Ֆիզիկան և մաթեմատիկան չեն կարող առանց «վեկտորային քանակի» հասկացության: Այն պետք է հայտնի և ճանաչված լինի, ինչպես նաև կարողանա գործել դրանով։ Սա պետք է անպայման սովորել՝ չշփոթվելու և հիմար սխալներ թույլ չտալու համար։
Ինչպե՞ս տարբերել սկալյար արժեքը վեկտորային քանակից:
Առաջինը միշտ միայն մեկ հատկանիշ ունի. Սա նրա թվային արժեքն է: Սկալյարների մեծ մասը կարող է ընդունել ինչպես դրական, այնպես էլ բացասական արժեքներ: Օրինակներ են էլեկտրական լիցքը, աշխատանքը կամ ջերմաստիճանը: Բայց կան սկալերներ, որոնք չեն կարող բացասական լինել, ինչպիսիք են երկարությունը և զանգվածը:
Վեկտորային մեծությունը, ի լրումն թվային մեծության, որը միշտ վերցվում է մոդուլով, բնութագրվում է նաև ուղղությամբ։ Ուստի այն կարելի է պատկերել գրաֆիկորեն, այսինքն՝ սլաքի տեսքով, որի երկարությունը հավասար է որոշակի ուղղությամբ ուղղված արժեքի մոդուլին։
Գրելիս յուրաքանչյուր վեկտորային մեծություն նշվում է տառի վրա սլաքի նշանով: Եթե մենք խոսում ենք թվային արժեքի մասին, ապա սլաքը գրված չէ կամ վերցված է մոդուլով։
Որո՞նք են վեկտորների հետ առավել հաճախ կատարվող գործողությունները:
Նախ՝ համեմատություն։ Նրանք կարող են հավասար լինել կամ չլինել: Առաջին դեպքում նրանց մոդուլները նույնն են։ Բայց սա միակ պայմանը չէ։ Նրանք նույնպես պետք է ունենան նույն կամ հակառակ ուղղություններ: Առաջին դեպքում դրանք պետք է կոչվեն հավասար վեկտորներ։ Երկրորդում դրանք հակադիր են. Եթե նշված պայմաններից գոնե մեկը չի համապատասխանում, ապա վեկտորները հավասար չեն։
Այնուհետև գալիս է հավելումը: Դա կարելի է անել երկու կանոնների համաձայն՝ եռանկյունի կամ զուգահեռագիծ։ Առաջինը նախատեսում է հետաձգել նախ մեկ վեկտորը, ապա դրա վերջից երկրորդը։ Հավելման արդյունքը կլինի այն, որը պետք է նկարել առաջինի սկզբից մինչև երկրորդի վերջը։
Զուգահեռագծի կանոնը կարող է օգտագործվել, երբ ֆիզիկայում անհրաժեշտ է ավելացնել վեկտորային մեծություններ: Ի տարբերություն առաջին կանոնի՝ այստեղ դրանք պետք է հետաձգվեն մեկ կետից։ Այնուհետև դրանք կառուցեք զուգահեռագծի վրա: Գործողության արդյունքը պետք է համարել նույն կետից գծված զուգահեռագծի անկյունագիծը։
Եթե վեկտորային մեծությունը հանվում է մյուսից, ապա դրանք կրկին գծագրվում են մի կետից: Միայն արդյունքը կլինի վեկտոր, որը կհամապատասխանի երկրորդի վերջից մինչև առաջինի վերջը:
Ի՞նչ վեկտորներ են ուսումնասիրվում ֆիզիկայում:
Կան այնքան, որքան սկալերներ կան: Դուք կարող եք պարզապես հիշել, թե ինչ վեկտորային մեծություններ կան ֆիզիկայում: Կամ իմացեք նշանները, որոնցով դրանք կարող են հաշվարկվել: Նրանց համար, ովքեր նախընտրում են առաջին տարբերակը, նման սեղանը հարմար կլինի: Այն պարունակում է հիմնական վեկտորային ֆիզիկական մեծություններ։
| Նշանակումը բանաձևում | Անուն |
| v | արագություն |
| r | տեղափոխել |
| a | արագացում |
| F | ուժ |
