«Անսահմանություն» բառի դեպքում յուրաքանչյուր մարդ ունի իր ասոցիացիաները: Շատերն իրենց երևակայության մեջ նկարում են ծովը, որը դուրս է գալիս հորիզոնից այն կողմ, իսկ մյուսների աչքի առաջ անսահման աստղային երկնքի պատկերն է: Թվերի հետ գործելու սովոր մաթեմատիկոսները բոլորովին այլ կերպ են պատկերացնում անսահմանությունը։ Շատ դարեր շարունակ նրանք փորձում էին գտնել չափման համար անհրաժեշտ ֆիզիկական քանակներից ամենամեծը: Դրանցից մեկը Գրեհեմի համարն է։ Քանի՞ զրո կա դրա մեջ և ինչի համար է այն օգտագործվում, այս հոդվածը ցույց կտա:
Անսահման մեծ թիվ
Մաթեմատիկայում սա այնպիսի փոփոխականի անունն է x , եթե որևէ դրական M թվի համար կարելի է նշել բնական N թիվ այնպես, որ բոլոր n թվերի համար n-ից մեծ լինի: անհավասարությունը |x | > M. Այնուամենայնիվ, ոչ, օրինակ, Z ամբողջ թիվը կարելի է համարել անսահման մեծ, քանի որ այն միշտ փոքր կլինի (Z + 1):
Մի քանի խոսք «հսկաների» մասին
Ֆիզիկական նշանակություն ունեցող ամենամեծ թվերը համարվում են՝
- 1080. Այս թիվը, որը սովորաբար կոչվում է քվինկավիգինտիլիոն, օգտագործվում է Տիեզերքում քվարկների և լեպտոնների (ամենափոքր մասնիկները) մոտավոր թիվը նշելու համար։
- 1 Google: Այդպիսի թիվը տասնորդական համակարգում գրվում է որպես 100 զրո ունեցող միավոր։ Ըստ որոշ մաթեմատիկական մոդելների՝ մեծ պայթյունի պահից մինչև ամենազանգվածային սև խոռոչի պայթյունը պետք է անցնի 1-ից 1,5 գուգոլ տարի, որից հետո մեր տիեզերքը կտեղափոխվի իր գոյության վերջին փուլը, այսինքն՝ մենք կարող ենք. ենթադրենք, որ այս թիվը որոշակի ֆիզիկական նշանակություն ունի։
- 8, 5 x 10185: Պլանկի հաստատունը 1,616199 x 10-35 մ է, այսինքն տասնորդական նշումով այն կարծես 0,000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000616199 մ է: Մեկ դյույմում կա մոտ 1 գուգոլ Պլանկի երկարություն: Ենթադրվում է, որ մոտավորապես 8,5 x 10185 Պլանկի երկարությունները կարող են տեղավորվել մեր ողջ տիեզերքում:
- 277 232 917 – 1. Սա ամենամեծ հայտնի պարզ թիվն է: Եթե դրա երկուական նշումն ունի բավականին կոմպակտ ձև, ապա այն տասնորդական ձևով պատկերելու համար այն կպահանջի 13 միլիոնից ոչ պակաս նիշ: Այն հայտնաբերվել է 2017 թվականին Մերսենի համարների որոնման նախագծի շրջանակներում: Եթե էնտուզիաստները շարունակեն աշխատել այս ուղղությամբ, ապա համակարգչային տեխնոլոգիաների զարգացման ներկա մակարդակով մոտ ապագայում նրանք դժվար թե կարողանան գտնել Մերսենի թիվ 277 232 917-ից ավելի մեծության կարգ:- 1, թեև այդպիսիներջանիկ հաղթողը կստանա 150,000 ԱՄՆ դոլար։
- Hugoplex. Այստեղ մենք պարզապես վերցնում ենք 1-ը և դրանից հետո ավելացնում զրոներ՝ 1 գուգոլի չափով։ Այս թիվը կարող եք գրել որպես 10^10^100։ Անհնար է այն ներկայացնել տասնորդական ձևով, քանի որ եթե Տիեզերքի ամբողջ տարածությունը լցված է թղթի կտորներով, որոնցից յուրաքանչյուրի վրա գրվելու է 0-ը «Word» տառաչափով 10, ապա այս դեպքում միայն կեսը. 1-ից հետո բոլոր 0-ը կստացվի googolplex համարի համար:
- 10^10^10^10^10^1.1. Սա մի թիվ է, որը ցույց է տալիս այն տարիների թիվը, որից հետո, ըստ Պուանկարեի թեորեմի, մեր Տիեզերքը, պատահական քվանտային տատանումների արդյունքում, կվերադառնա այսօրվա վիճակին մոտ:
Ինչպես առաջացան Գրեհեմի թվերը
1977 թվականին գիտության հայտնի հանրահռչակող Մարտին Գարդները Science American-ում հրապարակեց հոդված՝ կապված Գրեհեմի կողմից Ռամզեի տեսության խնդիրներից մեկի ապացուցման հետ: Դրանում նա գիտնականի սահմանած սահմանն անվանել է ամենամեծ թիվը, որը երբևէ օգտագործվել է լուրջ մաթեմատիկական դատողությունների մեջ:
Ո՞վ է Ռոնալդ Լյուիս Գրեհեմը
Գիտնականը, որն այժմ 80 տարեկան է, ծնվել է Կալիֆորնիայում: 1962 թվականին Բերքլիի համալսարանում ստացել է մաթեմատիկայի դոկտորի կոչում։ Նա 37 տարի աշխատել է Bell Labs-ում, իսկ ավելի ուշ տեղափոխվել է AT&T Labs: Գիտնականն ակտիվորեն համագործակցել է 20-րդ դարի մեծագույն մաթեմատիկոսներից մեկի՝ Պալ Էրդոսի հետ և բազմաթիվ հեղինակավոր մրցանակների դափնեկիր է։ Գրեհեմի գիտական մատենագրությունը պարունակում է ավելի քան 320 գիտական աշխատություն։
70-ականների կեսերին գիտնականին հետաքրքրում էր տեսության հետ կապված խնդիրը. Ռեմսի. Դրա ապացույցում որոշվել է լուծույթի վերին սահմանը, որը շատ մեծ թիվ է, որը հետագայում անվանվել է Ռոնալդ Գրեհեմի անունով:
Հիպերխորանարդի խնդիր
Գրեհեմի թվի էությունը հասկանալու համար նախ պետք է հասկանալ, թե ինչպես է այն ստացվել:
Գիտնականը և նրա գործընկեր Բրյուս Ռոթշիլդը լուծում էին հետևյալ խնդիրը.
Գոյություն ունի n-չափ հիպերխորանարդ: Նրա գագաթների բոլոր զույգերը միացված են այնպես, որ ստացվի 2գագաթներով ամբողջական գրաֆիկ։ Նրա յուրաքանչյուր եզրը գունավոր է կամ կապույտ կամ կարմիր: Պահանջվում էր գտնել գագաթների նվազագույն թիվը, որը պետք է ունենա հիպերխորանարդը, որպեսզի յուրաքանչյուր նման գունավորում պարունակի ամբողջական մոնոխրոմատիկ ենթագիր՝ 4 գագաթներով, որոնք գտնվում են նույն հարթության վրա:
Որոշում
Գրեհեմը և Ռոթշիլդն ապացուցեցին, որ խնդիրն ունի N' լուծում, որը բավարարում է 6 ⩽ N' ⩽N պայմանը, որտեղ N-ը լավ սահմանված, շատ մեծ թիվ է:
N-ի ստորին սահմանը հետագայում ճշգրտվեց այլ գիտնականների կողմից, ովքեր ապացուցեցին, որ N-ը պետք է լինի 13-ից մեծ կամ հավասար: Այսպիսով, վերը ներկայացված պայմանները բավարարող հիպերխորանարդի գագաթների ամենափոքր թվի արտահայտությունը դարձավ. 13 ⩽ N'⩽ N.
Կնուտի սլաքի նշում
Գրեհեմի թիվը սահմանելուց առաջ դուք պետք է ծանոթանաք դրա խորհրդանշական ներկայացման եղանակին, քանի որ ոչ տասնորդական, ոչ էլ երկուական նշումը բացարձակապես հարմար չէ դրա համար:
Ներկայումս այս մեծությունը ներկայացնելու համար օգտագործվում է Knuth-ի սլաքի նշումը: Ըստ նրա՝
ab=a «վերև սլաք» b.
Բազմակի հզորացման գործողության համար մուտքագրվեց մուտքը՝
a "up arrow" "up arrow" b=ab="աշտարակ, որը բաղկացած է a-ից b կտորների քանակով."
Իսկ pentation-ի համար, այսինքն՝ նախորդ օպերատորի կրկնվող հզորության խորհրդանշական նշանակման համար, Կնուտն արդեն օգտագործել է 3 սլաք:
Օգտագործելով այս նշումը Գրեհեմի համարի համար՝ մենք ունենք «սլաքների» հաջորդականություններ, որոնք գտնվում են միմյանց մեջ՝ 64 հատի չափով:
Սանդղակ
Նրանց հայտնի թիվը, որը գրգռում է երևակայությունը և ընդլայնում մարդկային գիտակցության սահմանները՝ դուրս բերելով այն Տիեզերքի սահմաններից, Գրեհեմը և նրա գործընկերները ստացել են այն որպես N թվի վերին սահման՝ հիպերխորանարդի ապացույցում։ վերը ներկայացված խնդիրը: Սովորական մարդու համար չափազանց դժվար է պատկերացնել, թե որքան մեծ է դրա մասշտաբը։
Նիշերի քանակի հարցը, կամ, ինչպես երբեմն սխալմամբ ասում են, Գրեհեմի թվի զրոները, հետաքրքրում է գրեթե բոլորին, ովքեր առաջին անգամ են լսում այս արժեքի մասին:
Բավական է ասել, որ գործ ունենք արագ աճող հաջորդականության հետ, որը բաղկացած է 64 անդամից։ Նույնիսկ դրա առաջին տերմինն անհնար է պատկերացնել, քանի որ այն բաղկացած է n «աշտարակից», որը բաղկացած է 3-ից: Արդեն նրա «ներքևի հարկը»՝ 3 եռյակով, հավասար է 7,625,597,484,987-ի, այսինքն՝ գերազանցում է 7 միլիարդը, այսինքն՝ 64-րդ հարկի մասին (անդամ չէ): Այսպիսով, ներկայումս անհնար է ճշգրիտ ասել, թե որն է Գրեհեմի թիվը, քանի որ այն բավարար չէ այն հաշվարկելու համար։այսօր Երկրի վրա գոյություն ունեցող բոլոր համակարգիչների համակցված հզորությունը։
Ռեկորդը խախտե՞լ է:
Կրուսկալի թեորեմի ապացուցման գործընթացում Գրեհեմի թիվը «նետվեց պատվանդանից»: Գիտնականն առաջարկել է հետևյալ խնդիրը՝
Կա վերջավոր ծառերի անսահման հաջորդականություն: Կրուսկալն ապացուցեց, որ միշտ կա ինչ-որ գրաֆիկի մի հատված, որը և՛ ավելի մեծ գրաֆիկի մի մասն է, և՛ դրա ճշգրիտ պատճենը: Այս հայտարարությունը որևէ կասկած չի հարուցում, քանի որ ակնհայտ է, որ անսահմանության մեջ միշտ կլինի ճշգրիտ կրկնվող համակցություն:
Հետագայում Հարվի Ֆրիդմանը որոշ չափով նեղացրեց այս խնդիրը՝ դիտարկելով միայն այնպիսի ացիկլիկ գրաֆիկներ (ծառեր), որոնք i գործակցով կոնկրետ մեկի համար կան առավելագույնը (i + k) գագաթներ։ Նա որոշեց պարզել, թե որքան պետք է լինի ացիկլիկ գրաֆիկների թիվը, որպեսզի իրենց առաջադրանքի այս մեթոդով միշտ հնարավոր լինի գտնել ենթածառ, որը կտեղադրվի մեկ այլ ծառի մեջ։
Այս հարցի վերաբերյալ հետազոտությունների արդյունքում պարզվել է, որ N-ը, կախված k-ից, աճում է ահռելի արագությամբ։ Մասնավորապես, եթե k=1, ապա N=3: Այնուամենայնիվ, k=2-ում N-ն արդեն հասնում է 11-ի: Ամենահետաքրքիրը սկսվում է, երբ k=3: Այս դեպքում N-ն արագորեն «թռնում է» և հասնում է մի արժեքի, որը շատ անգամ մեծ է Գրեհեմի թվից: Պատկերացնելու համար, թե որքան մեծ է այն, բավական է գրել Ռոնալդ Գրեհեմի հաշվարկած թիվը G64-ի տեսքով (3): Այնուհետև Friedman-Kruskal արժեքը (rev. FinKraskal(3)), կլինի G(G(187196)) կարգի: Այսինքն՝ ստացվում է մեգաարժեք, որն անսահման մեծ էԳրեհեմի աներևակայելի մեծ թիվ: Միևնույն ժամանակ, նույնիսկ այն հսկա քանակով փոքր կլինի անսահմանությունից: Այս հայեցակարգի մասին ավելի մանրամասն խոսելն իմաստ ունի։
Անսահմանություն
Այժմ, երբ մենք բացատրեցինք, թե որն է մատների Գրեհեմի թիվը, մենք պետք է հասկանանք այն իմաստը, որը ներդրվել և ներդրվում է այս փիլիսոփայական հայեցակարգի մեջ: Ի վերջո, «անսահմանությունը» և «անսահման մեծ թիվը» կարելի է նույնական համարել որոշակի համատեքստում։
Այս հարցի ուսումնասիրության մեջ ամենամեծ ներդրումն է ունեցել Արիստոտելը։ Հնության մեծ մտածողը անսահմանությունը բաժանեց պոտենցիալ և ակտուալ: Վերջինս ասելով նա նկատի ուներ անսահման իրերի գոյության իրականությունը։
Ըստ Արիստոտելի՝ այս հիմնարար հայեցակարգի մասին պատկերացումների աղբյուրներն են՝
- ժամանակ;
- արժեքների տարանջատում;
- սահմանի հասկացությունը և դրանից այն կողմ ինչ-որ բանի առկայությունը;
- ստեղծագործական բնույթի անսպառությունը;
- մտածողություն, որը սահմաններ չունի:
Անսահմանության ժամանակակից մեկնաբանության մեջ դուք չեք կարող նշել քանակական չափում, ուստի ամենամեծ թվի որոնումը կարող է ընդմիշտ շարունակվել:
Եզրակացություն
Կարո՞ղ են «Հայացք դեպի անսահմանություն» փոխաբերությունը և Գրեհեմի թիվը ինչ-որ իմաստով հոմանիշ համարվել: Ավելի շուտ այո և ոչ: Երկուսն էլ անհնար է պատկերացնել, նույնիսկ ամենաուժեղ երեւակայությամբ։ Սակայն, ինչպես արդեն նշվեց, այն չի կարելի համարել «ամենա, ամենաշատը»։ Մեկ այլ բան այն է, որ այս պահին Գրեհեմի համարից մեծ արժեքները հաստատված չենֆիզիկական զգացողություն.
Նաև այն չունիանսահման թվի հատկություններ, ինչպես օրինակ՝
- ∞ + 1=∞;
- կա կենտ և զույգ թվերի անսահման թիվ;
- ∞ - 1=∞;
- կենտ թվերի թիվը բոլոր թվերի ուղիղ կեսն է;
- ∞ + ∞=∞;
- ∞/2=∞.
Ամփոփենք՝ Գրեհեմի թիվը ամենամեծ թիվն է մաթեմատիկական ապացույցների պրակտիկայում՝ ըստ Գինեսի ռեկորդների գրքի: Այնուամենայնիվ, կան թվեր, որոնք շատ անգամ մեծ են այս արժեքից։
Ամենայն հավանականությամբ, ապագայում էլ ավելի մեծ «հսկաների» կարիք կզգան, հատկապես, եթե մարդը դուրս գա մեր արեգակնային համակարգից կամ մեր գիտակցության ներկա մակարդակում աներևակայելի բան հորինի։
