություն, որը կարող է ներկայացվել որպես որոշակի գիծ՝ տրված սանդղակով։ Գծի երկայնքով յուրաքանչյուր քայլ բնական թիվ է, և դրանց միջև կան ռացիոնալ և իռացիոնալ արժեքներ:

Սկսվել է տեսական մաթեմատիկայի դարաշրջանը. Աստղագիտության, մեխանիկայի, ֆիզիկայի զարգացումը պահանջում էր ավելի ու ավելի բարդ հավասարումների լուծում։ Ընդհանուր առմամբ, քառակուսի հավասարման արմատները գտնվեցին: Ավելի բարդ խորանարդ բազմանդամ լուծելիս գիտնականները բախվեցին հակասության: Բացասականից խորանարդ արմատ հասկացությունն իմաստ ունի, բայց քառակուսի արմատի համար ստացվում է անորոշություն։ Ավելին, քառակուսի հավասարումը միայն խորանարդի հատուկ դեպքն է։

1545 թվականին իտալացի Ջ. Կարդանոն առաջարկեց ներդնել երևակայական թվի գաղափարը:

Այս թիվը մինուս մեկի երկրորդ արմատն է: Կոմպլեքս թիվ տերմինը վերջնականապես ձևավորվեց միայն երեք հարյուր տարի անց հայտնի մաթեմատիկոս Գաուսի աշխատություններում։ Նա առաջարկեց պաշտոնապես տարածել հանրահաշվի բոլոր օրենքները մինչև երևակայական թիվը։ Իրական գիծը երկարացվել է մինչևինքնաթիռներ. Աշխարհն ավելի մեծ է։

Հիմնական հասկացություններ

Հիշեք մի շարք գործառույթներ, որոնք սահմանափակումներ ունեն իրական հավաքածուի վրա.

• y=arcsin(x), սահմանվում է բացասական և դրական 1.
• y=ln(x), տասնորդական լոգարիթմը իմաստ ունի դրական արգումենտներով:
• քառակուսի արմատ y=√x, հաշվարկված է միայն x ≧ 0-ի համար։

Նշելով i=√(-1), մենք ներկայացնում ենք նման հայեցակարգը որպես երևակայական թիվ, որը կվերացնի բոլոր սահմանափակումները վերը նշված գործառույթների սահմանման տիրույթից: Նման արտահայտությունները, ինչպիսիք են y=arcsin(2), y=ln(-4), y=√(-5) կոմպլեքս թվերի որոշ տարածության մեջ իմաստ ունեն:

Հանրահաշվական ձևը կարելի է գրել որպես z=x + i×y արտահայտություն իրական x և y արժեքների բազմության վրա, և i² =-1.

Նոր հայեցակարգը վերացնում է ցանկացած հանրահաշվական ֆունկցիայի օգտագործման բոլոր սահմանափակումները և նմանվում է ուղիղ գծի գրաֆիկի՝ իրական և երևակայական արժեքների կոորդինատներով:

Բարդ ինքնաթիռ

Կոմպլեքս թվերի երկրաչափական ձևը տեսողականորեն թույլ է տալիս մեզ ներկայացնել դրանց շատ հատկություններ: Re(z) առանցքի վրա մենք նշում ենք իրական x արժեքները, Im(z)-ի վրա՝ y-ի երևակայական արժեքները, այնուհետև հարթության վրա z կետը ցույց կտա պահանջվող բարդ արժեքը:

Սահմանումներ.