| r | իմպուլս |
| E | էլեկտրական դաշտի ուժ |
| B | մագնիսական ինդուկցիա |
| M | ուժի պահ |
Այժմ մի փոքր ավելին այս քանակներից մի քանիսի մասին:
Առաջին արժեքը արագությունն է
Արժե սկսել նրանից վեկտորային մեծությունների օրինակներ բերել։ Դա պայմանավորված է նրանով, որ այն ուսումնասիրվում է առաջիններից։
Արագությունը սահմանվում է որպես տարածության մեջ մարմնի շարժման հատկանիշ: Այն սահմանում է թվային արժեք և ուղղություն: Հետևաբար արագությունը վեկտորային մեծություն է։ Բացի այդ, ընդունված է այն բաժանել տեսակների. Առաջինը գծային արագությունն է: Այն ներկայացվում է ուղղագիծ միատեսակ շարժումը դիտարկելիս: Միևնույն ժամանակ պարզվում է, որ այն հավասար է մարմնի անցած ճանապարհի և շարժման ժամանակի հարաբերությանը։
Նույն բանաձևը կարող է օգտագործվել անհավասար շարժման համար։ Միայն այդ դեպքում կլինի միջին: Ավելին, ընտրվող ժամանակային ընդմիջումը պետք է անպայման լինի հնարավորինս կարճ: Երբ ժամանակի միջակայքը ձգտում է զրոյի, արագության արժեքն արդեն իսկ ակնթարթային է:
Եթե դիտարկվում է կամայական շարժում, ապա այստեղ արագությունը միշտ վեկտորային մեծություն է: Ի վերջո, այն պետք է տարրալուծվի բաղադրիչների, որոնք ուղղված են կոորդինատային գծերը ուղղորդող յուրաքանչյուր վեկտորի երկայնքով: Բացի այդ, այն սահմանվում է որպես շառավիղի վեկտորի ածանցյալ՝ վերցված ժամանակի նկատմամբ։
Երկրորդ արժեքը ուժն է
Այն որոշում է այլ մարմինների կամ դաշտերի կողմից մարմնի վրա գործադրվող ազդեցության ուժգնության չափը: Քանի որ ուժը վեկտորային մեծություն է, այն անպայմանորեն ունի իր մոդուլային արժեքը և ուղղությունը: Քանի որ այն գործում է մարմնի վրա, կարևոր է նաև այն կետը, որին կիրառվում է ուժը։ Ուժի վեկտորների մասին տեսողական պատկերացում կազմելու համար կարող եք դիմել հետևյալ աղյուսակին։
| Հզորություն | Դիմումի կետ | Ուղղություն |
| ձգողականություն | մարմնի կենտրոն | դեպի Երկրի կենտրոն |
| ձգողականություն | մարմնի կենտրոն | մեկ այլ մարմնի կենտրոն |
| առաձգականություն | շփման կետ փոխազդող մարմինների միջև | դեմ արտաքին ազդեցության |
| շփում | հպվող մակերեսների միջև | շարժման հակառակ ուղղությամբ |
Նաև արդյունքում ստացվող ուժը նույնպես վեկտորային մեծություն է: Այն սահմանվում է որպես մարմնի վրա ազդող բոլոր մեխանիկական ուժերի գումար: Այն որոշելու համար անհրաժեշտ է կատարել հավելում եռանկյունու կանոնի սկզբունքով։ Միայն անհրաժեշտ է վեկտորները հերթով հետաձգել նախորդի վերջից։ Արդյունքը կլինի այն, որը կապում է առաջինի սկիզբը վերջինի վերջի հետ։
Երրորդ արժեք - տեղաշարժ
Շարժման ընթացքում մարմինը նկարագրում է որոշակի գիծ։ Այն կոչվում է հետագիծ: Այս տողը կարող է բոլորովին այլ լինել: Ավելի կարևոր է ոչ թե նրա տեսքը, այլ շարժման սկզբի և ավարտի կետերը։ Նրանք կապում ենհատված, որը կոչվում է տեղաշարժ: Սա նույնպես վեկտորային մեծություն է։ Ընդ որում, այն միշտ ուղղված է շարժման սկզբից դեպի այն կետը, որտեղ շարժումը դադարեցվել է։ Ընդունված է այն նշանակել լատիներեն r տառով։
Այստեղ կարող է առաջանալ հարցը. «Արդյո՞ք ճանապարհը վեկտորային մեծություն է»: Ընդհանուր առմամբ, այս պնդումը չի համապատասխանում իրականությանը։ Ուղին հավասար է հետագծի երկարությանը և չունի հստակ ուղղություն։ Բացառություն է այն իրավիճակը, երբ դիտարկվում է ուղղագիծ շարժումը մեկ ուղղությամբ: Այնուհետև տեղաշարժի վեկտորի մոդուլը արժեքով համընկնում է ուղու հետ, և նրանց ուղղությունը պարզվում է, որ նույնն է։ Հետևաբար, երբ դիտարկում ենք շարժում ուղիղ գծով առանց շարժման ուղղությունը փոխելու, ճանապարհը կարող է ներառվել վեկտորային մեծությունների օրինակներում։
Չորրորդ արժեքը արագացումն է
Սա արագության փոփոխության արագության հատկանիշ է։ Ընդ որում, արագացումը կարող է ունենալ ինչպես դրական, այնպես էլ բացասական արժեքներ։ Ուղղագիծ շարժման ժամանակ այն ուղղված է ավելի մեծ արագության ուղղությամբ։ Եթե շարժումը տեղի է ունենում կորագիծ հետագծի երկայնքով, ապա դրա արագացման վեկտորը քայքայվում է երկու բաղադրիչի, որոնցից մեկն ուղղված է դեպի կորության կենտրոնը շառավիղով:
Առանձնացրեք արագացման միջին և ակնթարթային արժեքը: Առաջինը պետք է հաշվարկվի որպես որոշակի ժամանակահատվածում արագության փոփոխության հարաբերակցություն այս ժամանակին: Երբ դիտարկվող ժամանակային միջակայքը հակված է զրոյի, ապա խոսվում է ակնթարթային արագացման մասին։
Հինգերորդ մեծությունը իմպուլս է
Այլ էկոչվում է նաև իմպուլս։ Մոմենտումը վեկտորային մեծություն է, քանի որ այն ուղղակիորեն կապված է մարմնի վրա կիրառվող արագության և ուժի հետ: Երկուսն էլ ունեն ուղղություն և այն տալիս են թափին։
Ըստ սահմանման՝ վերջինս հավասար է մարմնի զանգվածի և արագության արտադրյալին։ Օգտագործելով մարմնի իմպուլսի հասկացությունը՝ կարելի է այլ կերպ գրել Նյուտոնի հայտնի օրենքը։ Ստացվում է, որ իմպուլսի փոփոխությունը հավասար է ուժի և ժամանակի արտադրյալին։
Ֆիզիկայի մեջ կարևոր դեր է խաղում իմպուլսի պահպանման օրենքը, որն ասում է, որ մարմինների փակ համակարգում նրա ընդհանուր իմպուլսը հաստատուն է։
Մենք շատ համառոտ թվարկել ենք, թե ինչ մեծություններ (վեկտոր) են ուսումնասիրվում ֆիզիկայի կուրսում։
Անառաձգական ազդեցության խնդիր
Վիճակ. Ռելսերի վրա կա ֆիքսված հարթակ։ Դրան 4 մ/վ արագությամբ մոտենում է մեքենա։ Հարթակի և վագոնի զանգվածները համապատասխանաբար 10 և 40 տոննա են։ Մեքենան հարվածում է հարթակին, տեղի է ունենում ավտոմատ կցորդիչ։ Հարվածից հետո անհրաժեշտ է հաշվարկել վագոն-հարթակի համակարգի արագությունը։
Որոշում. Նախ պետք է մուտքագրել նշումը՝ մեքենայի արագությունը մինչև հարվածը - v1, մեքենան միացումից հետո հարթակով - v, մեքենայի քաշը m 1, հարթակը - m 2: Ըստ խնդրի պայմանի՝ անհրաժեշտ է պարզել արագության արժեքը v.
Նման առաջադրանքների լուծման կանոնները պահանջում են համակարգի սխեմատիկ ներկայացում փոխազդեցությունից առաջ և հետո: Խելամիտ է OX առանցքը ռելսերի երկայնքով ուղղել այն ուղղությամբ, որով մեքենան շարժվում է:
Այս պայմաններում վագոնների համակարգը կարելի է փակված համարել։ Սա որոշվում է նրանով, որ արտաքինուժերը կարող են անտեսվել. Ձգողության ուժը և հենարանի արձագանքը հավասարակշռված են, և ռելսերի վրա շփումը հաշվի չի առնվում։
Ըստ իմպուլսի պահպանման օրենքի՝ դրանց վեկտորային գումարը մինչև մեքենայի և հարթակի փոխազդեցությունը հավասար է հարվածից հետո կցորդիչի ընդհանուրին։ Սկզբում հարթակը չէր շարժվում, ուստի դրա թափը զրոյական էր։ Միայն մեքենան է շարժվել, դրա թափը m1 և v1-ի արտադրյալն է::
Քանի որ հարվածն անառաձգական էր, այսինքն՝ վագոնը բախվեց հարթակի հետ, այնուհետև այն սկսեց միասին գլորվել նույն ուղղությամբ, համակարգի իմպուլսի ուղղությունը չփոխվեց: Բայց դրա իմաստը փոխվել է։ Այսինքն՝ հարթակի հետ վագոնի զանգվածի և պահանջվող արագության գումարի արտադրյալը։
Դուք կարող եք գրել այս հավասարությունը. m1v1=(m1 + m2)v. Դա ճիշտ կլինի ընտրված առանցքի վրա իմպուլսի վեկտորների նախագծման համար: Դրանից հեշտ է դուրս բերել հավասարությունը, որը կպահանջվի պահանջվող արագությունը հաշվարկելու համար. v=m1v1 / (m 1 + m2).
Կանոնների համաձայն՝ զանգվածի արժեքները պետք է փոխարկեք տոննայից կիլոգրամի: Հետևաբար, բանաձևի մեջ դրանք փոխարինելիս նախ պետք է հայտնի արժեքները բազմապատկել հազարով: Պարզ հաշվարկներով թիվը տալիս է 0,75 մ/վ։
Պատասխան. Հարթակով վագոնի արագությունը 0,75 մ/վ է։
Խնդիր մարմինը մասերի բաժանելու հետ
Վիճակ. Թռչող նռնակի արագությունը 20 մ/վ է։ Այն բաժանվում է երկու մասի: Առաջինի զանգվածը 1,8 կգ է։ Այն շարունակում է շարժվել այն ուղղությամբ, որով նռնակը թռչում էր 50 մ/վ արագությամբ։ Երկրորդ բեկորն ունի 1,2 կգ զանգված։Որքա՞ն է դրա արագությունը:
Որոշում. Թող բեկորների զանգվածները նշանակվեն m1 և m2 տառերով: Նրանց արագությունները համապատասխանաբար կլինեն v1 և v2: Նռնակի սկզբնական արագությունը v. Խնդրում դուք պետք է հաշվարկեք v2 արժեքը:
Որպեսզի ավելի մեծ բեկորը շարունակի շարժվել նույն ուղղությամբ, ինչ ամբողջ նռնակը, երկրորդը պետք է թռչի հակառակ ուղղությամբ: Եթե առանցքի ուղղությունն ընտրենք որպես սկզբնական իմպուլսի ուղղություն, ապա ընդմիջումից հետո առանցքի երկայնքով մի մեծ բեկոր է թռչում, իսկ առանցքի դեմ թռչում է փոքր հատվածը։
Այս խնդրի դեպքում թույլատրվում է կիրառել իմպուլսի պահպանման օրենքը՝ նռնակի պայթյունը ակնթարթորեն տեղի ունենալու պատճառով։ Ուստի, չնայած այն հանգամանքին, որ գրավիտացիան գործում է նռնակի և դրա մասերի վրա, այն ժամանակ չունի գործելու և իմպուլսի վեկտորի ուղղությունը փոխելու իր մոդուլային արժեքով։
Նռնակի պայթելուց հետո իմպուլսի վեկտորային արժեքների գումարը հավասար է նրան նախորդողին: Եթե պրոյեկցիայի ժամանակ մարմնի իմպուլսի պահպանման օրենքը գրենք OX առանցքի վրա, ապա այն կունենա հետևյալ տեսքը. (m1 + m2)v=m 1v1 - m2v 2. Դրանից հեշտ է արտահայտել ցանկալի արագությունը։ Այն որոշվում է բանաձևով՝ v2=((m1 + m2)v - m 1v1) / m2: Թվային արժեքների և հաշվարկների փոխարինումից հետո ստացվում է 25 մ/վ։
Պատասխան. Փոքր հատվածի արագությունը 25 մ/վ է։
Խնդիր անկյան տակ նկարահանելու հետ կապված
Վիճակ. Մ–ի զանգվածի հարթակի վրա տեղադրված է գործիք։ Դրանից արձակվում է m զանգվածի արկ։ Այն դուրս է թռչում դեպի α անկյան տակv արագությամբ հորիզոն (տրված է գետնի համեմատ): Պահանջվում է կրակոցից հետո պարզել հարթակի արագության արժեքը։
Որոշում. Այս խնդրի դեպքում դուք կարող եք օգտագործել իմպուլսի պահպանման օրենքը OX առանցքի վրա պրոյեկցիայի ժամանակ: Բայց միայն այն դեպքում, երբ արտաքին արդյունքային ուժերի պրոյեկցիան հավասար է զրոյի։
OX առանցքի ուղղության համար պետք է ընտրել այն կողմը, որտեղ արկը կթռչի և հորիզոնական գծին զուգահեռ: Այս դեպքում ծանրության ուժերի կանխատեսումները և հենարանի արձագանքը OX-ի վրա հավասար կլինեն զրոյի։
Խնդիրը կլուծվի ընդհանուր ձևով, քանի որ հայտնի քանակությունների կոնկրետ տվյալներ չկան։ Պատասխանը բանաձևն է։
Համակարգի իմպուլսը մինչև կրակոցը հավասար էր զրոյի, քանի որ հարթակը և արկը անշարժ էին։ Թող հարթակի ցանկալի արագությունը նշվի լատինական u տառով: Այնուհետև կրակոցից հետո նրա իմպուլսը որոշվում է որպես զանգվածի և արագության պրոյեկցիայի արտադրյալ։ Քանի որ հարթակը հետ է գլորվում (OX առանցքի ուղղությամբ), իմպուլսի արժեքը կլինի մինուս։
Արկի իմպուլսը նրա զանգվածի և արագության պրոյեկցիայի արտադրյալն է OX առանցքի վրա: Շնորհիվ այն բանի, որ արագությունն ուղղված է հորիզոնի անկյան տակ, դրա պրոյեկցիան հավասար է անկյան կոսինուսով բազմապատկված արագությանը։ Բառացիորեն հավասարության դեպքում այն կունենա հետևյալ տեսքը՝ 0=- Mu + mvcos α: Դրանից պարզ փոխակերպումներով ստացվում է պատասխանի բանաձեւը՝ u=(mvcos α) / M.
Պատասխան. Պլատֆորմի արագությունը որոշվում է u=(mvcos α) / M. բանաձևով
Գետի հատման խնդիր
Վիճակ. Գետի լայնությունը ամբողջ երկարությամբ նույնն է և հավասար է l-ին, նրա ափերինզուգահեռ են։ Մենք գիտենք գետում ջրի հոսքի արագությունը v1 և նավի սեփական արագությունը v2: մեկը): Անցնելիս նավակի աղեղն ուղղված է խիստ հակառակ ափ։ Որքա՞ն է այն կտեղափոխվի հոսանքով վար: 2). Ո՞ր α անկյան տակ պետք է ուղղվի նավակի աղեղը, որպեսզի այն հասնի հանդիպակաց ափին՝ ելման կետին խիստ ուղղահայաց։ Որքա՞ն ժամանակ կպահանջվի նման հատում կատարելու համար:
Որոշում. մեկը): Նավակի ամբողջական արագությունը երկու մեծությունների վեկտորային գումարն է։ Դրանցից առաջինը գետի հունն է, որն ուղղված է ափերի երկայնքով։ Երկրորդը նավակի սեփական արագությունն է՝ ափերին ուղղահայաց։ Գծանկարը ցույց է տալիս երկու նմանատիպ եռանկյուններ: Առաջինը ձևավորվում է գետի լայնությունից և այն հեռավորությունից, որը տանում է նավը: Երկրորդը՝ արագության վեկտորներով։
Նրանցից հետևում է հետևյալ գրառումը. s / l=v1 / v2: Փոխակերպումից հետո ստացվում է ցանկալի արժեքի բանաձևը՝ s=l(v1 / v2)..
2): Խնդրի այս տարբերակում ընդհանուր արագության վեկտորը ուղղահայաց է ափերին: Այն հավասար է v1 և v2-ի վեկտորային գումարին: Անկյան սինուսը, որով պետք է շեղվի սեփական արագության վեկտորը, հավասար է v1 և v2 մոդուլների հարաբերակցությանը: Ճանապարհորդության ժամանակը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ կլինի գետի լայնությունը բաժանել հաշվարկված ընդհանուր արագության վրա: Վերջինիս արժեքը հաշվարկվում է Պյութագորասի թեորեմի միջոցով։
v=√(v22 – v1 2), ապա t=l / (√(v22 – v1 2)).
Պատասխան. մեկը): s=l(v1 / v2), 2): մեղք α=v1 /v2, t=l / (√(v22 – v 12)).
