Հաճախ բնական երևույթները, տարբեր նյութերի քիմիական և ֆիզիկական հատկություններն ուսումնասիրելիս, ինչպես նաև բարդ տեխնիկական խնդիրներ լուծելիս պետք է գործ ունենալ այնպիսի գործընթացների հետ, որոնց բնորոշ հատկանիշը պարբերականությունն է, այսինքն՝ որոշակի ժամանակից հետո կրկնվելու միտումը. ժամանակահատվածը. Գիտության մեջ նման ցիկլայինությունը նկարագրելու և գրաֆիկորեն պատկերելու համար կա ֆունկցիայի հատուկ տեսակ՝ պարբերական ֆունկցիա։
Ամենապարզ և հասկանալի օրինակը Արեգակի շուրջ մեր մոլորակի պտույտն է, որի ժամանակ նրանց միջև անընդհատ փոփոխվող հեռավորությունը ենթակա է տարեկան ցիկլերի։ Նույն կերպ տուրբինի սայրը վերադառնում է իր տեղը՝ կատարելով ամբողջական հեղափոխություն։ Բոլոր նման գործընթացները կարելի է նկարագրել այնպիսի մաթեմատիկական մեծությամբ, ինչպիսին պարբերական ֆունկցիան է։ Մեծ հաշվով, մեր ամբողջ աշխարհը ցիկլային է: Սա նշանակում է, որ պարբերական ֆունկցիան նույնպես կարևոր տեղ է գրավում մարդու կոորդինատային համակարգում։
Թվերի տեսության, տոպոլոգիայի, դիֆերենցիալ հավասարումների և ճշգրիտ երկրաչափական հաշվարկների համար մաթեմատիկայի անհրաժեշտությունը հանգեցրեց XIX դարում անսովոր հատկություններով ֆունկցիաների նոր կատեգորիայի առաջացմանը: Դրանք դարձան պարբերական ֆունկցիաներ, որոնք բարդ փոխակերպումների արդյունքում որոշակի կետերում նույնական արժեքներ են ընդունում: Այժմ դրանք կիրառվում են մաթեմատիկայի և այլ գիտությունների բազմաթիվ ճյուղերում։ Օրինակ՝ ալիքային ֆիզիկայում տարբեր տատանողական էֆեկտներ ուսումնասիրելիս։
Մաթեմատիկական տարբեր դասագրքեր տալիս են պարբերական ֆունկցիայի տարբեր սահմանումներ: Այնուամենայնիվ, անկախ ձևակերպումների այս անհամապատասխանություններից, դրանք բոլորը համարժեք են, քանի որ նկարագրում են ֆունկցիայի նույն հատկությունները: Առավել պարզ և հասկանալի կարող է լինել հետևյալ սահմանումը. Այն ֆունկցիաները, որոնց թվային ցուցիչները չեն փոխվում, եթե իրենց արգումենտին ավելացվի զրոյից այլ թիվ, այսպես կոչված ֆունկցիայի ժամանակաշրջանը, որը նշվում է T տառով, կոչվում են պարբերական։ Ի՞նչ է նշանակում այդ ամենը գործնականում:
Օրինակ, ձևի պարզ ֆունկցիան. y=f(x) կդառնա պարբերական, եթե X-ն ունի որոշակի ժամանակահատվածի արժեք (T): Այս սահմանումից բխում է, որ եթե (T) կետ ունեցող ֆունկցիայի թվային արժեքը որոշվում է (x) կետերից մեկում, ապա դրա արժեքը հայտնի է դառնում նաև x + T, x - T կետերում: Կարևոր կետը. ահա, երբ T-ն հավասար է զրոյի, ֆունկցիան վերածվում է ինքնության: Պարբերական ֆունկցիան կարող է ունենալ անսահման թվով տարբեր ժամանակաշրջաններ: ATՇատ դեպքերում, T-ի դրական արժեքների թվում կա ամենափոքր թվային ցուցանիշով շրջան։ Այն կոչվում է հիմնական ժամանակաշրջան։ Իսկ T-ի մյուս բոլոր արժեքները միշտ դրա բազմապատիկն են: Սա ևս մեկ հետաքրքիր և շատ կարևոր հատկություն է գիտության տարբեր ոլորտների համար։
Պարբերական ֆունկցիայի գրաֆիկն ունի նաև մի քանի առանձնահատկություններ։ Օրինակ, եթե T-ն արտահայտության հիմնական ժամանակաշրջանն է. x առանցքը հետևյալ արժեքներին՝ ±T, ±2T, ±3T և այլն: Եզրափակելով, պետք է նշել, որ ամեն պարբերական ֆունկցիա չէ, որ ունի հիմնական ժամանակաշրջան։ Դրա դասական օրինակ է գերմանացի մաթեմատիկոս Դիրիխլեի հետևյալ ֆունկցիան. y=d(x).