• Re(z) - իրական առանցք:
• Im(z) - նշանակում է երևակայական առանցք:
• z - բարդ թվի պայմանական կետ:
• Վեկտորի երկարության թվային արժեքը զրոյից մինչև z կոչվում էմոդուլ.
• Իրական և երևակայական առանցքները հարթությունը բաժանում են քառորդների: Կոորդինատների դրական արժեքով - I քառորդ: Երբ իրական առանցքի արգումենտը փոքր է 0-ից, իսկ երևակայական առանցքը մեծ է 0 - II քառորդից: Երբ կոորդինատները բացասական են՝ III եռամսյակ: Վերջին, չորրորդ եռամսյակը պարունակում է բազմաթիվ դրական իրական արժեքներ և բացասական երևակայական արժեքներ:

Այսպիսով, x և y կոորդինատների արժեքներով հարթության վրա միշտ կարելի է պատկերացնել բարդ թվի կետը: i կերպարը ներկայացվում է իրական մասը երևակայականից առանձնացնելու համար։

Հատկություններ

1. Երբ երևակայական արգումենտի արժեքը զրո է, մենք ստանում ենք ընդամենը մի թիվ (z=x), որը գտնվում է իրական առանցքի վրա և պատկանում է իրական բազմությանը։
2. Հատուկ դեպք, երբ իրական արգումենտի արժեքը դառնում է զրո, z=i×y արտահայտությունը համապատասխանում է երևակայական առանցքի վրա գտնվող կետի դիրքին։
3. Z=x + i×y-ի ընդհանուր ձևը կլինի արգումենտների ոչ զրոյական արժեքների համար: Ցույց է տալիս քառորդներից մեկում կոմպլեքս թիվը բնութագրող կետի գտնվելու վայրը։

Եռանկյունաչափական նշում

Հիշեք բևեռային կոորդինատների համակարգը և եռանկյունաչափական ֆունկցիաների sin և cos սահմանումը: Ակնհայտ է, որ այս ֆունկցիաների օգնությամբ հնարավոր է նկարագրել ինքնաթիռի ցանկացած կետի գտնվելու վայրը։ Դա անելու համար բավական է իմանալ բևեռային ճառագայթի երկարությունը և իրական առանցքի թեքության անկյունը։

Սահմանում. ∣z ∣ ձևի մուտքը, որը բազմապատկվում է cos(ϴ) եռանկյունաչափական ֆունկցիաների և i ×sin(ϴ) երևակայական մասի գումարով կոչվում է եռանկյունաչափական բարդ թիվ։ Այստեղ նշանակումը իրական առանցքի նկատմամբ թեքության անկյունն է

ϴ=arg(z) և r=∣z∣, ճառագայթի երկարություն։

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների սահմանումից և հատկություններից հետևում է Moivre-ի շատ կարևոր բանաձևը.

zⁿ =r × (cos(n × ϴ) + i × sin(n × ϴ)).

Օգտագործելով այս բանաձեւը՝ հարմար է լուծել եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ պարունակող հավասարումների բազմաթիվ համակարգեր։ Հատկապես, երբ առաջանում է իշխանության բարձրացման խնդիր։

Մոդուլ և փուլ

Բարդ հավաքածուի նկարագրությունը լրացնելու համար մենք առաջարկում ենք երկու կարևոր սահմանումներ:

Իմանալով Պյութագորասի թեորեմը՝ հեշտ է հաշվարկել ճառագայթի երկարությունը բևեռային կոորդինատային համակարգում:

r=∣z∣=√(x² + y²), բարդ տարածության վրա նման նշումը կոչվում է « մոդուլ» և բնութագրում է 0-ից մինչև հարթության մի կետ հեռավորությունը։

Կոմպլեքս ճառագայթի թեքության անկյունը դեպի իրական ուղիղ ϴ սովորաբար կոչվում է փուլ:

Սահմանումը ցույց է տալիս, որ իրական և երևակայական մասերը նկարագրվում են ցիկլային ֆունկցիաներով: Այսինքն՝

• x=r × cos(ϴ);
• y=r × sin(ϴ);

Հակառակը, փուլը կապված է հանրահաշվական արժեքների հետ՝

բանաձևի միջոցով

ϴ=արկտան (x / y) + μ, ուղղումը մ ներմուծվում է երկրաչափական ֆունկցիաների պարբերականությունը հաշվի առնելու համար:

Էյլերի բանաձև

Մաթեմատիկոսները հաճախ օգտագործում են էքսպոնենցիալ ձևը: Բարդ հարթ թվերը գրվում են որպես արտահայտություն

z=r × e^i×ϴ , որը բխում է Էյլերի բանաձեւից:

Այս գրառումը լայնորեն օգտագործվում է ֆիզիկական մեծությունների գործնական հաշվարկման համար։ Ներկայացման ձևը ձևովէքսպոնենցիալ կոմպլեքս թվերը հատկապես հարմար են ինժեներական հաշվարկների համար, որտեղ անհրաժեշտ է դառնում հաշվարկել սինուսոիդային հոսանքներով սխեմաներ և անհրաժեշտ է իմանալ տվյալ ժամանակահատվածով ֆունկցիաների ինտեգրալների արժեքը։ Հաշվարկներն իրենք են ծառայում որպես գործիք տարբեր մեքենաների և մեխանիզմների նախագծման մեջ։

Սահմանել գործողությունները

Ինչպես արդեն նշվեց, հիմնական մաթեմատիկական ֆունկցիաների հետ աշխատելու հանրահաշվական օրենքները վերաբերում են բարդ թվերին:

Գումարի գործառնություն

Բարդ արժեքներ ավելացնելիս գումարվում են նաև դրանց իրական և երևակայական մասերը։

z=z₁ + z₂ որտեղ z₁ և z2 _{- ընդհանուր բարդ թվեր: Արտահայտությունը փոխակերպելով՝ փակագծերը բացելուց և նշումը պարզեցնելուց հետո ստանում ենք իրական փաստարկ x=(x}1 _{+ x}2_{), երևակայական y արգումենտը:=(y 1} + y₂).

Գրաֆիկի վրա այն կարծես երկու վեկտորի գումարում լինի՝ ըստ հայտնի զուգահեռագծի կանոնի։

հանման գործողություն

Համարվում է որպես գումարման հատուկ դեպք, երբ մի թիվը դրական է, մյուսը՝ բացասական, այսինքն՝ գտնվում է հայելային քառորդում։ Հանրահաշվական նշումը նման է իրական և երևակայական մասերի տարբերությունին:

z=z₁ - z₂, կամ, հաշվի առնելով արգումենտների արժեքները, հավելումների նման գործողություն, մենք ստանում ենք իրական արժեքներ x=(x₁ - x₂) և երևակայական y=(y₁- y₂).

Բազմապատկում բարդ հարթության վրա

Օգտագործելով բազմանդամների հետ աշխատելու կանոնները՝ մենք ստանում ենք բանաձևըլուծել բարդ թվեր։

Հետևելով ընդհանուր հանրահաշվական կանոններին z=z₁×z₂, նկարագրեք յուրաքանչյուր փաստարկ և թվարկեք նմանատիպերը: Իրական և երևակայական մասերը կարելի է գրել այսպես՝

• x=x₁ × x₂ - y₁ × y₂,
• y=x₁ × y₂ + x₂ × y_{+ x}2

× y 1.

Ավելի գեղեցիկ է թվում, եթե օգտագործենք էքսպոնենցիալ բարդ թվեր։

Արտահայտությունն ունի հետևյալ տեսքը՝ z=z₁ × z₂ =r₁ × e^iϴ1 × r₂ × eiϴ2^=r1 _{× r2} × e_i(^ϴ1+ϴ2).

Ավելի պարզ, մոդուլները բազմապատկվում են և փուլերն ավելացվում են:

Բաժանում

Երբ բաժանման գործողությունը դիտարկվում է որպես բազմապատկման հակադարձ, մենք ստանում ենք պարզ արտահայտություն էքսպոնենցիալ նշումով: Z₁ արժեքը z₂-ի բաժանելը դրանց մոդուլների և փուլային տարբերության բաժանման արդյունքն է: Ձևականորեն, կոմպլեքս թվերի էքսպոնենցիալ ձևն օգտագործելիս այն ունի հետևյալ տեսքը՝

z=z₁ / z₂ =r₁ × e ^iϴ1 / r₂ × e^{i ϴ2}=r₁ / r_{2× e}i(ϴ1-ϴ 2).

