Պոլիեդրաները ոչ միայն երկրաչափության մեջ ակնառու տեղ են զբաղեցնում, այլև հանդիպում են յուրաքանչյուր մարդու առօրյա կյանքում: Էլ չենք խոսում արհեստականորեն ստեղծված կենցաղային իրերի մասին՝ տարբեր բազմանկյունների տեսքով՝ սկսած լուցկու տուփից մինչև ճարտարապետական տարրեր, բյուրեղներ՝ խորանարդի (աղի), պրիզմայի (բյուրեղյա), բուրգի (շեյլիտ), ութանիստ (ադամանդ) տեսքով, և այլն: e.
Բազմեյդրոնի հայեցակարգը, երկրաչափության մեջ բազմանիստ տեսակները
Երկրաչափությունը որպես գիտություն պարունակում է ստերեոմետրիայի բաժին, որն ուսումնասիրում է եռաչափ պատկերների բնութագրերն ու հատկությունները: Երկրաչափական մարմինները, որոնց կողմերը եռաչափ տարածության մեջ կազմված են սահմանափակ հարթություններով (դեմքերով), կոչվում են «բազմադեղներ»։ Բազմանդեղների տեսակները ներառում են ավելի քան մեկ տասնյակ ներկայացուցիչներ, որոնք տարբերվում են դեմքերի քանակով և ձևով:
Սակայն բոլոր պոլիէդրներն ունեն ընդհանուր հատկություններ.
- Դրանք բոլորն ունեն 3 կարևոր բաղադրիչ՝ դեմք(բազմանկյունի մակերես), գագաթ (անկյուններ, որոնք ձևավորվում են երեսների միացման վայրում), եզր (նկարի կողմ կամ երկու երեսների միացման հատվածում ձևավորված հատված):
- Յուրաքանչյուր բազմանկյուն եզր միացնում է երկու և միայն երկու դեմքեր, որոնք հարևան են միմյանց:
- ուռուցիկությունը նշանակում է, որ մարմինն ամբողջությամբ գտնվում է հարթության միայն մի կողմում, որի վրա ընկած է դեմքերից մեկը: Կանոնը վերաբերում է պոլիէդրոնի բոլոր երեսներին։ Նման երկրաչափական պատկերները ստերեոմետրիայում կոչվում են ուռուցիկ պոլիեդրաներ։ Բացառություն են կազմում աստղաձև բազմանիստները, որոնք կանոնավոր բազմանիստ երկրաչափական պինդ մարմինների ածանցյալներն են։
Պոլիեդրան պայմանականորեն կարելի է բաժանել՝
- Ուռուցիկ բազմանիստ տեսակներ, որոնք բաղկացած են հետևյալ դասերից՝ սովորական կամ դասական (պրիզմա, բուրգ, զուգահեռաբարձ), կանոնավոր (կոչվում են նաև պլատոնական պինդ մարմիններ), կիսակազմակերպ (երկրորդ անվանումը՝ արքիմեդյան պինդ մարմիններ):
- Ոչ ուռուցիկ բազմանիստ (աստղաձև).
Պրիզմա և դրա հատկությունները
Ստերեոմետրիան որպես երկրաչափության ճյուղ ուսումնասիրում է եռաչափ պատկերների հատկությունները, պոլիեդրների տեսակները (դրանցից մեկն է պրիզմա)։ Պրիզման երկրաչափական մարմին է, որն անպայմանորեն ունի երկու բացարձակապես նույնական երեսներ (դրանք կոչվում են նաև հիմքեր), որոնք գտնվում են զուգահեռ հարթություններում, և կողային երեսների n-րդ թիվը՝ զուգահեռների տեսքով։ Իր հերթին, պրիզման ունի նաև մի քանի սորտեր, այդ թվում՝ պոլիեդրաների այնպիսի տեսակներ, ինչպիսիք են՝
- Զուգահեռաբարձ - ձևավորվում է, եթե հիմքը զուգահեռագիծ է.2 զույգ հավասար հակադիր անկյուններով և 2 զույգ հավասար հակառակ կողմերով բազմանկյուն:
- Ուղիղ պրիզման ունի հիմքին ուղղահայաց եզրեր:
- Թեքված պրիզմա բնութագրվում է երեսների և հիմքի միջև ոչ ուղիղ անկյունների առկայությամբ (բացի 90-ից):
- Կանոնավոր պրիզման բնութագրվում է հիմքերով՝ հավասար կողային երեսներով կանոնավոր բազմանկյունի տեսքով:
Պրիզմայի հիմնական հատկությունները.
- Համապատասխան հիմքեր.
- Պրիզմայի բոլոր եզրերը հավասար են և միմյանց զուգահեռ:
- Բոլոր կողային երեսները զուգահեռագրման են։
Բուրգ
Բուրգը երկրաչափական մարմին է, որը բաղկացած է մեկ հիմքից և n-րդ թվով եռանկյուն երեսներից՝ միացված մի կետում՝ վերևում։ Հարկ է նշել, որ եթե բուրգի կողային երեսները պարտադիր կերպով ներկայացված են եռանկյուններով, ապա հիմքը կարող է լինել կամ եռանկյուն բազմանկյուն, կամ քառանկյուն, կամ հնգանկյուն և այլն անվերջ: Այս դեպքում բուրգի անվանումը կհամապատասխանի հիմքի բազմանկյունին: Օրինակ, եթե եռանկյունը ընկած է բուրգի հիմքում, ապա այն եռանկյուն բուրգ է, քառանկյունը քառանկյուն է և այլն:
Բուրգերը կոնանման բազմանիստ են: Այս խմբի բազմանիստ տեսակները, բացի վերը թվարկվածներից, ներառում են նաև հետևյալ ներկայացուցիչները՝
- Կանոնավոր բուրգն իր հիմքում ունի կանոնավոր բազմանկյուն, և նրա բարձրությունը նախագծված է դեպի կենտրոնշրջանակ, որը գրված է հիմքում կամ շրջագծված դրա շուրջը։
- Ուղղանկյուն բուրգ է գոյանում, երբ կողային եզրերից մեկը հատվում է հիմքի հետ ուղիղ անկյան տակ։ Այս դեպքում արդարացի է նաև այս եզրն անվանել բուրգի բարձրություն։
Բուրգի հատկություններ՝
- Եթե բուրգի բոլոր կողային եզրերը համընկնում են (նույն բարձրության), ապա դրանք բոլորը հատվում են հիմքի հետ նույն անկյան տակ, իսկ հիմքի շուրջ կարող եք գծել շրջանագիծ, որի կենտրոնը համընկնում է պրոյեկցիայի հետ: բուրգի գագաթը։
- Եթե բուրգի հիմքը կանոնավոր բազմանկյուն է, ապա բոլոր կողային եզրերը համահունչ են, իսկ դեմքերը հավասարաչափ եռանկյունիներ են։
Կանոնավոր բազմանիստ. բազմանիստ տեսակներն ու հատկությունները
Ստերեոմետրիայում առանձնահատուկ տեղ են զբաղեցնում բացարձակ հավասար երեսներով երկրաչափական մարմինները, որոնց գագաթներին միացված են նույն թվով եզրեր։ Այս պինդ մարմինները կոչվում են Պլատոնական պինդ մարմիններ կամ կանոնավոր պոլիեդրաներ։ Նման հատկություններով պոլիեդրների տեսակներն ունեն ընդամենը հինգ ձև՝
- Տետրաեդրոն.
- Hexahedron.
- Օկտահեդրոն.
- Դոդեկաեդրոն.
- Icosahedron.
Կանոնավոր պոլիեդրաներն իրենց անունը պարտական են հին հույն փիլիսոփա Պլատոնին, ով նկարագրել է այս երկրաչափական մարմինները իր գրվածքներում և կապել դրանք բնական տարրերի հետ՝ հող, ջուր, կրակ, օդ: Հինգերորդ գործիչը արժանացել է տիեզերքի կառուցվածքի նմանությանը: Նրա կարծիքով՝ բնական տարրերի ատոմներն իրենց ձևով հիշեցնում են կանոնավոր պոլիեդրների տեսակները։ Իր ամենահուզիչ հատկության շնորհիվ՝համաչափությամբ, այս երկրաչափական մարմինները մեծ հետաքրքրություն էին ներկայացնում ոչ միայն հին մաթեմատիկոսների և փիլիսոփաների, այլև բոլոր ժամանակների ճարտարապետների, նկարիչների և քանդակագործների համար: Բացարձակ համաչափությամբ միայն 5 տեսակի բազմաեզրների առկայությունը համարվում էր հիմնարար հայտնագործություն, նրանց նույնիսկ շնորհվեց կապ աստվածային սկզբունքի հետ։
Hexahedron և նրա հատկությունները
Վեցանկյունի տեսքով Պլատոնի իրավահաջորդները ենթադրեցին նմանություն երկրի ատոմների կառուցվածքի հետ։ Իհարկե, ներկայումս այս վարկածն ամբողջությամբ հերքվել է, ինչը, սակայն, չի խանգարում, որ ֆիգուրները ժամանակակից ժամանակներում իրենց գեղագիտությամբ գրավեն հայտնի գործիչների միտքը։
։
Երկրաչափության մեջ վեցանկյունը, որը նաև հայտնի է որպես խորանարդ, համարվում է զուգահեռականի հատուկ դեպք, որն իր հերթին պրիզմայի մի տեսակ է։ Համապատասխանաբար, խորանարդի հատկությունները կապված են պրիզմայի հատկությունների հետ, միայն այն տարբերությամբ, որ խորանարդի բոլոր երեսներն ու անկյունները հավասար են միմյանց։ Սրանից հետևում են հետևյալ հատկությունները՝
- Խորանարդի բոլոր եզրերը համահունչ են և գտնվում են միմյանց նկատմամբ զուգահեռ հարթություններում:
- Բոլոր դեմքերը համահունչ քառակուսիներ են (խորանարդում ընդհանուր առմամբ 6-ն է), որոնցից ցանկացածը կարելի է հիմք ընդունել։
- Բոլոր ինտերֆեյսի անկյունները 90 են:
- Յուրաքանչյուր գագաթից բխում է հավասար թվով եզրեր, այն է՝ 3:
- Խորանարդն ունի համաչափության 9 առանցք, որոնք բոլորը հատվում են վեցանկյունի անկյունագծերի հատման կետում, որը կոչվում է համաչափության կենտրոն։
Տետրեդրոն
Տետրաեդրոնը հավասար երեսներով քառանկյունների ձևով քառաեդրոն է, որի գագաթներից յուրաքանչյուրըերեք երեսների միացման կետն է։
Կանոնավոր քառաեդրոնի հատկությունները.
- Տետրաեդրոնի բոլոր երեսները հավասարակողմ եռանկյուններ են, ինչը նշանակում է, որ քառաեդրոնի բոլոր երեսները համընկնում են։
- Քանի որ հիմքը ներկայացված է կանոնավոր երկրաչափական պատկերով, այսինքն՝ ունի հավասար կողմեր, քառաեդրոնի երեսները միանում են նույն անկյան տակ, այսինքն՝ բոլոր անկյունները հավասար են։
- Յուրաքանչյուր գագաթի հարթ անկյունների գումարը 180 է, քանի որ բոլոր անկյունները հավասար են, ուրեմն կանոնավոր քառաեդրոնի ցանկացած անկյուն 60 է։
- Յուրաքանչյուր գագաթը նախագծված է հակառակ (ուղղանկյուն) դեմքի բարձրությունների հատման կետին:
Ութանիստ և նրա հատկությունները
Նկարագրելով կանոնավոր բազմանիստ տեսակները, չի կարելի չնկատել այնպիսի առարկա, ինչպիսին է ութանիստը, որը տեսողականորեն կարող է ներկայացվել որպես երկու քառանկյուն կանոնավոր բուրգեր՝ սոսնձված հիմքերով:
Ութանիստի հատկությունները.
- Երկրաչափական մարմնի անվանումն ինքնին հուշում է նրա դեմքերի թիվը: Ութանիստը բաղկացած է 8 համընկնող հավասարակողմ եռանկյուններից, որոնց գագաթներից յուրաքանչյուրում համընկնում են հավասար թվով դեմքեր, այն է՝ 4։
- Քանի որ ութանիստի բոլոր երեսները հավասար են, նրա միջանկյալ անկյունները նույնպես հավասար են, որոնցից յուրաքանչյուրը հավասար է 60-ի, և գագաթներից որևէ մեկի հարթ անկյունների գումարը, հետևաբար, 240 է։
։
Դոդեկաեդրոն
Եթե պատկերացնենք, որ երկրաչափական մարմնի բոլոր երեսները կանոնավոր հնգանկյուն են, ապա կստանանք տասներկուանիստ.12 բազմանկյունների պատկեր։
տասնյակի հատկությունները.
- Երեք դեմքեր հատվում են յուրաքանչյուր գագաթին։
- Բոլոր երեսները հավասար են և ունեն նույն եզրի երկարությունը և հավասար մակերեսը:
- Դոդեկաեդրոնն ունի 15 առանցք և համաչափության հարթություն, և դրանցից յուրաքանչյուրն անցնում է դեմքի գագաթով և հակառակ եզրի կեսով։
Icosahedron
Դոդեկաեդրոնից ոչ պակաս հետաքրքիր, իկոսաեդրոնի պատկերը 20 հավասար երեսներով եռաչափ երկրաչափական մարմին է։ Կանոնավոր քսանհեդրոնի հատկություններից կարելի է նշել հետևյալը՝
- Իկոսաեդրոնի բոլոր երեսները հավասարաչափ եռանկյուններ են։
- Բազմանիպի յուրաքանչյուր գագաթին միանում են հինգ երեսներ, իսկ գագաթի կից անկյունների գումարը 300 է։
- Իկոսաեդրոնը, ինչպես տասներկուանիստը, ունի 15 առանցք և համաչափության հարթություններ, որոնք անցնում են հակառակ երեսների միջնակետերով:
Կիսական կանոնավոր բազմանկյուններ
Բացի պլատոնական պինդ մարմիններից, ուռուցիկ բազմանիստների խմբին են պատկանում նաև Արքիմեդյան պինդները, որոնք կտրված կանոնավոր բազմանիստներ են։ Այս խմբի պոլիեդրների տեսակներն ունեն հետևյալ հատկությունները՝
- Երկրաչափական մարմիններն ունեն մի քանի տիպի զույգ հավասար դեմքեր, օրինակ՝ կտրված քառաեդրոնն ունի 8 դեմք, ինչպես կանոնավոր քառաեդրոնը, բայց Արքիմեդյան պինդի դեպքում 4 դեմքերը կլինեն եռանկյուն, իսկ 4-ը՝ վեցանկյուն։
- Մեկ գագաթի բոլոր անկյունները համահունչ են:
Աստղային պոլիեդրա
Երկրաչափական մարմինների ոչ ծավալային տիպերի ներկայացուցիչները աստղային բազմանիստներ են, որոնց դեմքերը հատվում են միմյանց: Նրանք կարող են ձևավորվել երկու կանոնավոր 3D պինդ մարմինների միաձուլման միջոցով կամ երկարացնելով նրանց դեմքերը:
Այսպիսով, նման աստղային բազմանիստերը հայտնի են որպես՝ ութանիստ, տասներեքագեդրոն, իկոսաեդրոն, խորանարդաձև, իկոսոդոդեկեդրոն:
