Մաթեմատիկայում և մշակման մեջ անալիտիկ ազդանշան հասկացությունը (կարճ՝ C, AC) բարդ ֆունկցիա է, որը չունի բացասական հաճախականության բաղադրիչներ։ Այս երևույթի իրական և երևակայական մասերը Հիլբերտի փոխակերպմամբ միմյանց հետ կապված իրական ֆունկցիաներ են։ Անալիտիկ ազդանշանը բավականին տարածված երեւույթ է քիմիայում, որի էությունը նման է այս հասկացության մաթեմատիկական սահմանմանը:
ներկայացումներ
Իրական ֆունկցիայի վերլուծական ներկայացումը վերլուծական ազդանշան է, որը պարունակում է սկզբնական ֆունկցիան և դրա Հիլբերտային փոխակերպումը: Այս ներկայացումը հեշտացնում է բազմաթիվ մաթեմատիկական մանիպուլյացիաներ: Հիմնական գաղափարն այն է, որ իրական ֆունկցիայի Ֆուրիեի փոխակերպման (կամ սպեկտրի) բացասական հաճախականության բաղադրիչները ավելորդ են նման սպեկտրի հերմիտյան համաչափության պատճառով: Այս բացասական հաճախականության բաղադրիչները կարող են անտեսվել առանցտեղեկատվության կորուստ, պայմանով, որ փոխարենը ցանկանում եք զբաղվել բարդ գործառույթով: Սա ավելի մատչելի է դարձնում որոշ առանձնահատկությունների ատրիբուտներ և հեշտացնում է մոդուլյացիայի և դեմոդուլյացիայի մեթոդների ստացումը, ինչպիսիք են SSB-ը:
Բացասական բաղադրիչներ
Քանի դեռ մանիպուլյացիայի ենթարկվող ֆունկցիան չունի բացասական հաճախականության բաղադրիչներ (այսինքն այն դեռ վերլուծական է), կոմպլեքսից իրականի վերածելը պարզապես երևակայական մասից հրաժարվելու խնդիր է: Վերլուծական ներկայացումը վեկտորի հայեցակարգի ընդհանրացումն է. մինչդեռ վեկտորը սահմանափակվում է ժամանակի անփոփոխ ամպլիտուդով, փուլով և հաճախականությամբ, վերլուծական ազդանշանի որակական վերլուծությունը թույլ է տալիս ժամանակով փոփոխվող պարամետրեր:
Ակնթարթային ամպլիտուդը, ակնթարթային փուլը և հաճախականությունը որոշ կիրառություններում օգտագործվում են C-ի տեղական առանձնահատկությունները չափելու և հայտնաբերելու համար: Վերլուծական ներկայացման մեկ այլ կիրառություն վերաբերում է մոդուլացված ազդանշանների դեմոդուլյացիայի հետ: Բևեռային կոորդինատները հարմար կերպով առանձնացնում են AM-ի և փուլային (կամ հաճախականության) մոդուլյացիայի էֆեկտները և արդյունավետորեն քանդում են որոշ տեսակներ:
Այնուհետև իրական գործակիցներով պարզ ցածր անցումային զտիչը կարող է կտրել հետաքրքրության մասը: Մյուս շարժառիթը առավելագույն հաճախականության իջեցումն է, ինչը նվազեցնում է ոչ անուն-ազգանունների նմուշառման նվազագույն հաճախականությունը: Հաճախականության տեղաշարժը չի խաթարում ներկայացման մաթեմատիկական օգտակարությունը: Այսպիսով, այս իմաստով ներքև դարձվածը դեռևս վերլուծական է: Սակայն իրական ներկայացուցչության վերականգնումըԱյլևս իրական բաղադրիչը պարզապես հանելու պարզ խնդիր չէ: Կարող է պահանջվել վերափոխում, և եթե ազդանշանը նմուշառվում է (դիսկրետ ժամանակ), ապա կարող է պահանջվել նաև ինտերպոլացիա (upsampling)՝ կեղծումից խուսափելու համար:
Փոփոխականներ
Հայեցակարգը լավ սահմանված է մեկ փոփոխական երևույթների համար, որը սովորաբար ժամանակավոր է: Այս ժամանակավորությունը շփոթեցնում է շատ սկսնակ մաթեմատիկոսների: Երկու կամ ավելի փոփոխականների համար վերլուծական C-ն կարող է սահմանվել տարբեր ձևերով, և ստորև ներկայացված է երկու մոտեցում:
Այս երևույթի իրական և երևակայական մասերը համապատասխանում են վեկտորային արժեք ունեցող մոնոգեն ազդանշանի երկու տարրի, ինչպես սահմանված է մեկ փոփոխականով նմանատիպ երևույթների համար: Այնուամենայնիվ, մոնոգենը կարող է պարզ ձևով տարածվել փոփոխականների կամայական քանակի վրա՝ ստեղծելով (n + 1)-չափային վեկտորային ֆունկցիա n-փոփոխական ազդանշանների դեպքում:
Ազդանշանի փոխարկում
Դուք կարող եք իրական ազդանշանը վերածել վերլուծականի' ավելացնելով երևակայական (Q) բաղադրիչ, որը իրական բաղադրիչի Հիլբերտի փոխակերպումն է:
Ի դեպ, սա նորություն չէ իր թվային մշակման համար: Մեկ կողային շղթայի (SSB) AM գեներացման ավանդական եղանակներից մեկը՝ փուլային մեթոդը, ներառում է ազդանշանների ստեղծում՝ անալոգային ռեզիստոր-կոնդենսատորային ցանցում աուդիո ազդանշանի Հիլբերտ փոխակերպման գեներացմամբ: Քանի որ այն ունի միայն դրական հաճախականություններ, հեշտ է այն վերածել մոդուլացված ՌԴ ազդանշանի միայն մեկ կողային ժապավենով:
Սահմանման բանաձևեր
Անալիտիկ ազդանշանի արտահայտությունը հոլոմորֆ կոմպլեքս ֆունկցիա է, որը սահմանվում է վերին բարդ կիսահարթության սահմանի վրա։ Վերին կիսահարթության սահմանը համընկնում է պատահականության հետ, ուստի C-ն տրված է քարտեզագրման fa-ով. R → C: Անցյալ դարի կեսերից, երբ Դենիս Գաբորը 1946 թվականին առաջարկեց օգտագործել այս երևույթը հաստատուն ամպլիտուդի և փուլի ուսումնասիրության համար:, ազդանշանը բազմաթիվ կիրառություններ է գտել։ Ընդգծվեց այս երևույթի առանձնահատկությունը [Vak96], որտեղ ցույց տվեցին, որ միայն անալիտիկ ազդանշանի որակական վերլուծությունը համապատասխանում է ամպլիտուդի, փուլի և հաճախականության ֆիզիկական պայմաններին::
Վերջին ձեռքբերումները
Վերջին մի քանի տասնամյակների ընթացքում հետաքրքրություն է առաջացել տարբեր չափումներով ազդանշանի ուսումնասիրության նկատմամբ՝ պայմանավորված այն ոլորտներում, որոնք ծագում են այնպիսի ոլորտներում, ինչպիսիք են պատկերի/տեսանյութի մշակումը մինչև ֆիզիկայի բազմաչափ տատանողական գործընթացները, ինչպիսիք են սեյսմիկ, էլեկտրամագնիսական և գրավիտացիոն ալիքներ. Ընդհանրապես ընդունված է, որ վերլուծական C-ն (որակական վերլուծությունը) մի քանի չափումների դեպքում ճիշտ ընդհանրացնելու համար պետք է հիմնվել հանրահաշվական կառուցվածքի վրա, որը հարմար ձևով ընդարձակում է սովորական բարդ թվերը: Նման կառույցները սովորաբար կոչվում են հիպերհամալիր թվեր [SKE]:
Վերջապես, պետք է հնարավոր լինի կառուցել հիպերհամալիր վերլուծական ազդանշան fh: Rd → S, որտեղ ներկայացված է ընդհանուր հիպերհամալիր հանրահաշվական համակարգ, որը բնականաբար ընդլայնում է բոլոր պահանջվող հատկությունները ակնթարթային ամպլիտուդ ստանալու համար ևփուլ.
Ուսումնառություն
Մի շարք աշխատություններ նվիրված են տարբեր հարցերի՝ կապված հիպերհամալիր թվային համակարգի ճիշտ ընտրության, հիպերհամալիր Ֆուրիեի փոխակերպման և կոտորակային Հիլբերտի փոխակերպումների սահմանմանը ակնթարթային ամպլիտուդի և փուլի ուսումնասիրության համար: Այս աշխատանքի մեծ մասը հիմնված էր տարբեր տարածությունների հատկությունների վրա, ինչպիսիք են Cd-ն, քառատերը, Կլեարոնի հանրահաշիվները և Քեյլի-Դիքսոնի կառուցվածքները:
Հաջորդում մենք կթվարկենք միայն որոշ աշխատանքներ, որոնք նվիրված են ազդանշանի բազմաթիվ չափումներով ուսումնասիրությանը: Որքան գիտենք, բազմաչափ մեթոդի վերաբերյալ առաջին աշխատանքները ստացվել են 1990-ականների սկզբին։ Դրանք ներառում են Էլլի աշխատանքը [Ell92] հիպերհամալիր փոխակերպումների վերաբերյալ; Բուլոուի աշխատանքը շատ չափումների նկատմամբ անալիտիկ ռեակցիայի (վերլուծական ազդանշանի) մեթոդի ընդհանրացման վերաբերյալ [BS01] և Ֆելսբերգի և Զոմմերի աշխատանքը մոնոգեն ազդանշանների վերաբերյալ։
Հետագա հեռանկարներ
Ակնկալվում է, որ հիպերհամալիր ազդանշանը կընդլայնի բոլոր օգտակար հատկությունները, որոնք մենք ունենք 1D դեպքում: Առաջին հերթին մենք պետք է կարողանանք արդյունահանել և ընդհանրացնել ակնթարթային ամպլիտուդը և փուլը չափումներին: Երկրորդ, բարդ անալիտիկ ազդանշանի Ֆուրիեի սպեկտրը պահպանվում է միայն դրական հաճախականություններում, ուստի մենք ակնկալում ենք, որ հիպերհամալիր Ֆուրիեի տրանսֆորմացիան կունենա իր հիպերգնահատված սպեկտրը, որը կպահպանվի միայն հիպերհամալիր տարածության որոշ դրական քառորդում: Քանի որ դա շատ կարևոր է։
Երրորդ, բարդ հայեցակարգի զուգակցված մասերվերլուծական ազդանշանը կապված է Հիլբերտի փոխակերպման հետ, և մենք կարող ենք ակնկալել, որ հիպերհամալիր տարածության զուգակցված բաղադրիչները նույնպես պետք է կապված լինեն Հիլբերտի փոխակերպումների ինչ-որ համակցության հետ: Եվ վերջապես, հիպերկոմպլեքս ազդանշանը պետք է սահմանվի որպես հիպերհամալիր տարածության ինչ-որ ձևի սահմանին սահմանված մի քանի հիպերհամալիր փոփոխականների որոշ հիպերհամալիր հոլոմորֆ ֆունկցիայի ընդլայնում::
Մենք այս հարցերին անդրադառնում ենք հաջորդական կարգով: Առաջին հերթին մենք սկսում ենք նայելով Ֆուրիեի ինտեգրալ բանաձևին և ցույց ենք տալիս, որ Հիլբերտի փոխակերպումը 1-D կապված է փոփոխված Ֆուրիեի ինտեգրալ բանաձևի հետ: Այս փաստը թույլ է տալիս սահմանել ակնթարթային ամպլիտուդը, փուլը և հաճախականությունը՝ առանց որևէ հղումի հիպերհամալիր թվային համակարգերին և հոլոմորֆ ֆունկցիաներին:
Ինտեգրալների փոփոխություն
Մենք շարունակում ենք ընդլայնելով փոփոխված Ֆուրիեի ինտեգրալ բանաձևը մի քանի չափսերի վրա և որոշում ենք բոլոր անհրաժեշտ փուլային բաղադրամասերը, որոնք մենք կարող ենք հավաքել ակնթարթային ամպլիտուդի և փուլի մեջ: Երկրորդ, մենք դիմում ենք մի քանի հիպերհամալիր փոփոխականների հոլոմորֆ ֆունկցիաների առկայության հարցին: [Sch93]-ից հետո պարզվում է, որ էլիպսային (e2i=−1) գեներատորների կողմից ստեղծված կոմուտատիվ և ասոցիատիվ հիպերհամալիր հանրահաշիվը հարմար տարածություն է հիպերհամալիր վերլուծական ազդանշանի համար, մենք այդպիսի հիպերհամալիր հանրահաշիվն անվանում ենք Շեֆերսի տարածություն և նշում. այնSd.
Հետևաբար, վերլուծական ազդանշանների հիպերհամալիրը սահմանվում է որպես հոլոմորֆ ֆունկցիա պոլիսկի / հարթության վերին կեսի սահմանին որոշ հիպերհամալիր տարածությունում, որը մենք անվանում ենք Շեֆերսի ընդհանուր տարածություն և նշվում է Sd-ով: Այնուհետև մենք դիտարկում ենք Կոշիի ինտեգրալ բանաձևի վավերականությունը Sd → Sd ֆունկցիաների համար, որոնք հաշվարկվում են գերմակերևույթի վրա բազմասկավառակի ներսում Sd-ում և ստանում են համապատասխան կոտորակային Հիլբերտի փոխակերպումները, որոնք առնչվում են հիպերհամալիրային կոնյուգացիոն բաղադրիչներին: Ի վերջո, պարզվում է, որ Շեֆերսի տարածության արժեքներով Ֆուրիեի փոխակերպումն ապահովվում է միայն ոչ բացասական հաճախականություններով: Այս հոդվածի շնորհիվ դուք իմացաք, թե ինչ է վերլուծական ազդանշանը։