Հանրահաշվական նշումների տեսքով կոմպլեքս հարթության թվերի բաժանման գործողությունը գրված է մի փոքր ավելի բարդ՝

z=z₁ / z_2.

Նկարագրելով արգումենտները և կատարելով բազմանդամ փոխակերպումներ՝ հեշտ է ստանալ արժեքներx=x₁ × x₂ + y₁ × y₂, համապատասխանաբար y=x₂ × y₁ - x₁ × y₂ , այնուամենայնիվ, նկարագրված տարածության մեջ այս արտահայտությունը իմաստ ունի, եթե z₂ ≠ 0.

Արտահանել արմատը

Բոլոր վերը նշվածները կարող են կիրառվել ավելի բարդ հանրահաշվական ֆունկցիաներ սահմանելիս՝ բարձրացնելով ցանկացած հզորության և հակադարձելով դրան՝ հանելով արմատը:

Օգտագործելով n հզորության բարձրացման ընդհանուր հայեցակարգը, մենք ստանում ենք սահմանումը.

zⁿ =(r × e^iϴ).

Օգտագործելով ընդհանուր հատկություններ, վերագրեք հետևյալ կերպ՝

zⁿ =rⁿ × e^iϴ.

Մենք ստացանք պարզ բանաձև կոմպլեքս թիվը մինչև հզորության հասցնելու համար:

Աստիճանի սահմանումից ստանում ենք շատ կարևոր հետևանք. Երևակայական միավորի զույգ հզորությունը միշտ 1 է։ Երևակայական միավորի ցանկացած կենտ հզորությունը միշտ -1 է։

Այժմ եկեք ուսումնասիրենք հակադարձ ֆունկցիան՝ հանելով արմատը։

Նշման հեշտության համար եկեք վերցնենք n=2: C բարդ հարթության վրա z համալիր արժեքի քառակուսի արմատը համարվում է z=± արտահայտությունը, որը վավեր է ցանկացած իրական արգումենտի համար, որը մեծ է կամ հավասար է: զրո. w ≦ 0-ի համար լուծում չկա:

Եկեք նայենք ամենապարզ քառակուսային հավասարմանը z² =1. Օգտագործելով բարդ թվերի բանաձևերը, վերագրեք r² × e^i2ϴ =r² × e^i2ϴ=ei0^{: Գրառումից երևում է, որ r}2 ^{=1 և ϴ=0, հետևաբար, մենք ունենք եզակի լուծում, որը հավասար է 1-ի:Բայց սա հակասում է այն մտքին, որ z=-1 նույնպես համապատասխանում է քառակուսի արմատի սահմանմանը:}

Եկեք պարզենք, թե ինչը մենք հաշվի չենք առնում։ Եթե հիշենք եռանկյունաչափական նշումը, ապա մենք վերականգնում ենք հայտարարությունը՝ ϴ փուլի պարբերական փոփոխությամբ, կոմպլեքս թիվը չի փոխվում: Թող p-ը նշանակի ժամանակաշրջանի արժեքը, այնուհետև մենք ունենք r² × e^i2ϴ =ei(0+p)^{, որտեղից 2ϴ=0 + p, կամ ϴ=p / 2: Հետևաբար, e}i0 ^{=1 և e}i^p/2 =-1. Ստացանք երկրորդ լուծումը, որը համապատասխանում է քառակուսի արմատի ընդհանուր ըմբռնմանը։

Այսպիսով, բարդ թվի կամայական արմատ գտնելու համար մենք կհետևենք ընթացակարգին:

• Գրել էքսպոնենցիալ ձևը w=∣w∣ × e^i(arg (w) + pk), k-ը կամայական ամբողջ թիվ է:
• Ցանկալի թիվը ներկայացված է նաև էյլերի ձևով z=r × e^iϴ.
• Օգտագործեք արմատների արդյունահանման ֆունկցիայի ընդհանուր սահմանումը r eⁱ ϴ ^{=∣w∣ × e}i(arg(w) + pk).
• Մոդուլների և արգումենտների հավասարության ընդհանուր հատկություններից գրում ենք rⁿ =∣w∣ և nϴ=arg (w) + p×k:
• Կոմպլեքս թվի արմատի վերջնական գրառումը նկարագրվում է z=√∣w∣ × e^{i ( arg} (w) + pk ^{) /} .
• Նշում. ∣w∣-ի արժեքը, ըստ սահմանման,դրական իրական թիվ է, ուստի ցանկացած աստիճանի արմատը իմաստ ունի։

Դաշտ և խոնարհում

Եզրափակելով, մենք տալիս ենք երկու կարևոր սահմանումներ, որոնք քիչ նշանակություն ունեն բարդ թվերով կիրառական խնդիրներ լուծելու համար, բայց կարևոր են մաթեմատիկական տեսության հետագա զարգացման համար:

Ավելացման և բազմապատկման արտահայտություններն ասում են, որ դաշտ են կազմում, եթե դրանք բավարարում են z բարդ հարթության որևէ տարրի աքսիոմներին:

1. Կոմպլեքս գումարը չի փոխվում բարդ տերմինների տեղերի փոփոխումից:
2. Պնդումը ճշմարիտ է. բարդ արտահայտության մեջ երկու թվերի ցանկացած գումար կարող է փոխարինվել դրանց արժեքով:
3. Կա չեզոք արժեք 0, որի համար z + 0=0 + z=z ճշմարիտ է:
4. Ցանկացած z-ի համար կա z հակադիր, որին գումարելը տալիս է զրո:
5. Բարդ գործոնների տեղերը փոխելիս բարդ արտադրանքը չի փոխվում:
6. Ցանկացած երկու թվերի բազմապատկումը կարող է փոխարինվել դրանց արժեքով։
7. Կա չեզոք արժեք 1, որով բազմապատկումը չի փոխում կոմպլեքս թիվը։
8. Յուրաքանչյուր z ≠ 0-ի համար կա z^-1-ի հակադարձ, որը բազմապատկվում է 1-ով:
9. Երկու թվերի գումարը երրորդով բազմապատկելը համարժեք է դրանցից յուրաքանչյուրը այս թվով բազմապատկելու և արդյունքներն ավելացնելու գործողությանը։
10. 0 ≠ 1.

Z₁ =x + i×y և z₂ =x - i×y կոչվում են խոնարհված:

Թեորեմ. Խոնարհման համար հայտարարությունը ճշմարիտ է.

• Գումարի խոնարհումը հավասար է խոնարհված տարրերի գումարին:
• Արտադրանքի կոնյուգատն էխոնարհումների արտադրյալ։
• Խոնարհման խոնարհումը հավասար է բուն թվին։

Ընդհանուր հանրահաշիվում նման հատկությունները կոչվում են դաշտային ավտոմորֆիզմներ:

Օրինակներ

Հետևելով բարդ թվերի տրված կանոններին և բանաձևերին՝ կարող եք հեշտությամբ գործել դրանցով։

Դիտարկենք ամենապարզ օրինակները:

Խնդիր 1. Օգտագործելով 3y +5 x i=15 - 7i հավասարումը, որոշեք x և y։

Որոշում. Հիշեք բարդ հավասարումների սահմանումը, ապա 3y=15, 5x=-7: Հետևաբար, x=-7 / 5, y=5.

Առաջադրանք 2. Հաշվեք 2 + i²⁸ և 1 + i¹³⁵.

արժեքները

Որոշում. Ակնհայտորեն, 28-ը զույգ թիվ է, քանի որ բարդ թվի սահմանման հետևանքից մենք ունենք i²⁸ =1, ինչը նշանակում է, որ 2 + i ^{արտահայտությունը. 28} =3. Երկրորդ արժեքը, i¹³⁵ =-1, ապա 1 + i¹³⁵ =0.

Առաջադրանք 3. Հաշվեք 2 + 5i և 4 + 3i արժեքների արտադրյալը։

Որոշում. Կոմպլեքս թվերի բազմապատկման ընդհանուր հատկություններից ստանում ենք (2 + 5i)X(4 + 3i)=8 - 15 + i(6 + 20): Նոր արժեքը կլինի -7 + 26i։

Առաջադրանք 4. Հաշվիր z³ =-i.

հավասարման արմատները

Որոշում. Բարդ թվեր գտնելու մի քանի եղանակ կա: Դիտարկենք հավանականներից մեկը. Ըստ սահմանման, ∣ - i∣=1, -i-ի փուլը -p / 4 է: Բնօրինակ հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես r³eⁱ3ϴ ^=e-p/4+pk^{, որտեղից z=e}-p / 12 + pk/3^{, ցանկացած ամբողջ թվի համար k.}

Լուծումների հավաքածուն ունի ձև (e^-ip/12,e^ip/4, e^{i2 p/3}).

Ինչու՞ են մեզ անհրաժեշտ բարդ թվեր

Պատմությունը գիտի բազմաթիվ օրինակներ, երբ գիտնականները, աշխատելով տեսության վրա, չեն էլ մտածում դրանց արդյունքների գործնական կիրառման մասին։ Մաթեմատիկան առաջին հերթին մտքի խաղ է, պատճառահետևանքային հարաբերությունների խստիվ պահպանում: Գրեթե բոլոր մաթեմատիկական կոնստրուկցիաները կրճատվում են ինտեգրալ և դիֆերենցիալ հավասարումների լուծմանը, իսկ դրանք, իրենց հերթին, որոշ մոտավորությամբ լուծվում են բազմանդամների արմատները գտնելու միջոցով։ Այստեղ մենք առաջին հերթին հանդիպում ենք երևակայական թվերի պարադոքսին։

Գիտնական բնագետները, լուծելով լիովին գործնական խնդիրներ, դիմելով տարբեր հավասարումների լուծումների, բացահայտում են մաթեմատիկական պարադոքսներ։ Այս պարադոքսների մեկնաբանումը հանգեցնում է բացարձակապես զարմանալի բացահայտումների։ Էլեկտրամագնիսական ալիքների երկակի բնույթը նման օրինակներից մեկն է: Կոմպլեքս թվերը վճռորոշ դեր են խաղում դրանց հատկությունները հասկանալու համար:

Սա իր հերթին գործնական կիրառություն է գտել օպտիկայի, ռադիոէլեկտրոնիկայի, էներգետիկայի և շատ այլ տեխնոլոգիական ոլորտներում։ Մեկ այլ օրինակ, շատ ավելի դժվար է հասկանալ ֆիզիկական երեւույթները. Հակամատերը գուշակվում էր գրչի ծայրին: Եվ միայն շատ տարիներ անց սկսվում են այն ֆիզիկապես սինթեզելու փորձերը։

Մի կարծեք, որ միայն ֆիզիկայում կան նման իրավիճակներ։ Ոչ պակաս հետաքրքիր բացահայտումներ են արվում վայրի բնության մեջ, մակրոմոլեկուլների սինթեզում, արհեստական ինտելեկտի ուսումնասիրության ժամանակ։ Եվ այդ ամենը շնորհիվմեր գիտակցության ընդլայնումը՝ հեռանալով բնական արժեքների պարզ գումարումից և հանումից: